Zasady statyki – aksjomaty

Aksjomaty statyki

W poprzednim materiale poznaliśmy podstawowe określenia oraz pojęcia, które występują w statyce. Tutaj zajmiemy się zasadami, na których opiera się statyka, a dokładnie są to aksjomaty statyki.

Aksjomat, postulat, pewnik (gr. ἀξίωμα axíōm) – encyklopedie tłumaczą to następująco.
Jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. Czyli? Jest to twierdzenie, które przyjmuje się za oczywiste.

Aksjomaty statyki to zasady, których nie trzeba matematycznie udowadniać. Są one przyjęte, zaakceptowane, powszechnie używane  i na ich podstawie oraz za ich pomocą udowadnia się inne zasady oraz zależności, które muszą być potwierdzone obliczeniowo, ale nie traci się czasu na matematyczne udowadnianie słuszności założeń aksjomatów, gdyż uznaje się je za oczywiste.

Aksjomat pierwszy (zasada równoległoboku)

Działanie dwóch sił F1 i F2 można zastąpić działaniem jednej siły wypadkowej R, która działa na ten sam punkt i jest przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił F1 i F2. Sytuację przedstawioną na obrazku obok można opisać za pomocą następującego działania matematycznego.

R=\sqrt{F_{1}^{2}+F_{2}^{2}+(2*F_{1}*F_{2}*cos(\alpha ))}

Równanie to znacznie uprasza się w przypadku, gdy siły działają wzdłuż jednej prostej oraz dodatkowo są skierowane w tym samym kierunku.

R=F_{1}+F_{2}

Natomiast, gdy skierowane są przeciwnie i F_{2}> F_{1}, wtedy otrzymujemy.

R=F_{2}-F_{1}

 

 

 

Aksjomat drugi

Jeżeli do ciała przyłożone są dwie siły, to równoważą się one tylko wtedy, gdy mają tę samą linię działania, te same wartości liczbowe i są przeciwnie zwrócone.

Na przykładzie obok, przedstawiono graficznie działanie drugiej zasady statyki. Do ciała przyłożono w punkcie A oraz B dwie siły F, które działają na jednej prostej i są skierowane przeciwnie. Na tej podstawie możemy sformułować dwie zależności aby siły się równoważyły.

F_{1}=F_{2};\; \; \; \; F_{1}=-F_{2}

Suma działania tych sił równa się zero.
Druga zasada wprowadza nam dwa pojęcia, a mianowicie siła zerowa oraz siła przeciwna. Siły przeciwne oznacza się dodatkowo znakiem minus.

 

Aksjomat trzeci

Skutek działania dowolnego układu sił, przyłożonego do ciała nie zmieni się, jeśli do tego ciała dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił, czyli tzw. układ zerowy.

Przykładowo do ciała sztywnego w pewnym punkcie A przyłożono siłę P1, a następnie w innym punkcie B, ale na linii działania siły P1, przyłożono układ zerowy, czyli układ sił równoważących się.

Zgodnie z trzecim aksjomatem statyki, możemy odrzucić siły równoważące się i zostanie nam tylko jedna siła P1 i to od nas zależy, czy zostawimy ją w punkcie A czy B.

Z tego wynika warunek, że każdą siłę przyłożoną do ciała sztywnego możemy dowolnie przesunąć wzdłuż jej linii działania, co nie prowadzi do powstania dodatkowych sił wewnętrznych czy naprężeń.

Aksjomat czwarty (zasada zesztywnienia)

Jeżeli ciało odkształcalne znajduje się w równowadze pod działaniem pewnego układu sił, to również pozostanie w równowadze ciało doskonale sztywne (nieodkształcalne) identyczne z poprzednim, pod działaniem tego samego układu sił. Wniosek z tego płynie taki, że warunek konieczny i wystarczający dla równowagi działa sztywnego jest tylko warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym dla ciała odkształcalnego.

Aksjomat piąty (zasada działania i przeciwdziałania)

Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości, o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie. Rysunki a) i b).

akcja (obciążenie G) ↔ reakcja (R)

Aksjomat szósty (zasada oswobodzenia od więzów)

Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić z więzów, zastępując ich działanie reakcjami, a następnie rozpatrywać je jako ciało swobodne, znajdujące się pod działaniem sił czynnych (obciążenia) i biernych (reakcji więzów). Aksjomat ten nazywany jest “aksjomatem więzów”. Rysunki c) i d).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *