Redukcja przestrzennego układu sił do siły wypadkowej

Redukcja przestrzennego układu sił do siły wypadkowej. Zredukowanie całego układu tylko do jednej siły wypadkowej jest szczególnym przypadkiem redukcji układów przestrzennych.

Aby redukcja całego układu przestrzennego była w ogólne możliwa musi zachodzić jeden szczególny przypadek zachodzący pomiędzy wektorem głównym, a momentem głównym.
Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby przestrzenny układ sił redukował się tylko do jednej siły wypadkowej jest:

1. Istnienie różnej od zera sumy geometrycznej siły R
2. Moment główny M₀ jest skierowany prostopadle do sumy geometrycznej siły R (wektora głównego)

Przybliżmy bliżej, jak wygląda taka redukcja do wypadkowej. Mamy dowolny układ sił przestrzennych. Układ ten został zredukowany do wektora głównego oraz momentu głównego i ich położenie względem siebie jest prostopadłe. Zastępujemy moment główny M₀ parą sił (R, -R). Para sił (R, -R) leży względem wektora głównego R równolegle, a to znaczy jedna siła z pary sił -R redukuje się z wektorem głównym R. Na tym etapie została wyznaczona siła wypadkowa, którą jest jedna z pary sił R.

Wykonajmy teraz redukcję układu przestrzennego składającego się z trzech sił do jednej siły wypadkowej. Układ ten wygląda następująco.

Na podstawie powyższego układu zapiszmy siły w postaci wektorowej.

P_{1}=-2i+2j\; \; ;\; \; P_{2}=-4j+4k\; \; ;\; \; P_{3}=6i-6k 

Punkty przyłożenia opisują promienie r wektorów sił.

r_{1}=2i\; \; ;\; \; r_{2}=2j\; \; ;\; \; r_{3}=2k

Obliczamy wektor główny i moment główny względem punktu 0, który jest środkiem redukcji.

Obliczenie wartości kąta między wektorem głównym, a momentem głównym. Przypominam, że wektory te muszą być do siebie prostopadłe.

\cos \alpha =\frac{4*8+(-2)*12+(-2)*4}{4,89*14,96}=\frac{0}{73,15}=0,00

\alpha =\frac{\pi }{2}rad=90^{o}

Widzimy, że oba warunki zostały spełnione, a więc składowa wektora momentu głównego jest równa zeru. Wynika z tego, że cały układ przestrzenny redukuje się wyłącznie do jednej siły wypadkowej.

W=R=4i-2j-2k\; \; ;\; \; W=4,89kN

Równanie linii działania wypadkowej jest równaniem osi centralnej względem innego środka redukcji, leżącego na osi centralnej. Równanie to poznaliśmy już w poprzednim poradniku.

\frac{8+4y-2z}{4}=\frac{12-2x-4z}{-2}=\frac{4+2x-4y}{-2}

Otrzymujemy z powyższego wzoru dwa niezależne równania.

x-0,5y+2,5z-8=0

2x+2y+2z-4=0

W celu narysowania linii działania wypadkowej wystarczy znaleźć współrzędne punktów przecięcia tej prostej z płaszczyznami 0_xz oraz 0_yz układu współrzędnych.
Dla y = 0

Stąd x₁ = -2,00m oraz z₁ = 4,00m.
Dla x = 0

-0,5y+2,5z-8=0

2y+2z-4=0

Stąd y2 = -1,00m oraz z2 = 3,00m.

Linia działania wypadkowej jest więc prostą przechodzącą przez punkty A (-2; 0; 4) oraz B (0; -1; 3) zgodnie z poniższym schematem.