Moment siły względem punktu

Pojęcie momentu siły zostało już wytłumaczone w kursie mechanika ogólna od strony praktycznej, czyli jak to działa, jak uwzględnić ten moment w obliczeniach itp., ale strona teoretyczna zagadnienia tego tematu również musi zostać zawarta we wstępie do statyki. Dlatego zajmiemy się momentem siły względem punktu oraz względem osi, w celu zachowania przejrzystości materiał ten będzie zawierał tylko opis momentu siły względem punktu, a w kolejnym poradniku zostanie zawarty temat momentu siły względem osi.

Moment siły względem punktu w przestrzeni

Momentem siły \vec{P} względem dowolnego punktu 0 nazywamy wektor \vec{M_{0}}, który powstaje poprzez iloczyn wektorowy wektora siły \vec{P} oraz wektora \vec{r}, który powstaje poprzez odłożenie odcinka od punktu 0 do puntu A(który jest punktem przyłożenia wektora siły) wektora promienia. Matematycznie przedstawia się to w ten sposób.

\vec{M_{0}}=\vec{r}*\vec{F}

Graficznie w przestrzeni przedstawia się to następująco.

Przyjmujemy dowolny punkt przyłożenia 0_{2} wektora siły \vec{F} wzdłuż działania prostej l. Stosunek punktu 0_{2} do punktu 0_{1} najłatwiej opisać promieniem wektora \vec{r}, który opisywany jest równaniem.

\vec{r}=r_{z}\vec{i}+r_{x}\vec{j}+r_{y}\vec{k}=(z_{2}-z_{1})\vec{i}+(x_{2}-x_{1})\vec{j}+(y_{2}-y_{1})\vec{k}

Przy pomocy powyższych określeń momentu siły względem punktu możemy zaobserwować następujące własności.

  • Wektor momentu \vec{M_{i}} jest prostopadły do płaszczyzny, którą tworzą wektory z których powstał dany wektor momentu siły, mowa tutaj oczywiście o wektorze siły \vec{F} oraz promieniu \vec{r}. Zwrot tegoż momentu określamy za pomocą reguły śruby prawoskrętnej / reguły prawej dłoni.
  • Wektor momentu siły zawsze oznaczamy indeksem wskazującym punkt względem którego obliczany jest moment siły.
  • Moduł (wartość) wektora momentu określamy przy użyciu następującego wzoru.
    \vec{M_{0}}=P*r*\sin \alpha
    \alpha to kąt powstający między wektorami \vec{r} i \vec{F}. Widoczny jest on na powyższej grafice.

Bardzo ważne spostrzeżenie. Na podstawie ostatniego punktu można stwierdzić, że moment siły jest równy zero względem punktu 0, w przypadku gdy ten punkt leży na linii działania tej siły.
Dlaczego?
Dlatego, że promień wektora \vec{r} nie powstanie, a mnożąc przez zero otrzymamy w wyniku zero.

 

Moment siły względem punktu na płaszczyźnie

Moment siły względem punktu, gdy siła i punkt leżą na jednej płaszczyźnie przedstawia się następująco.

Zobaczmy, że wartość wektora momentu siły \vec{F} jest równy polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na dwóch wektorach \vec{r} oraz \vec{F} i zgodnie z własnościami jakie były przedstawione w poprzednim akapicie, wektor momentu \vec{M_{0}} jest prostopadły do powstałej powierzchni, a co za tym idzie do dwóch wektorów, z których powstał.

Pozostając na płaszczyźnie, czyli w przestrzeni dwuwymiarowej, w której działa kilka wektorów sił można dodawanie wektorów momentów zastąpić przez dodawanie wartości algebraicznych momentów, czyli poprzez zwykłe dodawanie.

Korzystając z powyższego stwierdzenia obliczmy moment siły  \vec{P} względem punktu 0. Współrzędne punktu przyłożenia siły x oraz y tworzą płaszczyznę 0_{xy}. W celu ułatwienia zadania możemy przyjąć, że nasz wektor siły \vec{P}, tworzą dwie jej wypadkowe \vec{P_{y}} oraz \vec{P_{x}}.

\vec{P} =\vec{P_{y}}\vec{j}+\vec{P_{x}}\vec{i}

Moment siły \vec{P} jest zatem równy.

M_{0} =-P_{y}*x+P_{x}*y

Przy czym przyjętą zasadę znakowania przedstawia poniższa grafika.

Gdy wektor siły “kręci” zgodnie z ruchem wskazów zegara, wtedy powstały moment przyjmujemy jako dodatni. W drugim przypadku, gdy siła “kręci” przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przyjmujemy moment siły jako wartość ujemną.

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *