Teraz przejdziemy do obliczania zbrojenia elementów żelbetowych. Na samym początku zajmiemy się najprostszym przypadkiem, czyli przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony.

Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 1

Zaprojektować zbrojenie pojedynczo zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment {{M}_{Ed}}=50kNm

Belka wykonana z betonu C25/30 i stali A-IIIN ({{f}_{yk}}=500MPa). Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10  i zbrojenie główne średnicy \phi 16  . Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina {c_{nom}} = 35mm.

Rozwiązanie

1. Wyznaczam obliczeniowe wartości parametrów materiałowych:

Beton C25/30

{{f}_{cd}}=\frac{{{f}_{ck}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{25}{1,4}=17,86MPa

UWAGA!

EN 1992-1-1 Podaje współczynnik {{\gamma }_{c}}=1,5 , jednakże polski załącznik krajowi zaleca stosowanie współczynnika {{\gamma }_{c}}=1,4. [Załącznik krajowy NA.2]

Stal

{{f}_{yd}}=\frac{{{f}_{yk}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{500}{1,15}=434,78MPa

Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:

{{\xi }_{eff,\text{lim}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{434,78}{200000}}=0,493

(Uwaga! Dla stali klas A-0 do A-III moduł Younga przyjmuje się jako {{E}_{s}}=210~GPa, a dla klasy A-IIIN {{E}_{s}}=200~GPa. (Kobiak-Stachurski Konstrukcje żelbetowe tom I)

„Przyjmuje się, że moduł sprężystości stali {{E}_{s}}=200GPa” (M.Knauff Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2)

My w naszych rozważaniach będziemy zawsze przyjmować {{E}_{s}}=200GPa.)

 

2. Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:

d=h-c-{{\phi }_{sztrzemion}}-\frac{{{\phi }_{preta}}}{2} d=300-35-10-\frac{16}{2}=247~mm

3. Obliczenia zbrojenia

Zbrojenie w żelbecie obliczamy głownie wykorzystując dwa podstawowe równanie znane nam z mechaniki budowli:

Suma rzutów sił na oś równa jest zero

\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{P}_{a}}=0

Suma momentów względem osi równa się zero:

\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }M=0

Pierwszym krokiem jest wyznaczenie wysokości strefy ściskanej. Wyznaczamy ją wykorzystując sumę momentów zginających względem zbrojenia {{A}_{s1}}:

{{M}_{Ed}}-{{F}_{c}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0 {{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}} {{M}_{Rd}}-b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0

 

Podstawiając dane otrzymujemy (dane wstawiane w kN  i m)

50-0,2\cdot {{x}_{eff}}\cdot 17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot \left( 0,247-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0

 

Po uporządkowaniu mamy:

1786\cdot x_{eff}^{2}-882,284\cdot {{x}_{eff}}+50=0

Pierwiastkami powyższego równania są:

{{x}_{eff,1}}=0,0653m

{{x}_{eff,2}}=0,4287m

 

Jak da się zauważyć z powyższych wyników drugi pierwiastek równania jest nierzeczywisty ponieważ wysokość przekroju ściskanego nie może nam wyjść większa niż pełna wysokość przekroju, więc {{x}_{eff}}=0,0653m

Warto w tym momencie sprawdzić, czy przekrój może być pojedynczo zbrojony i nie będzie potrzeby zmiany wielkości przekroju poprzecznego:

{{\xi }_{eff}}=\frac{{{x}_{eff}}}{d}=\frac{0,0653}{0,247}=0,264\le {{\xi }_{eff,\lim }}=0,493

Powyższy warunek został spełniony i możemy przejść do obliczania pola przekroju zbrojenia.

Najprostszym sposobem wyznaczenia zbrojenia jest wykorzystanie równania na sumę rzutów sił na oś pozioma, otrzymujemy wtedy zgodnie z rysunkiem:

{{F}_{c}}-{{F}_{s}}=0 {{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}} {{F}_{s}}={{A}_{s1}}\cdot {{f}_{yd}} b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}-{{A}_{s1}}\cdot {{f}_{yd}}=0

 

Porządkując równanie otrzymujemy:

{{A}_{s1}}=\frac{b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}}{{{f}_{yd}}}=\frac{0,2\cdot 0,0653\cdot17,86\cdot {{10}^{3}}}{434,78\cdot {{10}^{3}}}=5,36\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{2}}=5,36c{{m}^{2}}

Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych:

n=\frac{{{A}_{s1}}}{{{A}_{\phi 16}}}=\frac{5,36}{\pi \cdot {{1,6}^{2}}\cdot 0,25}=2,67\approx 3

Pole przekroju przyjęto zbrojenia:

{{A}_{s1,prov}}=3\cdot {{A}_{\phi 16}}=3\cdot \pi \cdot {{1,6}^{2}}\cdot 0,25=6,03~c{{m}^{2}}

 

Sprawdzenie zbrojenia minimalnego:

{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d\\0,0013\cdot b\cdot d  \\\end{matrix} \right..

{{A}_{s,min}}=~max\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{2,6}{500}\cdot 20\cdot 24,7  \\0,0013\cdot 20\cdot 24,7\\\end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}0,668\\0,642\\\end{matrix}\right.=0,668~c{{m}^{2}} {{A}_{s1,prov}}=6,03~c{{m}^{2}}\ge ~{{A}_{s,min}}=0,668~c{{m}^{2}}

Belkę należy zazbroić trzema prętami \phi 16.

 

Zbrojenie można również obliczyć wykorzystując współczynnik pomocniczy \mu , który jest wyprowadzony na podstawie równania kwadratowego, z którego liczyliśmy wysokość strefy ściskanej {{x}_{eff}}, a jego postać wygląda następująco:

{{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}

Korzystając z {{\mu }_{eff}} możemy obliczyć względną efektywną wysokość strefy ściskanej z poniższej zależności:

{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}

Dla sprawdzenia podstawmy nasze wartości i zobaczmy, czy wyjdzie nam taka sama wartość jak poprzednio.

{{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}=\frac{50}{17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,2\cdot {{0,247}^{2}}}=0,229~\left[ – \right]

 

{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}=1-\sqrt{1-2\cdot 0,229}=0,264~\left[ – \right]

Jak widać otrzymaliśmy taką samą wartość, a tok obliczeniowy był krótszy o rozwiązanie równania kwadratowego. Każda z w/w metod ma swoje plusy jak i minusy: do rozpisania równania potrzebujemy tylko odrobiny więcej czasu i nie musimy uczyć się wzorów na pamięć, do drugiego podejścia musimy znać dwa dodatkowe równania, ale za to obliczenia trwają odrobinę krócej.

 

Kolejny przykład został poświęcony obliczaniu zbrojenia przekroju prostokątnego podwójnie zbrojonego.

 

Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 2

 

Zaprojektować zbrojenie podwójnie zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment {M_{Ed}} = 90kNm. Belka wykonana z betonu C25/30 i stali A-IIIN ({f_{yk}} = 500\;MPa). Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10, zbrojenie rozciągane o średnicy \phi 16 w dwóch rzędach o odległości w osi k = 20mm, a zbrojenie ściskany o średnicy \phi 12. Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina{c_{nom}} = 35mm.

Rozwiązanie

1. Wyznaczam obliczeniowe wartości parametrów materiałowych:

Beton C25/30

{f_{cd}} = \frac{{{f_{ck}}}}{{{\gamma _C}}} = \frac{{25}}{{1,4}} = 17,86\;MPa

Stal

{f_{yd}} = \frac{{{f_{yk}}}}{{{\gamma _s}}} = \frac{{500}}{{1,15}} = 434,78\;MPa

Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:

{\xi _{eff,lim}} = 0,8 \cdot \frac{{0,0035}}{{0,0035 + \frac{{{f_{yd}}}}{{{E_s}\;}}}} = 0,8 \cdot \frac{{0,0035}}{{0,0035 + \frac{{434,78}}{{200000}}}} = 0,493

 

2. Obliczam {a_{s1}} i {a_{s2}}

Wyżej wymienione parametry są to odległości od krawędzi przekroju do osi zbrojenia, gdzie {a_{s1}} to odległość od krawędzi rozciąganej do osi zbrojenia rozciąganego, a {a_{s2}} od krawędzi ściskanej do osi zbrojenia ściskanego:

{a_{s1}} = c + {\phi _{sztrzemion}} + {\phi _{preta}} + \frac{k}{2} = 35 + 10 + 16 + \frac{{20}}{2} = 71mm {a_{s2}} = c + {\phi _{sztrzemion}} + \frac{{{\phi _{preta}}}}{2} = 35 + 10 + \frac{{12}}{2} = 51mm

                                                       

3. Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:

d = h – {a_1} = 300 – 71 = 229mm

 

4. Obliczenia zbrojenia

Wyznaczamy wysokość strefy ściskanej.

{\mu _{eff}} = \frac{{{M_{Ed}}}}{{{f_{cd}} \cdot b \cdot {d^2}}} = \frac{{90}}{{17.9 \cdot {{10}^3} \cdot 0.2 \cdot {{0.229}^2}}} = 0.4794 {\xi _{eff}} = 1 – \sqrt {1 – 2 \cdot {\mu _{eff}}}  = 1 – \sqrt {1 – 2 \cdot 0.479} 4 = 0.797 {\xi _{eff}} = 0.797 \geqslant {\xi _{eff.\lim }} = 0.493

 

Zgodnie z powyższym warunkiem musimy zastosować dodatkowe zbrojenie ściskane, aby „wzmocnić” strefę ściskaną.

Wyznaczam wysokość strefy ściskanej, przyjmując wysokość strefy ściskanej jako wartość graniczną:

{x_{eff}} = {x_{eff.\lim }} = {\xi _{eff.\lim }} \cdot d = 0.493 \cdot 0.229 = 0.1129m = 11.29cm

 

Ilość zbrojenia ściskanego {A_{s2}} wyznaczmy z równania równowagi względem zbrojenia rozciąganego:

{M_{Ed}} – {F_{s2}} \cdot \left( {d – {a_{s2}}} \right) – {F_c} \cdot \left( {d – {x_{eff}}} \right) = 0 {F_{s2}} = {A_{s2}} \cdot {f_{yd}} {F_c} = {A_c} \cdot {f_{cd}} = b \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}} {M_{Ed}} – {A_{s2}} \cdot {f_{yd}} \cdot \left( {d – {a_{s2}}} \right) – b \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d – \frac{{{x_{eff}}}}{2}} \right) = 0 {A_{s2}} = \frac{{{M_{Ed}} – b \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d – \frac{{{x_{eff}}}}{2}} \right)}}{{{f_{yd}} \cdot \left( {d – {a_{s2}}} \right)}} {A_{s2}} = \frac{{90 – 0.2 \cdot 0.1129 \cdot 17.86 \cdot {{10}^3} \cdot \left( {0.229 – \frac{{0.1129}}{2}} \right)}}{{434.78 \cdot {{10}^3} \cdot \left( {0.229 – 0.051} \right)}} = 2.638c{m^2}

 

Zbrojenie rozciągane {A_{s1}} obliczymy w równania rzutów sił na oś X:

{F_{s1}} – {F_{s2}} – {F_c} = 0 {A_{s1}} \cdot {f_{yd}} – {A_{s2}} \cdot {f_{yd}} – b \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}} = 0 {A_{s1}} = {A_{s2}} + \frac{{{f_{cd}}}}{{{f_{yd}}}} \cdot b \cdot {x_{eff}} {A_{s1}} = 2.638 + \frac{{17.86 \cdot {{10}^3}}}{{434.78 \cdot {{10}^3}}} \cdot 20 \cdot 11.29 = 11.91c{m^2}

 

            Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych:

{n_1} = \frac{{{A_{s1}}}}{{{A_{\phi 16}}}} = \frac{{11.91}}{{\pi  \cdot {{1,6}^2} \cdot 0,25}} = 5.92 \approx 6 {n_2} = \frac{{{A_{s2}}}}{{{A_{\phi 12}}}} = \frac{{2.638}}{{\pi  \cdot {{1.2}^2} \cdot 0.25}} = 2.33 \approx 3

 

Pole przekroju przyjęto zbrojenia:

{A_{s1,prov}} = 6 \cdot {A_{\phi 16}} = 6 \cdot \pi  \cdot {1,6^2} \cdot 0,25 = 12,06\;c{m^2} {A_{s2,prov}} = 3 \cdot {A_{\phi 12}} = 3 \cdot \pi  \cdot {1.2^2} \cdot 0.25 = 3.39\;c{m^2}

 

Sprawdzenie zbrojenia minimalnego:

{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d\\0,0013\cdot b\cdot d  \\\end{matrix} \right..

