Działania na wektorach – dodawanie i odejmowanie

Z poprzedniej części znamy już pojęcie wektora, w tym materiale poznamy jakie działania jesteśmy w stanie przeprowadzić z użyciem wektorów oraz jakie są ich rezultaty. Na wektorach można przeprowadzać takie same operacje jak na liczbach całkowitych czyli możemy je dodawać, odejmować, mnożyć, a nawet za pomocą twierdzenia Pitagorasa znajdować ich wartość (moduł). Odejmowanie i dodawanie wektorów bardzo często wystepuje podczas obliczania sił wewnętrznych.


Zjadę sobie sprawę z tego, że ten materiał również odbiega od tematyki ale, biorąc pod uwagę wektory obciążeń lub wektory reakcji powstałych tych od obciążeń to między nimi zachodzą również pewne zależności i właśnie dlatego działania na wektorach muszą znaleźć się we wstępie do kursów.
W przypadku wektorów i działań na niej przeprowadzanych możemy wyróżnić działania algebraiczne oraz graficzne.

Dodawanie wektorów

Dodawanie wektorów odbywa się za pomocą prawa równoległoboku, trójkąta lub metody wieloboku w zależności od tego ile wektorów musimy do siebie dodać. W przypadku gdy chcemy dodać jedynie dwa wektory \vec{a}+\vec{b} tworzymy równanie sumy dwóch wektorów i za pomocą prawa równoległoboku lub metody trójkąta otrzymujemy wektor \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}.

Dodawanie wektorów podlega następującym prawom.

Prawo przemienności

\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}

Odejmowanie i dodawanie wektorów - prawo przemienności

Prawo łączności

 

Metoda równoległoboku    

\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}W celu zsumowania dwóch wolnych wektorów musimy je sprowadzić do wspólnego punktu zaczepienia. W tym celu przesuwamy wektor \vec{b} do punktu zero wektora \vec{a} lub odwrotnie, z tym że przesunięcie wektora \vec{b} jest bezpieczniejsze gdyż musimy uważać jedynie aby nie zmniejszyć jego długości, gdyż kąt jest działania wynosi 90o. W przeciwnym wypadku przenosząc wektor \vec{a}, narażamy się na zmianę kąta działania wektora, co prowadzi do otrzymania niepoprawnej sumy wektorów \vec{a}+\vec{b}. Mając już wspólny punkt zaczepienia tworzymy dwie proste równoległe do wektorów \vec{a} i \vec{b}. Następnie między wspólnym punktem zaczepienia zero, a miejscem przecięcia się prostych rysujemy wektor \vec{c}, który jest sumą dwóch poprzednich wektorów.

Metoda trójkąta  

\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}Metoda trójkąta jest podobna do metody równoległoboku, z tym że jeden z wektorów umieszczamy na końcu wektora, a nie w miejscu zaczepienia. Następnie między miejscem zerowym, a końcem połączonych wektorów powstaje wektor \vec{c}, który jest sumą wektorów \vec{a}+\vec{b}.

 

Metoda wieloboku    

\vec{W}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}
Analogicznie do metody trójkąta uwzględniając wszystkie wektory, które chcemy dodać.

Dodawanie wektorów mających ten sam kierunek \vec{c}=\vec{a}+\vec{b}Gdy wektory mają taki sam kierunek działania ich dodanie jest banalnie proste, ponieważ połączenie dwóch wektorów w tej samej linii działania da nam już w tym momencie sumę tych wektorów.

Odejmowanie wektorów

Różnicę dwóch wektorów \vec{a} i \vec{b} otrzymamy poprzez dodanie wektora \vec{a}  do wektora -\vec{b}  mającego przeciwny kierunek. Z takiego działania otrzymamy wektor \vec{d}=\vec{a}+(-\vec{b}). Do odejmowania również możemy użyć prawa równoległoboku. Przekątna d przedstawia różnicę wektorów \vec{a} i \vec{b}.

 

W przypadku gdy wektory mają przeciwne zwroty ale ten sam kierunek działania to odejmowanie wektorów wygląda następująco.

 

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *