Przestrzenny układ sił zbieżnych

Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnym układem sił. Układ taki może występować na płaszczyźnie (płaski układ sił), jak i w przestrzeni (przestrzenny układ sił).

Przestrzenny układ sił zbieżnych

Poprzedni materiał rozpatrywał płaski układ sił zbieżnych, w tym przypadku wprowadzamy trzeci wymiar i przechodzimy z układu płaskiego do przestrzennego. Przykładowy układ sił zbieżnych w przestrzeni może wyglądać następująco.

Również jak w poprzednim materiale płaskich układów, tak i w przestrzeni jesteśmy w stanie zastąpić nieskończenie wiele pojedynczych sił jedną siła wypadkową, która będzie przyłożona w tym samym punkcie i równa sumie geometrycznej tych sił.

\vec{P}=\vec{P_{1}}+\vec{P_{2}}+\vec{P_{3}}+\vec{P_{n}}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P_{i}}

Geometryczny sposób wyznaczenia wypadkowej

Mamy układ trzech sił zbieżnych (P1, P2, P3) przyłożonych w tym samym punkcie zero, które nie leżą w jednej płaszczyźnie. Rysując na podstawie tych trzech wektorów sił równoległościan i wykorzystując regułę równoległościanu możemy bez problemu znaleźć wypadkową tych sił.

Stosując zasadę równoległoboku jesteśmy w stanie znaleźć kolejno, dla nieskończenie wielu sił ich wypadkowe, ale niestety nie jest to najwygodniejszy sposób jeśli nasz układ składa się z kilkunastu sił. Zobaczmy jednak na przykładzie jak to działa. Najpierw wyznaczamy wypadkową sił P2 i P3.

Teraz wypadkowa dla wszystkich trzech sił będzie wygląda następująco.

Wykorzystując wypadkową P(2-3) oraz siłę P1 otrzymaliśmy wypadkową trzech sił P(1-2-3). Sprawdźmy, czy wyznaczając najpierw wypadkową sił P(1-3), a następnie na podstawie tej wypadkowej oraz siły P2 również otrzymamy identyczną wypadkową jak w grafice powyżej.

Widzimy, że zasada równoległoboku sprawdza się również w układzie przestrzennym. Natomiast tak jak pisałem wcześniej, sposób geometryczny jest dobry w przypadku gdy nasz układ sił nie jest zbytnio rozbudowany, w innym przypadku o wiele wygodniejszym sposobem jest sposób analityczny.

Analityczny sposób wyznaczenia wypadkowej

Aby nie komplikować zbytnio obliczeń w sposobie analitycznym również posłużymy się układem przestrzennych złożonym jedynie z trzech sił zbieżnych. W celu wyznaczenia wypadkowej przyjmujemy prostokątny układ osi 0xyz i oznaczamy kąty nachylenia sił do poszczególnych osi x, y, z poprzez następujące kąty αi, βi, ϒi (gdzie i = 1,2,3,…,n).

Następnie obliczamy wartości rzutów wypadkowej \vec{P} na poszczególne osie, otrzymując w ten sposób składowe, z których “złożymy” naszą wypadkową.

\vec{P}_{x}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P}_{i,x}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P}_{i}*\cos \alpha _{i}
\vec{P}_{y}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P}_{i,y}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P}_{i}*\cos \beta_{i}
\vec{P}_{z}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P}_{i,z}=\sum_{i=l}^{n}\vec{P}_{i}*\cos \gamma _{i}

Widzimy tutaj, że sposób analityczny nie odbiega w sposób znaczący w układzie przestrzennym od tego sposobu w układzie płaskim. Naturalnie główną różnicą jest ilość osi, co za tym idzie ilość obliczeń do przeprowadzenia. Teraz posiadając już wartości składowe Px, Py, Pz siły wypadkowej \vec{P} jesteśmy w stanie znaleźć znaleźć moduł tej sił, czyli jej wartość oraz wyznaczać kąty pod jakimi ustawiona jest on do naszych trzech osi 0xyz.

Moduł siły wypadkowej obliczamy ze wzoru.

\vec{P}=\sqrt{\vec{P_{x}^{2}}+\vec{P_{y}^{2}}+\vec{P_{z}^{2}}}

Kąty nachylenia wypadkowej do poszczególnych osi obliczamy ze wzorów.

\cos \alpha =\frac{P_{x}}{P}
\cos \beta =\frac{P_{y}}{P}
\cos \gamma =\frac{P_{z}}{P}

Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt działania poszczególnych sił, z których powstała. Widoczne kąty mówią nam o nachyleniu do poszczególnych osi, a dodatkowo cosinusy kierunkowe spełniają następującą zależność.

\cos _{\alpha }^{2}+\cos _{\beta }^{2}+\cos _{\gamma }^{2}=1,00

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *