Wymiarowanie przekroju rzeczywiście teowego

Wymiarowanie przekroju rzeczywiście teowego żelbetowego. Obliczenie zbrojenie potrzebnej ilości zbrojenia dwoma sposobami ze względu na moment zginający.

Zaprojektować zbrojenie pojedynczo zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment {M_{Ed}} = 400{\rm{ }}[kNm]. Belka wykonana z betonu C20/25 i stali A-IIIN {f_{yk}} = 500{\rm{ [MPa]}}. Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10 i zbrojenie główne średnicy \phi 25. Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina 35mm.

• Wyznaczam obliczeniowe wartości parametrów materiałowych:

Beton C20/25

{f_{cd}} = \frac{{{f_{ck}}}}{{{\gamma _C}}} = \frac{{20}}{{1,4}} = 14,29MPa

Stal A-IIIN

{f_{yd}} = \frac{{{f_{yk}}}}{{{\gamma _s}}} = \frac{{500}}{{1,15}} = 434,78MPa

 

• Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:

 

{\xi _{eff.\lim }} = 0,8 \cdot \frac{{0,0035}}{{0,0035 + \frac{{{f_{yd}}}}{{{E_s}}}}} = 0,8 \cdot \frac{{0,0035}}{{0,0035 + \frac{{434,78}}{{200000}}}} = 0,493

• Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:

            

d = h - c - {\phi _{sztrzemion}} - \frac{{{\phi _{preta}}}}{2} d = 450 - 35 - 10 - \frac{{25}}{2} = 392,5mm

• Obliczam moment płytowy:

 

{M_{Rd,f}} = b \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} \cdot (d - 0,5 \cdot {h_f}) {M_{Rd,f}} = 0,75 \cdot 0,10 \cdot 14,29 \cdot {10^3} \cdot (0,3925 - 0,5 \cdot 0,10) = 366,964kNm {M_{Ed}} = 400kNm > {M_{Rd,f}} = 366,964kNm

 

Przekrój rzeczywiście teowy

Wymiarowanie zbrojenia

Sposób 1

Fc1=(b−bw)⋅hf⋅fcd{F_{c1}} = \left( {b – {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}}

{F_{c1}} = \left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} {F_{c2}} = {b_w} \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}} {F_{s1}} = {A_{s1}} \cdot {f_{yd}}

• Wyznaczamy wysokość strefy ściskanej korzystając z równania równowagi względem zbrojenia rozciąganego:

\Sigma {M_{{A_{s1}}}} = 0 {M_{Ed}} - {F_{c1}} \cdot \left( {d - \frac{{{h_f}}}{2}} \right) - {F_{c2}} \cdot \left( {d - \frac{{{x_{eff}}}}{2}} \right) = 0 {M_{Ed}} - \left( {\left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}}} \right) \cdot \left( {d - \frac{{{h_f}}}{2}} \right) - \left( {{b_w} \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}}} \right) \cdot \left( {d - \frac{{{x_{eff}}}}{2}} \right) = 0

Rozwiązując powyższe równanie kwadratowe względem zmiennej {x_{eff}} otrzymujemy dwa rozwiązania:

{{x}_{eff,1}}=0,1205m

{{x}_{eff,2}}=0,6645m

 

Całkowita wysokość przekroju wynosi h = 0,45m, dlatego jedyna poprawną odpowiedzią jest {x_{eff}} = 0,1205m

• Sprawdzamy czy nie została przekroczona względna graniczna wysokość strefy ściskanej:

{\xi _{eff}} = \frac{{{x_{eff}}}}{d} = \frac{{0,1205}}{{0,3925}} = 0,307 \le {\xi _{eff.\lim }} = 0,493

Warunek spełniony. Mamy do czynienia z przekrojem pojedynczo zbrojonym.

• Zbrojenie rozciągane wyznaczymy z sumy rzutów sił na oś poziomą \Sigma {P_x} = 0:

{F_{s1}} - {F_{c1}} - {F_{c2}} = 0 {A_{s1}} \cdot {f_{yd}} - \left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} - {b_w} \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}} = 0 {A_{s1}} = \frac{{\left( {b - {b_w}} \right) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} + {b_w} \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}}}}{{{f_{yd}}}} {A_{s1}} = \frac{{\left( {0,75 - 0,4} \right) \cdot 0,1 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3} + 0,4 \cdot 0,1205 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3}}}{{434,78 \cdot {{10}^3}}} = 27,33c{m^2}

Obliczenia zbrojenia

Sposób 2

• Obliczenie nośności skrzydełek:

{M_{Rd.s}} = (b - {b_w}) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}} \cdot \left( {d - \frac{{{h_f}}}{2}} \right) {M_{Rd.s}} = (0,75 - 0,4) \cdot 0,10 \cdot 14,29 \cdot {10^3} \cdot \left( {0,3925 - \frac{{0,1}}{2}} \right) = 171,25kNm

• Obliczenie pierwszej składowej zbrojenia rozciąganego:

{A_{s1.1}} = \frac{{(b - {b_w}) \cdot {h_f} \cdot {f_{cd}}}}{{{f_{yd}}}} = \frac{{(0,75 - 0,4) \cdot 0,1 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3}}}{{434,78 \cdot {{10}^3}}} = 11,5c{m^2} {\mu _{eff}} = \frac{{{M_{Ed}} - {M_{Rd.s}}}}{{{b_w} \cdot {d^2} \cdot {f_{cd}}}} = \frac{{400 - 171,25}}{{0,4 \cdot {{0,3925}^2} \cdot 14,29 \cdot {{10}^3}}} = 0,2598 {\xi _{eff}} = 1 - \sqrt {1 - 2 \cdot {\mu _{eff}}}  = 1 - \sqrt {1 - 2 \cdot 0,2598}  = 0,307

• Sprawdzamy czy nie została przekroczona względna graniczna wysokość strefy ściskanej:

{\xi _{eff}} = \frac{{{x_{eff}}}}{d} = \frac{{0,1205}}{{0,3925}} = 0,307 \le {\xi _{eff.\lim }} = 0,493 {x_{eff}} = {\xi _{eff}} \cdot d = 0,307 \cdot 0,3925 = 0,1205m

• Obliczenie drugiej składowej zbrojenia rozciąganego:

{A_{s1.2}} = \frac{{{b_w} \cdot {x_{eff}} \cdot {f_{cd}}}}{{{f_{yd}}}} = \frac{{0,4 \cdot 0,1205 \cdot 14,29 \cdot {{10}^3}}}{{434,78 \cdot {{10}^3}}} = 15,83c{m^2}

• Całkowite zbrojenie rozciągane jest suma dwóch składowych:

{A_{s1}} = {A_{s1.1}} + {A_{s1.2}} = 11,5 + 15,83 = 27,33c{m^2}

• Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych:

n = \frac{{{A_{s1}}}}{{{A_{\phi 25}}}} = \frac{{27,33}}{{\pi  \cdot {{2,5}^2} \cdot 0,25}} = 5,57 \approx 6

• Pole przekroju przyjęto zbrojenia:

{A_{s1,prov}} = 6 \cdot {A_{\phi 205}} = 6 \cdot \pi  \cdot {2,5^2} \cdot 0,25 = 29,45\;c{m^2}

• Sprawdzenie zbrojenia minimalnego:

{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d\\0,0013\cdot b\cdot d  \\\end{matrix} \right. {{A}_{s,min}}=~max\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{2,2}{500}\cdot 75\cdot 39,25\\0,0013\cdot 75\cdot 39,25\\\end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}3,98\\3,83\\\end{matrix}\right.=3,98~c{{m}^{2}} {A_{s1,prov}} = 29,45c{m^2} \ge \;{A_{s,min}} = 3,98c{m^2}

• Sprawdzenie zbrojenia maksymalnego:

{A_{s,\max }} = 0,04 \cdot \left( {\left( {{h_f} \cdot b} \right) + \left( {{b_w} \cdot \left( {h - {h_f}} \right)} \right)} \right) {A_{s,\max }} = 0,04 \cdot \left( {\left( {10 \cdot 75} \right) + \left( {40 \cdot \left( {45 - 10} \right)} \right)} \right) = 86c{m^2} {A_{s1,prov}} = 29,45\;c{m^2} \le \;{A_{s,\max }} = 86\;c{m^2}

Belkę należy zazbroić sześcioma (6) prętami \phi 25.