Działania na wektorach – mnożenie wektorów

Mnożenie wektorów jest o poziom trudniejszym zadaniem, aniżeli dodawanie wektorów lub ich odejmowanie. W mnożeniu wektorów wyróżniamy dwa sposoby iloczyn skalarowy oraz iloczyn wektorowy.

Iloczyn skalarowy

Mnożenie skalarne wektorów. Iloczyn skalarowy dwóch wektorów jest to skalar równy iloczynowi modułów wektorów składowych pomnożonych przez cosinus kąta zawartego między nimi.

 

Wyjaśniając pokrótce prostszymi słowami. Po takim mnożeniu powstaje liczba (skalar) która jest równa iloczynowi wartości (modułów) obu wektorów pomnożonej przez kosinus kąta zawartego między tymi dwoma wektorami. Graficznie przedstawia się to następująco.

 

Na podstawie powyższego przykładu możemy powiedzieć, że iloczyn skalarowy dwóch wektorów równa się iloczynowi jednego wektora przez rzut drugiego na kierunek pierwszego.

Iloczyn skalarowy spełnia następująco prawa.

Prawo przemienności.

Prawo rozdzielności.

Prawo łączności mnożenia iloczynu skalarowego przez liczbę (skalar)

Iloczyn wektorowy

Mnożenie wektorowe wektorów. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów () jest to wektor, którego moduł (wartość) równa się iloczynowi modułów wektorów składowych przez sinus kąta zawartego między nimi.

Z takiego działania otrzymujemy nowy wektor, który jest prostopadły do obu wektorów wyjściowych. Zwrot powstałego wektora określamy regułą śruby prawoskrętnej. Iloczyn wektorowy ma sens jedynie w przestrzeni. Zobrazujmy to sobie.

 

Moduł powstałego wektora równa się liczbowo polu równoległoboku zbudowanego na wektorach składowych co przedstawia powyższa grafika.

Iloczyn wektorowy spełnia następujące prawa.

W odniesieniu do sumy wektorów, iloczyn wektorowy spełnia prawo rozdzielności.

 

Prawo łączności. Moduł iloczynu wektorowe wzrośnie n-krotnie, jeżeli jeden czynników pomnożymy przez skalar n lub wzrośnie mn-krotnie, jeżeli jeszcze drugi czynnik pomnożymy przez skalar m.

Natomiast iloczyn wektorowy nie spełnia prawa przemienności.

Moduł wektora – twierdzenie Pitagorasa

Znajdowanie modułu (wartości, długości) wektora znając jego współrzędne. Długość wektora jest równa zero tylko wtedy, gdy wszystkie współrzędne wektora są równe zero. Długość wektora na płaszczyźnie obliczamy stosując twierdzenie Pitagorasa.

Jeśli znajdujemy się w przestrzeni i mamy trzy kierunki, wtedy należy zastosować następujący wzór.

 

Chociaż w powyższych wzorach i regułach należy się jedynie orientować, mówię tutaj o mnożeniu wektorów, tak twierdzenie Pitagorasa serdecznie zachęcam do zrozumienia go i nauczenia się go najlepiej na pamięć, gdyż gwarantuje, że akurat on będzie używany w każdym zadaniu ze statyki, gdzie znajdować się będą elementy pod kątem.