Redukcja i równowaga układu par sił

Co w wypadku gdy na jakieś ciało sztywne działa kilka bądź kilkanaście różny par sił, trzeba je uwzględniać przy każdych obliczeniach oddzielnie? Otóż wiemy z poprzednich poradników, że mamy możliwość zastąpienia pary sił jej momentem, a następnie mając zastąpione już wszystkie pary sił ich momentami wyznaczamy wypadkową i tym sposobem z wielu pojedynczych par sił pozostanie nam jeden wypadkowy moment. Poniżej znajduje się ciało sztywne z widocznymi czterema różnymi parami sił, a naszym zadaniem jest zastąpienie tych wszystkich sił jednym momentem wypadkowym.

Redukcja układu par sił

Jak już wcześniej było powiedziane każda para sił działa jak moment, dlatego nic nie stoi na przeszkodzie aby zastąpić widoczne pary sił ich momentami.

Używając metody graficznej, takiej jak metoda wieloboku z łatwością wyznaczamy wypadkową momentów. Odrzućmy wszystkie pary sił pozostawiając w ich miejsce momenty M1 – M4.

Teraz ułóżmy z nich zamknięty wielobok, a zamykający wektor momentu jest właśnie szukaną wypadkową.

Gdybyśmy musieli wyznaczyć wypadkową parę sił, a nie moment to teraz możemy po prostu umieścić prostopadle do wektora momentu wypadkową parę sił (P, -P), czyli zrobić odwrotnie aniżeli w pierwszym kroku. Stworzyć parę sił z istniejącego momentu.

Powyższe grafiki przedstawią sumowanie geometryczne momentów czterech par sił, które możemy również przedstawić następująco.

\vec{M}=\vec{M_{1}}+\vec{M_{2}}+\vec{M_{3}}+\vec{M_{4}}

Natomiast poruszając się w pewnej przestrzeni, a nie na płaszczyźnie musimy wykonać dodatkowe obliczenia polegające na odnalezieniu poszczególnych składowych wypadkowej.

\vec{M_{x}}=\vec{M_{1,x}}+\vec{M_{2,x}}+\vec{M_{3,x}}+\vec{M_{4,x}}

\vec{M_{y}}=\vec{M_{1,y}}+\vec{M_{2,y}}+\vec{M_{3,y}}+\vec{M_{4,y}}

\vec{M_{z}}=\vec{M_{1,z}}+\vec{M_{2,z}}+\vec{M_{3,z}}+\vec{M_{4,z}}

Następnie określając cosinusy kierunkowe oraz wartość momentu M otrzymamy końcową wypadkową leżącą w przestrzeni 0xyz.

M=\sqrt{M_{x}^{2}+M_{y}^{2}+M_{z}^{2}}

\cos \alpha =\frac{M_{x}}{M};\; \; \; \cos \beta =\frac{M_{z}}{M};\; \; \; \gamma =\frac{M_{z}}{M}

Równowaga układu par sił

Używając tych zależności bardzo łatwo ustalić warunek równowagi par sił, które działając na dowolne ciało sztywne w przestrzeni bądź na płaszczyźnie. Taki układ pozostanie w równowadze tylko wtedy, gdy szukany moment wypadkowy będzie równy zeru. W przypadku metody graficznej, gdyby nasz wielobok zamknął się bez wprowadzania dodatkowego wektora momentu to również znaczyłoby, że taki układ sił pozostaje w równowadze = wynosi zero.

 

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *