Para sił i moment oraz twierdzenie o parach sił

Para sił i moment. Para sił jest to układ dwóch sił o równych wartościach, lecz o różnych zwrotach. Ramieniem pary sił nazywamy odległość między liniami działania obu tych sił. Tak więc suma momentów tych sił względem dowolnego punktu wynosi

\bar{M_{0}}=\bar{r_{1}}*\bar{P}-\bar{r_{2}}*\bar{P}

Przy czym ujemny znak drugiej części działania wynika z przeciwnych zwrotów wektorów sił P.

Przy czym samo znakowanie momentów sił przedstawia się następująco.

Moment pary sił

Jeśli obliczamy moment sił względem dowolnego punktu to powstają nam, jak w działaniu powyżej, promienie – wektory \bar{r_{i}}, które to mówią o odległości między początkiem siły, a punktem docelowym momentu. Zobaczmy na poniższej grafice jakie promienie – wektory powstaną i jakie powstają między nimi zależności.

Widzimy na powyższym obrazku, że pojawiły się trzy promienie wektory \bar{r_{1}}, \bar{r_{2}} oraz \bar{r_{0}}. Wektory \bar{r_{1}} oraz \bar{r_{2}} są to promienie względem, których liczymy moment pary sił, a wektor \bar{r_{0}} jest to wektor odległości między dwoma siłami. Między nimi zachodzą następujące zależność.

 

W tym miejscu czas na bardzo ważne stwierdzenie. Moment pary sił jest niezależny od wyboru punktu 0 i jest wielkością stałą, a jego wartość równa się iloczynowi wartości jednej z sił i odległości między siłami (ramieniem pary sił), co udowadnia następujące równanie.
Równanie momentu pary sił do punktu zero wygląda następująco.

\bar{M_{0}}=\bar{r_{1}}*\bar{P}-\bar{r_{2}}*\bar{P}

Zastąpmy teraz wektor \bar{r_{1}} zależnością, którą poznaliśmy nieco wyżej, otrzymamy

\bar{M_{0}}=(\bar{r_{2}}+\bar{r_{0}})*\bar{P}-\bar{r_{2}}*\bar{P}

co daje nam

 

i teraz sprawdźmy, czy zastępując drugi wektor \bar{r_{2}}, również otrzymamy koniec końców moment pary sił, to znaczy siła razy ramie

 

Widzimy więc że moment pary sił jest naprawdę niezależny, to znaczy że jego wartość nie zmienia się w zależności od punktu 0, czyli od punktu do którego ten moment liczymy. Wektor momentu M jest skierowany prostopadle do płaszczyzny działania pary sił, a jego zwrot można określić za pomocą zasady śruby prawoskrętnej.

Twierdzenia o parach sił

1. Dwie pary sił o tej samej płaszczyźnie działania są sobie statycznie równoważne, gdy mają równe momenty.
2. Zachowując nie zmieniony moment, parę sił można przenieść do dowolnej płaszczyzny równoległej do jej płaszczyzny działania.
3. Dwie pary sił działające w jednej płaszczyźnie można zastąpić przez jedną parę sił działającą w tej płaszczyźnie o momencie równym sumie momentów dwóch par.
4. Dwie pary sił działające w przecinających się płaszczyznach są równoważne jednej parze sił o momencie równym wektorowej sumie wektorów tych par.

Cechy pary sił

Na podstawie powyższych twierdzeń, możemy określić jakimi cenami charakteryzują się pary sił.

1. Parę sił można dowolnie przenosić pomiędzy płaszczyznami, ponieważ nie ma to wpływu na wektor momentu.
2. Zwiększenie lub niezmniejszenie siły można równoważyć proporcjonalną zmianą długości ramienia, zabieg ten powoduje, że wartość momentu pozostaje niezmieniona.
3. Parę sił można zrównoważyć inna parą sił o równym module (wartości) wektora, ale przeciwnym zwrocie.
4. Każdą parę sił możemy zastąpić momentem oraz każdy moment możemy zastąpić parą sił.

Podsumowując najprościej jak się da para sił to nic innego jak jedna z sił razy odległość pomiędzy siłami (ich ramie).