Redukcja płaskiego układu sił do jednej siły wypadkowej

Redukcja płaskiego układu sił do jednej siły wypadkowej. Materiał ten jest kontynuacją poprzedniego materiału, w którym to redukowaliśmy dowolny, płaski układ sił do jednej siły wypadkowej oraz jednej pary sił.

Ten materiał opisuje sytuację w której redukujemy cały układ tylko do jednej siły wypadkowej, a możliwe jest to ponieważ w poprzednim punkcie jest wykazane, że moment powstały od pary sił jest prostopadły do siły wypadkowej.

\vec{M_{0}} \perp \vec{R}

W układzie płaskim mogą zachodzić następujące 4 przypadki.

1. R\neq 0 i M_{0}\neq 0 – układ sprowadza się do wypadkowej o linii działania, której postać odcinkowa zostanie przedstawiona poniżej.
2. R\neq 0 i M_{0}= 0 – układ sprowadza się do wypadkowej przechodzącej przez środek redukcji 0.
3. R= 0 i M_{0}\neq 0 – układ sprowadza się do pary sił leżącej w płaszczyźnie 0_{xy}.
4. R= 0 i M_{0}=0 – układ pozostaje w równowadze.

Równanie linii działania wypadkowej, o którym mowa w punkcie pierwszym wyznacza się z warunki, że moment wypadkowej względem początku układu równa się momentowi głównemu M_{0}, który to moment równa się sumie wszystkich sił z rozpatrywanego układu względem początku układu współrzędnych.

\bar{r_{w}}*\bar{W}=\bar{M_{0}}

Równanie to należy rozpisać uwzględniając składowe odpowiadające współrzędnym 0_y oraz 0_x, otrzymamy zatem
\bar{r_{w}}=\bar{ix_{w}}+\bar{jy_{w}}
\bar{W}=\bar{iW_{x}}+\bar{jW_{y}}

Przedstawiając to w postaci macierzy, dla płaszczyzny dwu wymiarowej otrzymamy

 

i koniec końców jak mogliśmy się spodziewać moment główny to nic innego jak składowa wypadkowej 0_y pomnożona przez odległość na osi x oraz składowa wypadkowej 0_x pomnożona przez odległość na osi y, stąd

x_{w}W_{y}-y_{w}W_{x}={M_{0}}

Ogólnie obliczanie momentów zginających w reakcjach podporowych oraz siłach wewnętrznych jest szczegółowo opisane w kursie mechanika ogólna, a teraz wracając do tematu zobaczmy jak przedstawia się to graficzne.

I teraz przekształcając równanie momentu głównego jesteśmy w stanie wyznaczyć podstać odcinkową linii działania wypadkowej

 

gdzie wyrażenia w mianownikach {\frac{M_{0}}{W_{y}}} i -{\frac{M_{0}}{W_{x}}} odpowiadają odcinkom OC i OD, jakie linia działania wypadkowej odcina na osiach x i y, co pozwala nam ustalić na jakieś prostej leży nasza szukana wypadkowa, gdyż jej wartość już obliczyliśmy, przypomnijmy sobie

 

więc możemy uznać, że znaleźliśmy interesującą nas wypadkową, wiemy gdzie leży oraz jaki ma moduł (wartość).