Redukcja przestrzennego układu sił

Redukcja przestrzennego układu sił. Poprzez redukcję przestrzennego układu sił rozumie się sprowadzenie(zastąpienie) go najprostszym układem statycznie równoważnym, czyli na przykład wyznaczenie siły wypadkowej.

Załóżmy teoretycznie, że na ciało sztywne działa dowolny układ sił przestrzennych, wtedy aby go zredukować przyjmujemy dowolny punkt zero, który nazywa się środkiem redukcji układu sił, z którego wychodzą wiązki promieni, wektorów określających położenie punktów przyłożenia tych sił.

Redukcja przestrzennego układu sił

Na powyższym schemacie dokładnie widać, o czym była mowa w poprzednim akapicie. Wiązki promieni r1-4 zaznaczone kolorem niebieskim wskazują punkty zaczepienia wszystkich czterech sił. Promienie te zaczynają się w punkcie zwanym środkiem redukcji.

Korzystając z równoległego przesunięcia poszczególnych sił możemy sprowadzić te siły do wybranego punktu zero, a w wyniku tego przesunięcia otrzymujemy przestrzenny układ sił zbieżnych. Układ ten możemy zastąpić sumą geometryczną wszystkich sił z układu, czyli siłą wypadkową.

 

Identycznie jest z układem par sił(momentów), który jest równy sumie geometrycznej momentów tych par.

M_{0}=M_{1,0}+M_{2,0}+...+M_{n,0}=\sum M_{i,0}=\sum r_{i}*P_{i}

Na podstawie powyższych sum sił, możemy stwierdzić, że dowolny przestrzenny układ sił działających na ciało sztywne możemy zastąpić siłą wypadkową R, przyłożoną w dowolnym punkcie środka redukcji oraz parą siła(momentem) M0, równą sumie geometrycznej momentów tych sił względem punktu środka redukcji. Siłę R nazywa się wektorem głównym, a moment M0 momentem głównym.

Mała uwaga. Jak już wcześniej było powiedziane, punkt 0, czyli środek redukcji dobieramy dowolnie, w takim wypadku wektor główny pozostaje bez zmian, zmienia się wartość momentu głównego. Teraz potrzebne wzory.

Wzór na składową wektora głównego.

 

Wartość wektora głównego.

R=\sqrt{R_{x}^{2}+R_{y}^{2}+R_{z}^{2}}

Cosinusy kierunkowe wektora głównego.

cos\alpha _{1}=\frac{R_{x}}{R}\; ;\; cos\beta _{1}=\frac{R_{y}}{R}\; ;\; cos\gamma _{1}=\frac{R_{z}}{R}

Składowe momentu głównego M0.

M_{0}=\sum M_{i,0}=\sum (r_{i}*P_{i})=iM_{0,x}+jM_{0,y}+kM_{0,z}

Wartość momentu głównego.

M_{0}=\sqrt{M_{0,x}^{2}+M_{0,y}^{2}+M_{0,z}^{2}}

Cosinusy kierunkowe momentu głównego.

 

Zredukujmy teraz powyższy układ sił przestrzennych zgodnie z tym, co do tej pory zostało przedstawione. Przypomnijmy sobie jak wygląda układ.

Redukcja przestrzennego układu sił

Zbierzmy potrzebne dane.

P_{1}=4j\, \; ;\; r_{1}=3k
P_{2}=-3i+3k\, \; ;\; r_{2}=4i
P_{3}=-4i+5j\, \; ;\; r_{3}=4i+4j
P_{4}=3j+4k\, \; ;\; r_{4}=3j

Powyższy układ sił, który będziemy redukować składa się z czterech sił skupionych P1-4, których wartości są przedstawione, jak i promienie tych sił r1-4,  które przedstawiają odległości od środka redukcji(punkt 0) do każdej z sił. Układ ten należy zredukować do wektora głównego i momentu głównego.

Obliczenie wartości składowych wektora głównego.

\begin{bmatrix}
i(x) & j(y) & k(z)\\
0 & 4 & 0\\
-3 & 0 & 3\\
-4 & 5 & 0\\
0 & 3 & 4
\end{bmatrix}

Po rozwiązaniu powyższej macierzy otrzymamy następujące składowe wektora głównego.

R=iR_{x}+jR_{y}+kR_{z}=-7i+12j+7k

Wartość wektora głównego.

R=\sqrt{-7^{2}+12^{2}+7^{2}}=15,56

Cosinusy kierunkowe wektora głównego.

cos\alpha _{1}=\frac{-7}{15,56}=0,45\; ;\; cos\beta _{1}=\frac{12}{15,56}=0,77\; ;\; cos\gamma _{1}=\frac{7}{15,56}=0,45

\alpha _{1}=116^{o}\; ;\;\beta _{1}=39,65^{o};\; \gamma _{1}=63,26^{o}

Wartości składowych momentu głównego

M_{0}=\sum (r*P_{i})=\begin{bmatrix}
i & j & k\\ 
0 & 0 & 3\\ 
0 & 4 & 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
i & j & k\\ 
4 & 0 & 0\\ 
-3 & 0 & 3
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
i & j & k\\ 
4 & 4 & 0\\ 
-4 & 5 & 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}
i & j & k\\ 
0 & 3 & 0\\ 
0 & 3 & 4
\end{bmatrix}
M_{0}=\sum (r*P_{i})=-12i-12j+36k+12i
M_{0,x}=0i\; ;\; M_{0,y}=-12j\; ;\; M_{0,z}=36k

Wartość momentu głównego

M_{0}=\sqrt{-12^{2}+36^{2}}=37,94 kNm

Cosinusy kierunkowe momentu głównego.

cos\alpha _{2}=\frac{0,00}{37,94}=0,00\; ;\; cos\beta _{2}=\frac{-12,00}{37,94}=0,77\; ;\; cos\gamma _{2}=\frac{36,00}{37,94}=0,45 
cos\alpha _{2}=90^{o}\; ;\; cos\beta _{2}=108^{o}\; ;\; cos\gamma _{2}=18^{o}

Układ czterech sił został zredukowany do jednej siły wypadkowej (wektora głównego) oraz momentu głównego, których kierunki określają cosinusy kierunkowe.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *