Funkcje liniowe i kwadratowe w mechanice

Zbierając podstawowe wiadomości wstępne do nauki statyki nie można pominąć tematu funkcji. Już na jednych z pierwszych zajęć z mechaniki ogólnej/podstawowej należy posiadać wiedzę i umieć ją zastosować podczas obliczania sił wewnętrznych między innymi w belkach lub ramach.

Funkcja linowa

Funkcja liniowa jest to funkcja pierwszego stopnia. Jej wykres tworzy zawsze linia prosta i określana jest następującym wzorem.

f(x)=a*x+b

Przy czym wyrazy a oraz b są wartościami rzeczywistymi. Wyraz a to współczynnik kierunkowy, natomiast wyraz b to wyraz wolny. x jest wartością funkcji. Powyższe równanie można zapisać w równoważnej formie, która wygląda tak.

y=a*x+b

Zauważmy, że współczynnik kierunkowy a, jest tutaj decydującym wyrazem, ponieważ to od niego zależy kierunek funkcji.

Funkcje mogą być rosnące, stałe lub malejące co przedstawia grafik zamieszczona obok.

Funkcja rosnąca     a > 0

y=a*x+b

Funkcja stała     a = 0

y=0*x+b

Funkcja malejąca     a < 0

y=-a*x+b

 

Miejsce zerowe funkcji wyznacza się ze wzoru.

x_{0}=-\frac{b}{a}

Podczas obliczania sił wewnętrznych równania funkcji liniowych napotkamy, gdy obciążenia schematów będą takimi siłami jak siła skupiona i moment zginający (czyli siły punktowe).

Funkcja kwadratowe

Funkcja kwadratowa jest to funkcja drugiego stopnia, jej wykres tworzy parabola i wyrażana jest następującym równaniem.

f(x)=a*x^{2}+b*x+c

y=ax^{2}+bx+c

Podobnie jak w funkcjach liniowych wyrazy a, b oraz c są wyrazami rzeczywistymi (stałe funkcji), x jest to zmienna funkcji, natomiast y jest to wartość funkcji. W funkcji kwadratowej przyjmujemy zależność, że a ≠ 0, gdyż ta zależność zapobiega degradacji funkcji z kwadratowej do liniowej.
Wykres złożony jest z ramion oraz wierzchołka (wartości maksymalnej). W zależności od wartości wyrazu a ramiona mogą być skierowane w dół bądź w górę.

Funkcja z ramionami skierowanymi w górę     a > 0

Funkcja z ramionami skierowanymi w dół     a < 0

Obliczenie miejsc zerowych funkcji możemy wykonać za pomocą wzoru.

\Delta =b^{2}-4*a*c

Współczynnik delta (Δ) jest to współczynnik potrzebny do obliczenia miejsc zerowych zwany wyróżnikiem funkcji kwadratowej, natomiast wyrazy b, a, c są to stałe funkcji kwadratowej. Na podstawie wartości współczynnika delta możemy określić ilu miejsc zerowych, czyli punktów przecięcia funkcji z osią szukamy. Wartości te wyglądają następująco.
Δ < 0 – brak miejsc zerowych
Δ = 0 – jedno miejsce zerowe
Δ > 0 – dwa miejsca zerowe

Następnie korzystając ze wzorów możemy obliczamy wartość zmiennej x, dla której y = 0.

x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}


Funkcja przyjmuje wartość ekstremalną dla argumentu.

x=\frac{-b}{2a}

Na podstawie wartości x możemy określić czy ekstremum jest wartością maksymalną czy minimalną i wygląda to następująco.
a < 0 – ekstremum będzie wartością maksymalna
a > 0 – ekstremum będzie wartością minimalną
Wartość ekstremalną liczymy ze wzoru.

w=\frac{-\Delta }{4a}

Podczas obliczania sił wewnętrznych równania funkcji kwadratowych napotkamy, gdy obciążenia schematów będą siłami rozłożonymi na jakiejś długości.

Funkcje liniowe i kwadratowe w mechanice

Zobaczmy teraz jak przydatną umiejętnością jest wykorzystanie funkcji liniowych i kwadratowych podczas obliczania sił wewnętrznych. Poradnik z obliczaniem siły wewnętrznych znajduje się w kolejnych kursach, dlatego proszę nie skupiać się na obliczaniu sił wewnętrznych, gdyż nie w tym celu przedstawiony jest poniższy przykład. Poniższy przykład przytoczony jest w celu udowodnienia, że nawet podstawowych obliczeń nie jest się w stanie wykonać bez wiedzy z zakresu układania równań funkcji liniowych i kwadratowych.

Zobaczmy, że nasz schemat belkowy obciąża kilka różnych sił i jak wiemy z poprzednich akapitów siły działające punktowo, tzn. siła skupiona ( 5kN oraz 3 kN) oraz moment zginający (10kNm) obliczamy za pomocą funkcji liniowych. Ułożenie równania funkcji liniowej w celu obliczenia wartości sił wewnętrznych od siły skupionej (punktowej) 5kN przedstawia się następująco.

Równanie funkcji, dzięki której obliczymy wartości momentu zginającego w interesującym nas miejscu przedstawia się następująco.


M (x) = -5 * (2-x) - 6,50kN * x

Następnie zastępując zmienną x otrzymujemy wartości funkcji w miejscu 2,00 m oraz 4,00m


x = 2\: \: \: \: \:\:\: M (2) = -13kNm
x = 4\; \: \:\:\:\:\: M (4) = -36kNm

Siły rozłożone na długości (2,00 kN/m) tworzą nam równanie funkcji kwadratowej.

Ułożone równanie funkcji kwadratowej dla siły rozłożonej (2,00kN/m).

M(x) = 6,50 * x - 2kN * x * x * 0,50

Wartości paraboli w szukanych miejscach, czyli 4,00m oraz 0,00m

x = 0\; \; \; \; \; \; \; M (0) = 0kNm
x = 4\; \; \; \; \; \; \; M (4) = 6,50kN * 4m - 2kN * 2m * 2m * 0,50M (4) = 10,00kNm

 

Aby znać dokładny kształt wykresu w tym przedziale momentów zginających niezbędne jest obliczenie ekstremum tego wykresu. Tok obliczeń przedstawia się następująco. Najpierw należy z równania siły tnącej w części D znaleźć miejsce, w którym przecinana jest oś.

T(x) = -2kN * x + 6,5 kN
-2*x + 6,5 = 0
2*x = 6,5 /:2
x = 3,25m

Znamy już miejsce, teraz poznamy wartość. Aby obliczyć wartość, należy do równania na moment w części D za odległość podstawić 3,25m.


M(x) = 6,5kN * x – 2kN * x * x * 0,5
x=3,25m
M(3,25) = 6,5 * 3,25 – 2 * 3,25 * 3,25 * 0,5
M(3,25)=10,56kNm 

Ten przykład powinien dosadnie pokazać jak ważnym zagadnieniem jest temat funkcji w statyce/mechanice. Serdecznie zachęcam do powtórzenia sobie wiadomości w poprzednich klas, aby nie rozpoczynać nauki mając zaległości z podstaw matematyki.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *