Zarysowanie konstrukcji żelbetowych

Zarysowanie konstrukcji żelbetowych – wstęp

Pierwszym wrażeniem, kiedy spacerując widzimy zarysowany element żelbetowy, przychodzi nam myśl do głowy: „Dlaczego to się zarysowało? Czy to się zaraz nie zawali?” Tak właśnie reagują osoby, które nie znają specyfiki działania konstrukcji żelbetowych. Przypomnijmy sobie schemat działania elementów przekrojowych. Po wybudowaniu do pewnego momentu przekrój pracuje w I fazie pracy, czyli naprężania rozciągające są przenoszone przez beton, natomiast wykorzystanie stali jest znikome. Przy projektowaniu konstrukcji chodzi nam o maksymalne wykorzystanie właściwości zarówno samego betonu jak i stali. Dlatego dopuszczając większe obciążenia przekrój przechodzi w II fazę swojej pracy, gdzie naprężenia rozciągające są przejmowane przez stal zbrojeniową z uwagi na zniszczenie betonu poprzez przekroczenie wytrzymałości na rozciąganie. Wnioskiem z tego jest zdanie zawarte w Eurokodzie 2, które mówi, że: „Zarysowanie konstrukcji żelbetowych poddanych zginaniu, ścinaniu, skręcaniu lub rozciąganiu na skutek działania bezpośredniego obciążenia lub ograniczenia wymuszonych odkształceń jest zjawiskiem normalny”.

Pomimo tego, podobnie jak w przypadku stanu granicznego ugięć, Eurokod stawia warunki, które wymagają ograniczenia zarysowania do poziomu, który nie pogarsza stosownego funkcjonowania lub trwałości konstrukcji i nie powoduje, że wygląd konstrukcji nie nadaje się do akceptacji, za wyjątkiem sytuacji kiedy zarysowanie nie wpływa ujemnie na działanie konstrukcji.

Graniczna szerokość rys

Graniczna szerokość rys, bez uwzględniania wymagań dotyczących szczególnych wymagań np. wodoszczelności, przedstawiono w tablicy poniżej.

W obszarach, w których wystąpi rozciąganie norma wymaga zastosowania zbrojenia mającego przyczepność do betonu w ilości nie mniejszej od minimalnego zbrojenia ze względu na zarysowanie, które wyraża zależność:

{A_{s,\min }}{\sigma _s} = {k_c}k{f_{ct,eff}}{A_{ct}}

Gdzie:

{A_{s,\min }} – minimalne pole przekroju zbrojenia w strefie rozciąganej

{\sigma _s} – wartość bezwzględna maksymalnego dozwolonego naprężenia w zbrojeniu, które powstaje natychmiast po pojawieniu się rysy

{f_{ct,eff}} – średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie, osiągniętą w chwili, w której – jak się oczekuje – powstaną rysy

k – współczynnik zależny od wpływu nierównomiernych, samorównoważących się naprężeń, które prowadza do zmniejszenia sił od odkształceń wymuszonych:

                k = 1,0 – dla środników o wysokości h \le 300mm i półek o szerokości mniejszej niż 300mm

k = 0,65 – dla środników o wysokości h \ge 800mm  i półek o szerokości większej niż 800mm ; wartości pośrednie można interpolować

{k_c} współczynnik zależny od rozkładu naprężeń w przekroju w chwili bezpośrednio poprzedzającej zarysowanie oraz od zmiany ramienia sił wewnętrznych:

                Przy czystym rozciąganiu {k_c} = 1,0

                Przy zginaniu lub jednoczesnym zginaniu i działaniu siły podłużnej:

                                – w przekrojach prostokątnych i w środnikach przekrojów skrzynkowych i teowych:

{k_c} = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{0,4\left( {1 - \frac{{{\sigma _c}}}{{{k_1}\frac{h}{{{h^*}}}{f_{ct,eff}}}}} \right)}\\{1,0}\end{matrix}} \right.

                                -w półkach przekrojów skrzynkowych i teowych:

{k_c} = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{0,9\frac{{{F_{cr}}}}{{{A_{ct}}{f_{ct,eff}}}}}\\{0,5}\end{matrix}} \right.

 

{\sigma _c} – średnie naprężenie w betonie w rozpatrywanej części przekroju {\sigma _c} = \frac{{{N_{Ed}}}}{{bh}}

{N_{Ed}} – siła podłużna w stanie granicznym użytkowalności działająca na rozpatrywana część przekroju (przy ściskaniu dodatnią); wartość {N_{Ed}} określna się, biorąc pod uwagę charakterystyczne wartości siły sprężającej i sił podłużnych przy odpowiedniej kombinacji oddziaływań

{h^*} = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}h\\{1,0m}\end{matrix}} \right.

{k_1} współczynnik zależny od wpływu siły podłużnej na rozkład naprężeń:

{k_1} = 1,5 jeśli {N_{Ed}} jest siłą ściskającą

{k_1} = \frac{{2{h^*}}}{{3h}} jeśli {N_{Ed}} jest siłą rozciągającą

{F_{cr}} wartość bezwzględna siły osiowej w półce bezpośrednio przed zarysowaniem wywołanym przez moment rysujący obliczony przy założeniu, że wytrzymałość na rozciąganie jest równa {f_{ct,eff}}

 

Sprawdzenie zarysowania bez obliczania szerokości rys.

Żelbetowe płyty budynków poddane głownie zginaniu bez istotnego działania sił podłużnych oraz które mają grubość do 200mm nie wymagają podejmowania szczególnych kroków w celu ograniczenia zarysowania o ile zostały spełnione wymagania konstrukcyjne zawarte w rozdziale 9.3 Eurokodu 2 dotyczącego konstruowania zbrojenia w płytach pełnych.

Norma pozwala na sprawdzenie zarysowania bez obliczania szerokości rys w przypadku, kiedy zastosowano zbrojenie minimalne oraz:

– w przypadku zarysowania spowodowanego głownie przez skrępowanie odkształceń wymuszonych średnice prętów nie są większe niż podano w tablicy 7.2N

– w przypadku zarysowania spowodowanego głownie przez obciążenia spełniono wymagania podane w tablicy 7.2N lub 7.3N

Z uwagi na fakt, iż dane w tabelach zostały opracowane przy założeniach:

c = 25{\rm{ mm}}; {\rm{ }}{f_{ct,eff}} = 2,9{\rm{ MPa}}; {\rm{ }}{h_{cr}} = 0,5h; {\rm{ }}h - d = 0,1h; {\rm{ }}{k_1} = 0,8; {\rm{ }}{k_2} = 0,5; {\rm{ }}k = 1,0; {\rm{ }}{k_4} = 1,0

 

To należy je modyfikować według poniższych zależności:

Przy zginaniu (co najmniej część przekroju ściskana)

{\phi _s} = \phi _s^{\rm{*}}\frac{{{f_{ct,eff}}}}{{2,9}}\frac{{{k_c}{h_{cr}}}}{{2\left( {h - d} \right)}}

Przy rozciąganiu (równomierne rozciąganie osiowe)

{\phi _s} = \phi _s^{\rm{*}}\frac{{{f_{ct,eff}}}}{{2,9}}\frac{{{h_{cr}}}}{{8\left( {h - d} \right)}}

Gdzie:

{\phi _s} – dostosowana maksymalna średnica pręta

\phi _s^{\rm{*}} – średnica pręta wg tablicy

h – całkowita wysokość przekroju

{h_{cr}} – wysokość strefy rozciąganej tuż przed zarysowaniem, obliczoną dla charakterystycznej wartości siły sprężającej i sił podłużnych powstających pod wpływem prawie stałej kombinacji obciążeń

d – wysokość użyteczna odmierzana od środka ciężkości zewnętrznej warstwy zbrojenia

Jeżeli cały przekrój jest rozciągany, to za \left( {h - d} \right) należy przyjąć najmniejszą odległość od środka ciężkości warstwy zbrojenia do powierzchni betonu (jeżeli rozmieszczenie prętów nie jest symetryczne, to należy rozpatrzyć każdą powierzchnię elementu.

 

Obliczanie szerokości rys

Szerokość rys oblicza się wg zależności normowej podanej poniżej:

{w_k} = {s_{r,\max }}\left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right)

Gdzie:

{s_{r,\max }} – maksymalny rozstaw rys

{\varepsilon _{sm}} – średnie odkształcenia zbrojenia obliczonym z uwzględnieniem wpływu odkształceń wymuszonych oraz wpływu usztywnienia przy rozciąganiu

{\varepsilon _{cm}} – średnie odkształcenie betonu między rysami

Wartość \left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right) oblicza się za pomocą wzoru:

\left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right) = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{\frac{{{\sigma _s} - {k_t}\frac{{{f_{ct,eff}}}}{{{\rho _{p,eff}}}}\left( {1 + {\alpha _e}{\rho _{p,eff}}} \right)}}{{{E_s}}}}\\{0,6\frac{{{\sigma _s}}}{{{E_s}}}}\end{matrix}} \right.

W którym:

{\sigma _s} – naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, obliczonym przy założeniu, że przekrój jest zarysowany

{\alpha _e} – stosunek modułu sprężystości stali do średniego modułu sprężystości betonu {E_s}{\rm{/}}{E_{cm}}

{k_t} – współczynnik zależny od czasu trwania obciążenia ({k_t} = 0,6 – obciążenia krótkotrwałe; {k_t} = 0,4 – dla obciążenia długotrwałego)

{\rho _{p,eff}} = \frac{{{A_s}}}{{{A_{c,eff}}}}

{A_s} – pole zbrojenia w „efektywnym” polu rozciąganym betonu

{A_{c,eff}} – oznacza efektywne pole betonu rozciąganego otaczającego zbrojenie; wysokość tego pola wynosi {h_{c,ef}}; za {h_{c,ef}} przyjmuje się wartość

{h_{c,ef}} = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{2,5\left( {h - d} \right)}\\{\frac{{h - x}}{3}}\\{\frac{h}{2}}\end{matrix}} \right.

