Zanim przejdziemy stricte do samej procedury obliczania zbrojenia lub nośności przekroju, warto pochylić się nad pewnymi pojęciami, które są niezbędne do prawidłowego zrozumienia jak obliczać elementy żelbetowe zginane.

Wysokość użyteczna przekroju

Wysokość użyteczna przekroju (oznaczana jako d) jest to odległość od krawędzi ściskanej do środka ciężkości zbrojenia rozciąganego lub też w bardziej uogólnionym przypadku jest to odległość od krawędzi mniej rozciąganej do środka ciężkości zbrojenia rozciąganego (taka sytuacja ma miejsce w przypadku stanu rozciągania mimośrodowego). Poniżej przedstawiono ilustrację, na której pokazano przykłady wyznaczenia wysokości użytecznej przekroju w zależności od wykresu momentów.

 

Przykład obliczania wysokości użytecznej

 

Belka z jednym rzędem zbrojenia

h=60cm  \; \; \;   {c_{nom}}=2,5cm  \; \; \;   {{\phi }_{glowne}}=1cm 

d=h-{{c}_{nom}}-{{\phi }_{strzemie}}-\frac{{{\phi }_{glowne}}}{2}

d=60-2,5-0,8-\frac{1}{2}=56,2cm

Belka z dwoma rzędami zbrojenia

h=60,00cm  \; \; \;   {c_{nom}}=2,50cm  \; \; \;   {{\phi }_{glowne}}=1,00cm \; \; \; {{\phi }_{glowne}}=0,80cm

W tym przypadku konieczne jest obliczenie środka ciężkości zbrojenia.
W przykładzie obliczymy go względem osi dolnego rzędu zbrojenia.

1. Obliczamy moment statyczny prętów.

{{S}_{y}}=3\cdot {{A}_{\phi 10}}\cdot 0+2\cdot {{A}_{\phi 10}}\cdot 5 {{A}_{\phi 10}}=\frac{\pi \cdot {{d}^{2}}}{4}=\frac{\pi \cdot {{1}^{2}}}{4}=0,785c{{m}^{2}} {{S}_{y}}=3\cdot 0,785\cdot 0+2\cdot 0,785\cdot 5=7,85c{{m}^{3}}

2. Obliczamy pole wszystkich prętów.

A=5\cdot {{A}_{\phi 10}}=5\cdot 0,785=3,925c{{m}^{2}}

3. Obliczamy środek ciężkości prętów.

{{y}_{c}}=\frac{{{S}_{y}}}{A}=\frac{7.85}{3.925}=2cm

Teraz możemy obliczyć wysokość użyteczną.

d=h-{{c}_{nom}}-{{\phi }_{strzemie}}-\frac{{{\phi }_{glowne}}}{2}-{{y}_{c}} d=60-2,5-0,8-\frac{1}{2}-2=54,2cm

Wysokość strefy ściskania

Warto w tym miejscu również wprowadzić pojęcie względnej wysokości strefy ściskanej oraz względnej granicznej wysokości strefy ściskanej.

Względna wysokość strefy ściskanej jest to stosunek wysokości strefy ściskanej w przekroju żelbetowym do wysokości użytecznej przekroju. Na podstawie poniższego rysunku z Eurokodu 2 wyprowadzimy sobie zależność do określenia granicznej względnej wysokości strefy ściskanej:

Korzystając z twierdzenia Talesa mamy.

\frac{{{x}_{lim}}}{d}=\frac{{{\varepsilon }_{cu3}}}{{{\varepsilon }_{cu3}}+{{\varepsilon }_{s}}}

Graniczna wysokość strefy ściskanej.

{{x}_{\text{lim}}}=\frac{{{\varepsilon }_{cu3}}}{{{\varepsilon }_{cu3}}+{{\varepsilon }_{s}}}\cdot d

Graniczna względna wysokość strefy ściskanej.

{{\xi }_{lim}}=\frac{{{\varepsilon }_{cu3}}}{{{\varepsilon }_{cu3}}+{{\varepsilon }_{s}}}

Dla przeprowadzenia obliczeń z wykorzystaniem prostokątnego rozkładu naprężeń w betonie konieczne jest zastosowanie współczynnika \lambda o którym jest mowa w normie w punkcie 3.1.7(3).

Współczynnik \lambda zgodnie z normą ma wartości.

\lambda =0,8   dla   {{f}_{ck}}\le 50~MPa

\lambda =0,8-\frac{{{f}_{ck}}-50}{200}   dla   50<{{f}_{ck}}\le 90

Stąd też efektywna wysokość strefy ściskanej oraz względna efektywna wysokość strefy ściskanej przedstawiają się zależnościami.

{{x}_{eff}}=0,8\cdot x {{\xi }_{eff}}=0,8\cdot \xi

Wartości graniczne oblicza się analogicznie do powyższej zależności.

{{x}_{eff,lim}}=0,8\cdot {{x}_{\text{lim}}}=0,8\cdot \frac{{{\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }}_{\text{cu}3}}}{{{\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }}_{\text{cu3}}}+{{\varepsilon }_{s}}}d=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}~}}d {{\xi }_{eff,lim}}=0,8\cdot {{\xi }_{\text{lim}}}=0,8\cdot \frac{{{\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }}_{\text{cu}3}}}{{{\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }}_{\text{cu3}}}+{{\varepsilon }_{s}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}~}}

Wartości graniczne wymagają bardzo ważnego komentarza z uwagi na cały proces projektowania konstrukcji żelbetowych.
Jeżeli {{\xi }_{eff}}>{{\xi }_{eff,lim}} to przekrój nie jest w pełni wykorzystany (naprężenia w zbrojeniu są dużo mniejsze od wytrzymałości stali). Całość prowadzi do sytuacji, kiedy to beton ulegnie całkowitemu zniszczeniu, a zbrojenie nadal będzie miało „zapas” nośności”. W przypadku zniszczenia niesygnalizowanego, gdy odkształcenia w strefie rozciąganej betonu osiągną wartość graniczną i zniszczenie jest nagłe. Naprężenia w stali są stosunkowo małe, wobec czego powstają rysy, ale są one pomijalnie małe, a ugięcia są niedostrzegalne. Dla zniszczenia sygnalizowanego naprężenia w zbrojeniu są na tyle duże, że stal zaczyna płynąć i pręty wydłużają się bez wzrostu obciążeń. Mamy wówczas do czynienia z silnymi zarysowaniami i znacznymi ugięciami. Jest to jedyny pożądany mechanizm ze względu na bezpieczeństwo.

Fazy pracy przekroju żelbetowego

• Faza 1a – naprężenia w betonie są tak małe, że można przyjąć beton jako materiał liniowo sprężysty. Jest to stan niezarysowany. Zależność pomiędzy naprężeniami a odkształceniami jest liniowa.
• Faza 1b – moment zginający przyjmuje większe wartości, uwidaczniają się efekty plastyczne (wykres naprężeń nie jest liniowy)
• Faza 2a – w strefie ściskanej naprężenia nadal stosunkowo małe, beton nie przenosi już naprężeń rozciągających (przenosi je zbrojenie)
• Faza 2b – przekrój jest nadal zarysowany, strefa ściskania ulega uplastycznieniu, wykres naprężeń nieliniowy
• Faza 3 – osiągnięcie maksymalnych dopuszczalnych naprężeń – stan graniczny nośności

Moment rysujący

Jest to moment zginający, który wywołuje naprężenia na krawędzi rozciąganej o wartości równej lub większej niż {{f}_{ctm}} (średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie). Ogólna zależność na moment rysujący przedstawia się zależnością

{{M}_{cr}}=W\cdot {{f}_{ctm}}

gdzie:

W– wskaźnik wytrzymałości przekroju w fazie sprężystej przed zarysowaniem

{{f}_{ctm}} – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie

Mechanizmy zniszczenia zginanego przekroju żelbetowego

Kruche, niesygnalizowane zniszczenie następuje, gdy odkształcenia w strefie rozciąganej betonu osiągną wartość graniczną i zniszczenie jest nagłe. W tym przypadku naprężenia w stali są stosunkowo małe, wobec czego powstają rysy, ale są one pomijalnie małe, a ugięcia są niedostrzegalne.

Zniszczenie sygnalizowane następujące, gdy naprężenia w zbrojeniu są na tyle duże, że stal zaczyna płynąć i pręty wydłużają się bez wzrostu obciążeń. Występują silne zarysowania i znaczne ugięcia. Jedyny pożądany mechanizm ze względu na bezpieczeństwo.

Wpływ stopnia zbrojenia.

1. Przekrój niedozbrojony – wysokość strefy ściskanej betonu jest mniejsza od wartości granicznej, więc odkształcenia w zbrojeniu są znacznie większe niż dopuszczalne, a naprężenia są na poziomie granicy plastyczności.
2. Przekrój przezbrojony – wysokość strefy ściskanej jest większa od wartości granicznej, a naprężenia w zbrojeniu są mniejsze od granicy plastyczności. Odkształcenia w stali są małe, a zbrojenie nie jest w pełni wykorzystane.

Zbrojenie minimalne i maksymalne elementów zginanych

Norma EN 1992-1-1 w rozdziale 9 dotyczącym konstruowania elementów i reguł szczególnych mówi jasno o przekroju minimalnym i maksymalnym zbrojenia.  I tak dla belek przekrój zbrojenia minimalnego wynosi zgodnie ze wzorem 9.1N:

{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d  \\0,0013\cdot b\cdot d  \\\end{matrix} \right.

gdzie:

{{f}_{ctm}} – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie określona wg Tablicy 3.1 w EC2

b – średnia szerokość strefy rozciąganej

d –  wysokość użyteczna przekroju

Natomiast zbrojenie maksymalne poza strefami zakładu powinno być nie większe niż

{{A}_{s,max}}=0,04\cdot {{A}_{c}}

gdzie:

{{A}_{c}} – pole przekroju betonowego

Innym typem elementu pracującym głownie na zginanie jest płyta, dla którego również Eurokod podaje wytyczne odnośnie zbrojenia minimalnego jak i maksymalnego. Na nasze szczęście są to te same zależności jak dla elementów belkowych wymieniowych powyżej. Dodatkowo Eurokod mówi o zbrojeniu drugorzędnym, które nie powinno być mniejsze niż 20% zbrojenia głównego (wynika to z pracy pasma płytowego, gdzie moment w kierunku drugorzędnym równy jest momentowi z kierunku głównego pomnożonego przez współczynnik Poissona dla betonu niezarysowanego równy 0,2).