Działania na wektorach – dodawanie i odejmowanie

Z poprzedniej części znamy już pojęcie wektora, w tym materiale poznamy jakie działania jesteśmy w stanie przeprowadzić z użyciem wektorów oraz jakie są ich rezultaty. Na wektorach można przeprowadzać takie same operacje jak na liczbach całkowitych czyli możemy je dodawać, odejmować, mnożyć, a nawet za pomocą twierdzenia Pitagorasa znajdować ich wartość (moduł).
Zjadę sobie sprawę z tego, że ten materiał również odbiega od tematyki ale, biorąc pod uwagę wektory obciążeń lub wektory reakcji powstałych tych od obciążeń to między nimi zachodzą również pewne zależności i właśnie dlatego działania na wektorach muszą znaleźć się we wstępie do kursów.

W przypadku wektorów i działań na niej przeprowadzanych możemy wyróżnić działania algebraiczne oraz graficzne.

Dodawanie wektorów

Dodawanie wektorów odbywa się za pomocą prawa równoległoboku, trójkąta lub metody wieloboku w zależności od tego ile wektorów musimy do siebie dodać. W przypadku gdy chcemy dodać jedynie dwa wektory \vec{a}+\vec{b} tworzymy równanie sumy dwóch wektorów i za pomocą prawa równoległoboku lub metody trójkąta otrzymujemy wektor \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}.

Dodawanie wektorów podlega następującym prawom.

Prawo przemienności.

\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}

Prawo łączności

\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}

\vec{W_{1}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\vec{W_{2}}=\vec{a}+\vec{b}
\vec{W_{3}}=\vec{b}+\vec{c}

Metoda równoległoboku    

\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}W celu zsumowania dwóch wolnych wektorów musimy je sprowadzić do wspólnego punktu zaczepienia. W tym celu przesuwamy wektor \vec{b} do punktu zero wektora \vec{a} lub odwrotnie, z tym że przesunięcie wektora \vec{b} jest bezpieczniejsze gdyż musimy uważać jedynie aby nie zmniejszyć jego długości, gdyż kąt jest działania wynosi 90o. W przeciwnym wypadku przenosząc wektor \vec{a}, narażamy się na zmianę kąta działania wektora, co prowadzi do otrzymania niepoprawnej sumy wektorów \vec{a}+\vec{b}. Mając już wspólny punkt zaczepienia tworzymy dwie proste równoległe do wektorów \vec{a} i \vec{b}. Następnie między wspólnym punktem zaczepienia zero, a miejscem przecięcia się prostych rysujemy wektor \vec{c}, który jest sumą dwóch poprzednich wektorów.

Metoda trójkąta  

  \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}Metoda trójkąta jest podobna do metody równoległoboku, z tym że jeden z wektorów umieszczamy na końcu wektora, a nie w miejscu zaczepienia. Następnie między miejscem zerowym, a końcem połączonych wektorów powstaje wektor \vec{c}, który jest sumą wektorów \vec{a}+\vec{b}.

Metoda wieloboku    

\vec{W}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}
Analogicznie do metody trójkąta uwzględniając wszystkie wektory, które chcemy dodać.

Dodawanie wektorów mających ten sam kierunek 

   \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}Gdy wektory mają taki sam kierunek działania ich dodanie jest banalnie proste, ponieważ połączenie dwóch wektorów w tej samej linii działania da nam już w tym momencie sumę tych wektorów.

Odejmowanie wektorów

Różnicę dwóch wektorów \vec{a} i \vec{b} otrzymamy poprzez dodanie wektora \vec{a}  do wektora -\vec{b}  mającego przeciwny kierunek. Z takiego działania otrzymamy wektor \vec{d}=\vec{a}+(-\vec{b}). Do odejmowania również możemy użyć prawa równoległoboku. Przekątna d przedstawia różnicę wektorów \vec{a} i \vec{b}.

W przypadku gdy wektory mają przeciwne zwroty ale ten sam kierunek działania to odejmowanie wektorów wygląda następująco.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *