Równowaga dowolnego płaskiego układu sił

Bardzo ważny materiał, który na tym etapie stanowi jedynie teoretyczny wstęp do warunków równowagi układów i serdecznie polecam dobrze zrozumieć ten temat, ponieważ warunki te zostaną z wami już w sumie na całe życie zawodowe. Znajdujemy się aktualnie na płaszczyźnie 2D dlatego przestrzegam przed tym, aby nie gromadzić sobie zaległości w nauce, gdyż w dalszych materiałach warunki te zostaną podwojone gdy ciało sztywne będzie znajdowało się w przestrzeni 3D. Na pocieszenie dodam, że nie jest to niewiadomo jak trudne do opanowania i zapoznając się z tym materiałem, a następnie przechodząc do mechaniki ogólnej powinniście nie mieć w sumie żadnych problemów ze zrozumieniem, co to znaczy kiedy układ pozostaje w równowadze. No właśnie, ale co to znaczy?

Podstawowe równania równowagi

Gdy mówimy o ciele pozostającym w równowadze, to mamy na myśli taki obiekt który po prostu się nie porusza. Ciało sztywne pozostaje w równowadze gdy np.

  • nie oddziaływują na niej żadne siły,
  • siły działające na ciało sztywne przyłożone są w taki sposób, że ich suma geometryczna równa jest zero to znaczy że wprawdzie jakieś siły obciążają nasze ciało ale same siebie równoważą,
  • siły działające są równoważone poprzez wywoływane przez siebie reakcje w podporach.

Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił otrzymuje się przyrównując do zera wektor główny układu i moment główny układu, które to mieliśmy już okazje poznać w dwóch wcześniejszych poradnikach. Wektorowe równania równowagi prezentują się następująco.

\bar{R}=0;\; \; \; \bar{M_{0}}=0

Przy czym obliczając reakcje podporowe, siły wewnętrzne etc. będziemy korzystali ze skalarowych równań równowagi. Zastępujemy dwa równania wektorowe, trzema równaniami skalarowymi.

\sum P_{i,x}=0;\; \; \;\sum P_{i,y}=0;\; \; \; \sum \bar{M_{i0}}=0

Słownie, aby dowolne ciało pozostało w równowadze muszą zostać spełnione trzy warunki równowagi na dowolnej płaszczyźnie, a więc.

  1. Suma wszystkich sił poziomych na oś x(poziomą) musi równać się zero.
  2. Suma wszystkich sił pionowych na oś y(pionową) musi równać się zero.
  3. Suma momentów zginających do dowolnego punktu musi równać się zero.

Dlaczego właściwie są trzy warunki równowagi na płaszczyźnie a nie cztery albo dwa? Najprościej zobrazować to na nieskończenie małym punkcie umieszczonym na płaszczyźnie 0xy, które właściwościami odpowiada ciału sztywnemu.

Co może stać się z naszym rombem? Biorąc pod uwagę przedstawione wcześniej skalarowe równania równowagi, możemy się domyślić, że może on.

  1. Przesunąć się w poziomie (lewo-prawo) – \sum P_{i,x}=0
  2. Przesunąć się w pionie (góra-dół) – \sum P_{i,y}=0
  3. Obracać się wokół własnej osi  – \sum \bar{M_{i0}}=0

Po skosie również może się przesunąć ale takie przesunięcie to nic innego jak suma ruchów w poziomie i w pionie jednocześnie, a więc wystarczy rozłożyć taki ruch na dwie składowe poziomą oraz pionowa. Należy tutaj również dodać, że w przypadku sprawdzenie momentu to punkt 0, nie musi być punktem układu współrzędnych, a nawet należy dopisać, że w celu spełnienia warunku równowagi dla momentów to nie ważne do którego punktu na płaszczyźnie będziemy kręcili siły, musi wyjść zero, w przeciwnym razie ciało to nie pozostanie w równowadze i wykona jakiś ruch. Zamieniając słowo ciało sztywne na np. domek jednorodzinny, to od razu zmienia to cały sens rozumowania, gdyż nie chcemy aby budowany domek jednorodzinny miał możliwości zmiany położenia 🙂

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeśli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu na płaszczyźnie działania sił również jest równy zeru. Pierwsze dwa równania nazywamy równaniami rzutów sił, a ostanie równaniem momentów.

Pozostałe równania równowagi

Opisywane powyżej równania nie stanowią jedynej postaci równań równowagi, literatura podaje jeszcze dwa inne sposoby.

Pierwszy z nich polega na wykonaniu dwóch sum momentów do różnych punktów, np. A i B, a następie rzutowanie sił na dowolną oś nieprostopadłą do prostej, powstałej między tymi dwoma punktami.

\sum M_{i,A}=0;\; \; \; \; \sum M_{i,B}=0;\; \; \; \; \sum P_{i,n}=0

Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów jest równy zeru oraz rzut sił na oś nieprostopadłą do odcinka łączącego te punkty jest równy zeru, to ten rozpatrywany płaski układ sił jest w równowadze.

Natomiast drugi z pozostałych sposobów skupia się jedynie na sumie momentów do trzech punktów A, B, C nie leżących na jednej prostej.

\sum M_{i,A}=0;\; \; \; \; \sum M_{i,B}=0;\; \; \; \; \sum M_{i,C}=0

Jeżeli moment układu sił względem trzech różnych punktów nie leżących na jednej prostej jest równy zeru, to rozpatrywany płaski układ sił jest w równowadze.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *