Zbrojenie rozciągane i ściskane przekroju teowego

Zbrojenie rozciągane i ściskane przekroju teowego. Wymiarowanie przekroju rzeczywiście teowego zbrojonego ze względu na siły wewnętrzne rozciągające oraz ściskające zbrojenie.

Zaprojektować zbrojenie pojedynczo zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment zginający {M_{Ed}} = 540{\rm{ }}[kNm]. Belka wykonana z betonu C20/25 i stali A-IIIN {f_{yk}} = 500{\rm{ [MPa]}}. Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10 i zbrojenie główne średnicy \phi 32. Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina 35mm.

Charakterystyki materiałowe

Beton C20/25

{f_{cd}} = \frac{{{f_{ck}}}}{{{\gamma _C}}} = \frac{{20}}{{1,4}} = 14,29MPa

 

Stal A-IIIN

{f_{yd}} = \frac{{{f_{yk}}}}{{{\gamma _s}}} = \frac{{500}}{{1,15}} = 434,78MPa

 

• Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:

{\xi _{eff.\lim }} = 0,8 \cdot \frac{{0,0035}}{{0,0035 + \frac{{{f_{yd}}}}{{{E_s}}}}} = 0,8 \cdot \frac{{0,0035}}{{0,0035 + \frac{{434,78}}{{200000}}}} = 0,493

 

• Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:

            

d = h - c - {\phi _{sztrzemion}} - \frac{{{\phi _{preta}}}}{2}

d = 450 - 35 - 10 - \frac{{32}}{2} = 389mm

• Obliczam moment płytowy:

 

{M_{Rd,f}} = b \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} \cdot (d - 0,5 \cdot {h_f}) {M_{Rd,f}} = 0,75 \cdot 0,10 \cdot 14,29 \cdot {10^3} \cdot (0,389 - 0,5 \cdot 0,10) = 363,214kNm {M_{Ed}} = 540kNm > {M_{Rd,f}} = 363,214kNm

 

Przekrój rzeczywiście teowy

Zbrojenie rozciągane

Obliczenia zbrojenia

• Obliczenie nośności skrzydełek:

{M_{Rd.s}} = (b - {b_w}) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d - \frac{{{h_f}}}{2}} \right) {M_{Rd.s}} = (0,75 - 0,4) \cdot 0,10 \cdot 14,29 \cdot {10^3} \cdot \left( {0,389 - \frac{{0,1}}{2}} \right) = 169,5kNm

• Obliczenie pierwszej składowej zbrojenia rozciąganego:

{\mu _{eff}} = \frac{{{M_{Ed}} - {M_{Rd.s}}}}{{{b_w} \cdot {d^2} \cdot {f_{cd}}}} = \frac{{540 - 169,5}}{{0,4 \cdot {{0,3925}^2} \cdot 14,29 \cdot {{10}^3}}} = 0,4285 {\xi _{eff}} = 1 - \sqrt {1 - 2 \cdot {\mu _{eff}}}  = 1 - \sqrt {1 - 2 \cdot 0,4285}  = 0,6218

• Sprawdzamy czy nie została przekroczona względna graniczna wysokość strefy ściskanej:

{\xi _{eff}} = 0,6218 \le {\xi _{eff.\lim }} = 0,493

Warunek niespełniony. Musimy zastosować dodatkowe zbrojenie ściskane.

• Zakładamy {\xi _{eff}} = {\xi _{eff.\lim }}

Zbrojenie ściskane

Zbrojenie ściskane obliczamy korzystając z równania równowagi momentów względem zbrojenia rozciąganego.

ΣMAs1=0\Sigma {M_{{A_{s1}}}} = 0

\Sigma {M_{{A_{s1}}}} = 0 \left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d - \frac{{{h_f}}}{2}} \right) + {b_w} \cdot {\xi _{eff.\lim }} \cdot d \cdot {f_{cd}} \cdot d\left( {1 - 0,5 \cdot {\xi _{eff.\lim )}}} \right) + {A_{s2}} \cdot {f_{yd}} \cdot (d - {a_2}) - {M_{Ed}} = 0 {A_{s2}} = \frac{{{M_{Ed}} - \left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d - \frac{{{h_f}}}{2}} \right) - {b_w} \cdot {\xi _{eff.\lim }} \cdot {d^2} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {1 - 0,5 \cdot {\xi _{eff.\lim )}}} \right)}}{{{f_{yd}} \cdot (d - {a_2})}} {A_{s2}} = \frac{{540 - \left( {0,75 - 0,4} \right) \cdot 0,10 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3} \cdot \left( {0,389 - \frac{{0,1}}{2}} \right) - 0,4 \cdot 0,493 \cdot {{0,389}^2} \cdot 14,29 \cdot {{10}^3} \cdot \left( {1 - 0,5 \cdot 0,493} \right)}}{{434,783 \cdot {{10}^3} \cdot (0,389 - 0,05)}} {A_{s2}} = 3,33c{m^2}

• Zbrojenie rozciągane obliczamy z sumy rzutów sił na oś poziomą:

\Sigma {P_x} = 0 {A_{s1}} \cdot {f_{yd}} - {A_{s2}} \cdot {f_{yd}} - \left( {\left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} + {b_w} \cdot {\xi _{eff.\lim }} \cdot d \cdot {f_{cd}}} \right) = 0

.{A_{s1}} = \frac{{\left( {\left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} + {b_w} \cdot {\xi _{eff.\lim }} \cdot d \cdot {f_{cd}}} \right)}}{{{f_{yd}}}} + {A_{s2}}.

{A_{s1}} = \frac{{\left( {\left( {0,75 - 0,4} \right) \cdot 0,1 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3} + 0,4 \cdot 0,493 \cdot 0,389 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3}} \right)}}{{434,783 \cdot {{10}^3}}} + 3,33 = 40,06c{m^2}

• Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych rozciąganych:

{n_1} = \frac{{{A_{s1}}}}{{{A_{\phi 32}}}} = \frac{{40,06}}{{\pi  \cdot {{3,2}^2} \cdot 0,25}} = 4,98 \approx 5

• Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych:

{n_2} = \frac{{{A_{s2}}}}{{{A_{\phi 10}}}} = \frac{{3,33}}{{\pi  \cdot {{1,0}^2} \cdot 0,25}} = 4,24 \approx 5

• Pole przekroju przyjęto zbrojenia:

{A_{s1,prov}} = 5 \cdot {A_{\phi 32}} = 5 \cdot \pi  \cdot {3,2^2} \cdot 0,25 = 40,21\;c{m^2} {A_{s2,prov}} = 5 \cdot {A_{\phi 10}} = 5 \cdot \pi  \cdot {1,0^2} \cdot 0,25 = 3,93c{m^2}

• Sumaryczne pole przekroju:

{A_{s1.prov}} + {A_{s2.prov}} = 40,21 + 3,93 = 44,14c{m^2}

• Sprawdzenie zbrojenia minimalnego:

{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot\frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d\\   0,0013\cdot b\cdot d\\\end{matrix}\right. {{A}_{s,min}}=~max\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot\frac{2,2}{500}\cdot75\cdot38,9\\0,0013\cdot 75\cdot38,9\\\end{matrix}\right.=\left\{ \begin{matrix}3,94\\3,79\\\end{matrix}\right.=3,94~c{{m}^{2}} {A_{s1,prov}} = 40,21c{m^2} \ge \;{A_{s,min}} = 3,98c{m^2}

• Sprawdzenie zbrojenia maksymalnego:

{A_{s,\max }} = 0,04 \cdot \left( {\left( {{h_f} \cdot b} \right) + \left( {{b_w} \cdot \left( {h - {h_f}} \right)} \right)} \right).

{A_{s,\max }} = 0,04 \cdot \left( {\left( {10 \cdot 75} \right) + \left( {40 \cdot \left( {45 - 10} \right)} \right)} \right) = 86c{m^2} {A_{s1,prov}} + {A_{s2,prov}} = 44,14\;c{m^2} \le \;{A_{s,\max }} = 86\;c{m^2}

Belkę należy zazbroić pięcioma (5) prętami \phi 32 w strefie rozciąganej i pięcioma (5) prętami \phi 10 w strefie ściskanej.