Zależności kątowe (przydatna trygonometria)

Wstęp

Wielokrotnie podczas korepetycji słyszałem pytania typu, “Skąd wziął Pan długość tego pręta?” lub “Jak poradził Pan sobie z siłą pod kątem?”. Właśnie w takich przypadkach przychodzi nam z pomocą trygonometria i jej funkcje sinus, cosinus, tangens i cotangens. Na etapie nauki mechaniki ogólnej trzeba już umieć korzystać z wymienionych funkcji gdyż bez nich, nie będziecie w stanie znaleźć długości pręta pod kątem czy to w belkach, ramach czy kratownicach. Poradnik ten będzie zawsze dostępny, ale szczerze polecam nauczyć się czterech formułek gdyż jest to wiedza z zakresu must have.

Dla efektywniejszej nauki każda z funkcji została opisana i przedstawiona graficzne w osobnym akapicie. Dodatkowo na końcu znajduje się przykład odpowiadający na dwa pytania zadane we wstępie tego poradnia.

Sinus

Oznaczany w Polsce sin.
Sinus (α)
stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta (pręt a) i długości przeciwprostokątnej (pręt h).

\sin \alpha =\frac{a}{h}

Sinus jest odwrotnością cosinusa.

Cosinus

Odwrotność sinusa.
W Polsce oznaczany jako cos.
Dalej bazujemy na kącie α, czyli cosinus kąta alfa jest to stosunek przyprostokątnej przyległej (pręt b) do długości przeciwprostokątnej (pręt h)

\cos \alpha =\frac{b}{h}

Tangens

W Polsce oznaczamy jako tg.
Biorąc pod uwagę kąt alfa jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta (pręt a) do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta (pręt b).

tg \alpha =\frac{a}{b}


Tangens jest odwrotnością cotangensa.

Cotangens (Kotangens)

Odwrotność tangensa.
W Polsce oznaczany skrótem ctg.
Cotangens kąta α jest to stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta (pręt b) do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta (pręt a).

ctg \alpha =\frac{b}{a}

Podstawowe wartości funkcji trygonometrycznych

Dobrze jest znać wartości poszczególnych funkcji dla kątów takich jak 0o, 30o, 45o, 60o, 90o i 180o. Wartość sprawdzamy za pomocą kalkulatorów naukowych.

Obliczenie długości pręta pod kątem

Najczęściej prowadzący zajęcia w projektach lub na kolokwiach podają taką ilość danych do zadania, że trzeba użyć zależności trygonometrycznych.
W poniższym przykładzie widzimy, że pręty pod kątem mają długość 4,12 metra. Są to pręty numer 3, 7 oraz 11.

Sprawdźmy, jak długość tego pręta została obliczona i czy długość jest poprawna.
Załóżmy, że jedyne dane jakie mamy to długości pionowe i poziome poszczególnych prętów.
Pręty pionowe są długie na 1,00 metr, a poziome na 4,00 metry.
Czego nie znamy?
Oczywiście długości prętów pod kątem oraz samych kątów między prętami.
Zastanówmy się, czy używając funkcji sinusa, bądź cosinusa jesteśmy w stanie obliczyć długość pręta pod kątem. Dla ułatwienia część kratownicy została wycięta i został stworzony na niej trójkąt prostokątny, jak w powyższych akapitach.

Spróbujmy obliczyć długość pręta numer 3 za pomocą sinusa.

\sin \alpha =\frac{nr \, 5}{nr \, 3}
Aby skorzystać z zależności sinusa należy mieć w powyższym równaniu tylko jedną niewiadomą. Niestety jedyna wartość jaką znamy to długość pręta numer 5, która wynosi 1,00 metr. W przypadku cosinusa również znamy tylko jedną wartość, a jest to długość pręta numer 4.

\cos \alpha =\frac{pret\, nr\, 4}{pret\, nr\, 3}

To znaczy, że niemożliwe jest obliczenie długości pręta przeciwprostokątnego (pręt numer 3) za pomocą sinusa lub cosinusa.
Tutaj z pomocą przychodzą nam dwie kolejne funkcje czyli tangens lub kotangens.

tg\, \alpha =\frac{pret \, nr\, 5}{pret \, nr\, 4}=\frac{1,00\, [m]}{4,00\, [m]}

tg \, \alpha =0,25

\alpha =14^{\circ}

W tym momencie znika nam jedna niewiadoma. Poznaliśmy wartość kąta alfa, która wynosi 14 stopni. Teraz za pomocą sinusa obliczmy długość pręta numer 3.

\sin (\alpha=14^{\circ}) =\frac{pret \, nr\, 5}{pret \, nr\, 3}=\frac{1,00\, [m]}{pret\, nr\, 3}

\sin (14^{\circ})=0,24

0,24=\frac{1,00\, [m]}{pret\, nr\, 3}

pret\, nr\, 3*0,24=1,00\: \: \: \: \: \: /:0,2419(...)

pret \, nr \, 3 \approx 4,13\, [m]

I widzimy, że w prosty sposób przy użyciu funkcji trygonometrycznych jesteśmy  w stanie znaleźć każdą potrzebną wartość. Tutaj pręty pod kątem wynoszą około 4,13 metra.
Wartości funkcji należy obliczyć przy pomocy kalkulatora naukowego.

Rozłożenie siły pod kątem

Odpowiedzmy teraz na drugie pytanie ze wstępu tego poradnika. Jak poradzić sobie z siłą, która jest przyłożona do konstrukcji pod kątem? Otóż najłatwiej rozłożyć ją na dwie składowe pionową oraz poziomą przy pomocy właśnie zależności funkcji trygonometrycznych. W tym materiale skupimy się jedynie na użyciu funkcji trygonometrycznych, a samo pojęcie sił, w tym sił pod kątem zostało wyjaśnione w następnym kursie mechanika ogólna.

Siła (obciążenie) P o wartości 2,00 kN przyłożona jest do belki pod kątem 60o, w celu ułatwienia dalszych obliczeń reakcji podporowych lub sił wewnętrznych powstałych od obciążenia  chcemy rozłożyć siłę na dwie składowe poziomą (pręt b) oraz pionową (pręt a). Jak w poprzednim akapicie stwórzmy trójkąt prostokątny.

Wartość składowej poziomej (pręt b) jest następująca.

\cos (60^{\circ})=\frac{b}{2,00\, [kN]}

\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}

\frac{1}{2}=\frac{b}{2,00\, [kN]}

P_{b}=1,00\, [kN]

 

Wartość składowej pionowej (pręt a) wynosi.

\sin 60^{\circ}=\frac{a}{2,00\, [kN]}

\sin 60^{\circ}=0,866

0,866=\frac{a}{2,00\, [kN]}

P_{a}=1,732\, [kN]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *