Moment siły względem punktu
Spis treści
Moment siły względem punktu. Pojęcie momentu siły zostało już wytłumaczone w kursie mechanika ogólna od strony praktycznej, czyli jak to działa, jak uwzględnić ten moment w obliczeniach itp., ale strona teoretyczna zagadnienia tego tematu również musi zostać zawarta we wstępie do statyki.
Dlatego zajmiemy się momentem siły względem punktu oraz względem osi, w celu zachowania przejrzystości materiał ten będzie zawierał tylko opis momentu siły względem punktu, a w kolejnym poradniku zostanie zawarty temat momentu siły względem osi.
Moment siły względem punktu w przestrzeni
Momentem siły \vec{P} względem dowolnego punktu 0 nazywamy wektor \vec{M_{0}}, który powstaje poprzez iloczyn wektorowy wektora siły \vec{P} oraz wektora \vec{r}, który powstaje poprzez odłożenie odcinka od punktu 0 do puntu A(który jest punktem przyłożenia wektora siły) wektora promienia. Matematycznie przedstawia się to w ten sposób.
Graficznie w przestrzeni przedstawia się to następująco.
Przyjmujemy dowolny punkt przyłożenia 0_{2} wektora siły \vec{F} wzdłuż działania prostej l. Stosunek punktu 0_{2} do punktu 0_{1} najłatwiej opisać promieniem wektora \vec{r}, który opisywany jest równaniem.
Przy pomocy powyższych określeń momentu siły względem punktu możemy zaobserwować następujące własności.
- Wektor momentu \vec{M_{i}} jest prostopadły do płaszczyzny, którą tworzą wektory z których powstał dany wektor momentu siły, mowa tutaj oczywiście o wektorze siły \vec{F} oraz promieniu \vec{r}. Zwrot tegoż momentu określamy za pomocą reguły śruby prawoskrętnej / reguły prawej dłoni.
- Wektor momentu siły zawsze oznaczamy indeksem wskazującym punkt względem którego obliczany jest moment siły.
- Moduł (wartość) wektora momentu określamy przy użyciu następującego wzoru.
\vec{M_{0}}=P*r*\sin \alpha
\alpha to kąt powstający między wektorami \vec{r} i \vec{F}. Widoczny jest on na powyższej grafice.
Bardzo ważne spostrzeżenie. Na podstawie ostatniego punktu można stwierdzić, że moment siły jest równy zero względem punktu 0, w przypadku gdy ten punkt leży na linii działania tej siły.
Dlaczego?
Dlatego, że promień wektora \vec{r} nie powstanie, a mnożąc przez zero otrzymamy w wyniku zero.
Moment siły względem punktu na płaszczyźnie
Moment siły względem punktu, gdy siła i punkt leżą na jednej płaszczyźnie przedstawia się następująco.
Zobaczmy, że wartość wektora momentu siły \vec{F} jest równy polu powierzchni równoległoboku zbudowanego na dwóch wektorach \vec{r} oraz \vec{F} i zgodnie z własnościami jakie były przedstawione w poprzednim akapicie, wektor momentu \vec{M_{0}} jest prostopadły do powstałej powierzchni, a co za tym idzie do dwóch wektorów, z których powstał.
Pozostając na płaszczyźnie, czyli w przestrzeni dwuwymiarowej, w której działa kilka wektorów sił można dodawanie wektorów momentów zastąpić przez dodawanie wartości algebraicznych momentów, czyli poprzez zwykłe dodawanie.
Korzystając z powyższego stwierdzenia obliczmy moment siły \vec{P} względem punktu 0. Współrzędne punktu przyłożenia siły x oraz y tworzą płaszczyznę 0_{xy}. W celu ułatwienia zadania możemy przyjąć, że nasz wektor siły \vec{P}, tworzą dwie jej wypadkowe \vec{P_{y}} oraz \vec{P_{x}}.
Moment siły \vec{P} jest zatem równy.
Przy czym przyjętą zasadę znakowania przedstawia poniższa grafika.
Gdy wektor siły „kręci” zgodnie z ruchem wskazów zegara, wtedy powstały moment przyjmujemy jako dodatni. W drugim przypadku, gdy siła „kręci” przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przyjmujemy moment siły jako wartość ujemną.
