Funkcje liniowe i kwadratowe w mechanice
Spis treści
Zbierając podstawowe wiadomości wstępne do nauki statyki nie można pominąć tematu funkcji. Już na jednych z pierwszych zajęć z mechaniki ogólnej / technicznej należy posiadać wiedzę i umieć ją zastosować podczas obliczania sił wewnętrznych między innymi w belkach lub ramach. Funkcje liniowe i kwadratowe są niezbędnym elementem wiedzy na kierunku budowlanym.
Funkcja linowa
Funkcja liniowa jest to funkcja pierwszego stopnia. Jej wykres tworzy zawsze linia prosta i określana jest następującym wzorem.
Przy czym wyrazy a oraz b są wartościami rzeczywistymi. Wyraz a to współczynnik kierunkowy, natomiast wyraz b to wyraz wolny. x jest wartością funkcji. Powyższe równanie można zapisać w równoważnej formie, która wygląda tak.
Zauważmy, że współczynnik kierunkowy a, jest tutaj decydującym wyrazem, ponieważ to od niego zależy kierunek funkcji.
Funkcje mogą być rosnące, stałe lub malejące co przedstawia grafik zamieszczona obok.
Funkcja rosnąca a > 0
Funkcja stała a = 0
Funkcja malejąca a < 0
Miejsce zerowe funkcji wyznacza się ze wzoru.
Podczas obliczania sił wewnętrznych równania funkcji liniowych napotkamy, gdy obciążenia schematów będą takimi siłami jak siła skupiona i moment zginający (czyli siły punktowe).
Funkcja kwadratowe
Funkcja kwadratowa jest to funkcja drugiego stopnia, jej wykres tworzy parabola i wyrażana jest następującym równaniem.
Podobnie jak w funkcjach liniowych wyrazy a, b oraz c są wyrazami rzeczywistymi (stałe funkcji), x jest to zmienna funkcji, natomiast y jest to wartość funkcji. W funkcji kwadratowej przyjmujemy zależność, że a ≠ 0, gdyż ta zależność zapobiega degradacji funkcji z kwadratowej do liniowej.
Wykres złożony jest z ramion oraz wierzchołka (wartości maksymalnej). W zależności od wartości wyrazu a ramiona mogą być skierowane w dół bądź w górę.
Funkcja z ramionami skierowanymi w górę a > 0
Funkcja z ramionami skierowanymi w dół a < 0
Obliczenie miejsc zerowych funkcji możemy wykonać za pomocą wzoru.
Współczynnik delta (Δ) jest to współczynnik potrzebny do obliczenia miejsc zerowych zwany wyróżnikiem funkcji kwadratowej, natomiast wyrazy b, a, c są to stałe funkcji kwadratowej. Na podstawie wartości współczynnika delta możemy określić ilu miejsc zerowych, czyli punktów przecięcia funkcji z osią szukamy. Wartości te wyglądają następująco.
Δ < 0 – brak miejsc zerowych
Δ = 0 – jedno miejsce zerowe
Δ > 0 – dwa miejsca zerowe
Następnie korzystając ze wzorów możemy obliczamy wartość zmiennej x, dla której y = 0.
Funkcja przyjmuje wartość ekstremalną dla argumentu.
Na podstawie wartości x możemy określić czy ekstremum jest wartością maksymalną czy minimalną i wygląda to następująco.
a < 0 – ekstremum będzie wartością maksymalna
a > 0 – ekstremum będzie wartością minimalną
Wartość ekstremalną liczymy ze wzoru.
Podczas obliczania sił wewnętrznych równania funkcji kwadratowych napotkamy, gdy obciążenia schematów będą siłami rozłożonymi na jakiejś długości.
Funkcje liniowe i kwadratowe w mechanice
Zobaczmy teraz jak przydatną umiejętnością jest wykorzystanie funkcji liniowych i kwadratowych podczas obliczania sił wewnętrznych. Poradnik z obliczaniem siły wewnętrznych znajduje się w kolejnych kursach, dlatego proszę nie skupiać się na obliczaniu sił wewnętrznych, gdyż nie w tym celu przedstawiony jest poniższy przykład. Poniższy przykład przytoczony jest w celu udowodnienia, że nawet podstawowych obliczeń nie jest się w stanie wykonać bez wiedzy z zakresu układania równań funkcji liniowych i kwadratowych.
Zobaczmy, że nasz schemat belkowy obciąża kilka różnych sił i jak wiemy z poprzednich akapitów siły działające punktowo, tzn. siła skupiona ( 5kN oraz 3 kN) oraz moment zginający (10kNm) obliczamy za pomocą funkcji liniowych. Ułożenie równania funkcji liniowej w celu obliczenia wartości sił wewnętrznych od siły skupionej (punktowej) 5kN przedstawia się następująco.
Równanie funkcji, dzięki której obliczymy wartości momentu zginającego w interesującym nas miejscu przedstawia się następująco.
Następnie zastępując zmienną x otrzymujemy wartości funkcji w miejscu 2,00 m oraz 4,00m
Siły rozłożone na długości (2,00 kN/m) tworzą nam równanie funkcji kwadratowej.
Ułożone równanie funkcji kwadratowej dla siły rozłożonej (2,00kN/m).
Wartości paraboli w szukanych miejscach, czyli 4,00m oraz 0,00m
Aby znać dokładny kształt wykresu w tym przedziale momentów zginających niezbędne jest obliczenie ekstremum tego wykresu. Tok obliczeń przedstawia się następująco. Najpierw należy z równania siły tnącej w części D znaleźć miejsce, w którym przecinana jest oś.
Znamy już miejsce, teraz poznamy wartość. Aby obliczyć wartość, należy do równania na moment w części D za odległość podstawić 3,25m.
Ten przykład powinien dosadnie pokazać jak ważnym zagadnieniem jest temat funkcji w statyce i mechanice. Serdecznie zachęcam do powtórzenia sobie wiadomości z poprzednich klas, aby nie rozpoczynać nauki mając zaległości z podstaw matematyki.