{{A}_{s,min}}=~max\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{2,6}{500}\cdot 20\cdot 22,9  \\0,0013\cdot 20\cdot 22,9\\\end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}0,619\\0,595\\\end{matrix}\right.=0,619~c{{m}^{2}} {A_{s1}} = 12.06c{m^2} \geqslant \;{A_{s,min}} = 0.619\;c{m^2}

 

Sprawdzenie zbrojenia maksymalnego:

{A_{s,max}} = 0,04 \cdot {A_c} = 0,04 \cdot 20 \cdot 30 = 24c{m^2} {A_{s,prov}} = {A_{s1.prov}} + {A_{s2.prov}} = 15.45c{m^2} \leqslant {A_{s.\max }} = 24c{m^2}

 

Rozwiązanie alternatywne

Różnice przy wyznaczeniu zbrojenia sposobem nr 2, polega na rozłożeniu schematu sił wewnętrznych na dwa oddzielne schematy i odpowiedniej procedurze obliczeniowej, którą przedstawiono poniżej.

 

1. Na samym początku obliczymy część zbrojenia rozciąganego {A_{s1.1}} ze schematu pierwszego korzystając z równania sumy rzutów sił na oś poziomą:

{F_c} – {F_{s1.1}} = 0 b \cdot {x_{eff.\lim }} \cdot {f_{cd}} = {A_{s1.1}} \cdot {f_{yd}} {A_{s1.1}} = \frac{{b \cdot {x_{eff.\lim }} \cdot {f_{cd}}}}{{{f_{yd}}}} = \frac{{0,2 \cdot 0,1129 \cdot 17,86 \cdot {{10}^3}}}{{434,78 \cdot {{10}^3}}} = 9,28c{m^2}

 

2. W kolejnym kroku musimy wyznaczyć jaki moment obliczeniowy jest w stanie zrównoważyć komplet sił ze schematu nr 1. W tym celu obliczamy, sumę momentów względem zbrojenia {A_{s1.1}}, a naszą poszukiwaną wielkością jest {M_{Ed.1}}

{M_{Ed.1}} – b \cdot {x_{eff.\lim }} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d – \frac{{{x_{eff.\lim }}}}{2}} \right) = 0 {M_{Ed.1}} = b \cdot {x_{eff.\lim }} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d – \frac{{{x_{eff.\lim }}}}{2}} \right) = 0,2 \cdot 0,1129 \cdot 17,86 \cdot {10^3} \cdot \left( {0,229 – \frac{{0,1129}}{2}} \right) {M_{Ed.1}} = 69,59kNm

 

3. Wyznaczamy moment do zrównoważenie przez układ sił ze schematu nr 2

{M_{Ed.2}} = {M_{Ed}} – {M_{Ed.1}} = 90 – 69,59 = 20,41kNm

 

4. Wykorzystajmy teraz dwa równania. Na samym początku wykorzystując sumę rzutów sił na oś poziomą otrzymujemy, że:

{A_{s1.2}} = {A_{s2}}

Następnie z sumy momentów względem zbrojenia {A_{s1.2}} mamy:

{M_{Ed.2}} – {A_{s2}} \cdot {f_{yd}} \cdot \left( {d – {a_{s2}}} \right) = 0 {A_{s2}} = \frac{{{M_{Ed.2}}}}{{{f_{yd}} \cdot \left( {d – {a_{s2}}} \right)}} = \frac{{20,41}}{{434,78 \cdot {{10}^3} \cdot \left( {0,229 – 0,051} \right)}} = 2,64c{m^2}

5. Obliczamy sumaryczne zbrojenie

{A_{s1}} = {A_{s1.1}} + {A_{s1.2}} = 9,28 + 2,64 = 11.92c{m^2} {A_{s2}} = 2,64c{m^2}

 

Jak widać różnice między ty dwiema metodami są znikome i wynikają tylko i wyłącznie z zaokrągleń. Obliczenie zbrojenia tylko i wyłącznie na podstawie wzorów pokazuje, że obie metody są ze sobą tożsame i mogą być stosowane zamiennie.

 

I coś dobrego na koniec. Poniżej znajdziecie schemat blokowy jak obliczać zbrojenie dla przekrojów prostokątnych. Mamy nadzieję, że ten algorytm będzie dla Was nieodzowną pomocą w starciu z żelbetem 🙂

Algorytm zbrojenia przekroju prostokątnego