 

{s_{r,\max }} – maksymalny końcowy rozstaw obliczony wg procedury poniżej

Jeżeli w strefie rozciąganej zbrojenie mające przyczepność do betonu jest rozmieszczona w rozstawie nie większym niż 5\left( {c + \phi /2} \right) to końcowy maksymalny rozstaw rys można obliczyć ze wzoru:

{s_{r,\max }} = {k_3}c + {k_1}{k_2}{k_4}\frac{\phi }{{{\rho _{p,eff}}}}

Jeżeli rozstaw prętów jest większy od 5\left( {c + \phi /2} \right) lub jeżeli w strefie rozciąganej nie ma zbrojenia mającego przyczepność do betonu to końcowy maksymalny rozstaw rys oblicza się wg wzoru poniżej:

{s_{r,\max }} = 1,3\left( {h - x} \right)

Gdzie:

\phi – średnica zbrojenia

c – otulina zbrojenia podłużnego

{k_1} –  współczynnik zależny od przyczepności zbrojenia

{k_1} = 0,8 – dla prętów o wysokiej przyczepności

{k_1} = 1,6 – dla prętów o gładkiej powierzchni

{k_2} – współczynnik zależny od rozkładu odkształceń

{k_2} = 0,5 – przy zginaniu

{k_2} = 1,0  – przy czystym rozciąganiu

{k_2} = \frac{{{\varepsilon _1} + {\varepsilon _2}}}{{2{\varepsilon _1}}} – przy rozciąganiu mimośrodowym; {\varepsilon _1} jest większym z odkształceń)

Wartości zalecane dla {k_3} i {k_4} to odpowiednio 3,4 oraz 0,425

h – całkowita wysokość przekroju

x – wysokość strefy ściskanej

 

Zarysowanie konstrukcji żelbetowych -przykład

Obliczyć szerokość rys w belce poddanej działaniu momentu zginającego o wartości 500kNm. Belka wykonana z betonu \(C25/30\), a dobrze zakotwione zbrojenie to 5\phi 28 o polu przekroju {A_s} = 3079m{m^2}. Końcowy współczynnik pełzania przyjąć \varphi \left( {\infty ,{t_0}} \right) = 2,5. Otulina zbrojenia podłużnego wynosi c = 45mm.

 

Obliczamy efektywności moduł sprężystości betonu:

{E_{c,eff}} = \frac{{{E_{cm}}}}{{1 + \varphi \left( {\infty ,{t_0}} \right)}} = \frac{{31}}{{1 + 2,5}} = 8,86{\rm{ }}GPa

Obliczamy położenie osi neutralnej:

Aby obliczyć położenie osi neutralnej wykorzystamy geometryczną zależność, która mówi, że moment statyczny obliczony względem osi neutralnej wynosi zero:

S_{{y_0}}^d + S_{{y_0}}^g = 0

Gdzie:

S_{{y_0}}^d i S_{{y_0}}^g oznaczają odpowiednio moment statyczny części przekroju pod i ponad osią neutralną

b \cdot x \cdot \left( { - \frac{x}{2}} \right) + {\alpha _e}{A_s}\left( {d - x} \right) = 0

 

b \cdot \frac{{{x^2}}}{2} = {\alpha _e}{A_s}\left( {d - x} \right)

 

400 \cdot \frac{{{x^2}}}{2} = \frac{{200}}{{8,86}} \cdot 3079 \cdot \left( {930 - x} \right)

Rozwiązaniem powyższego równania jest x = 324mm

 

Obliczamy naprężenia w zbrojeniu rozciąganym wykorzystując równanie równowagi momentów względem zbrojenia rozciąganego:

{\sigma _s} \cdot {A_s} \cdot \left( {d - \frac{x}{3}} \right) - M = 0

 

{\sigma _s} = \frac{M}{{\left( {d - \frac{x}{3}} \right) \cdot {A_s}}} = \frac{{500 \cdot {{10}^6}}}{{\left( {930 - \frac{{324}}{3}} \right) \cdot 3079}} = 197,55\frac{N}{{m{m^2}}}

Obliczenie różnicy odkształceń \left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right):

 

\left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right) = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{\frac{{{\sigma _s} - {k_t}\frac{{{f_{ct,eff}}}}{{{\rho _{p,eff}}}}\left( {1 + {\alpha _e}{\rho _{p,eff}}} \right)}}{{{E_s}}}}\\{0,6\frac{{{\sigma _s}}}{{{E_s}}}}\end{matrix}} \right.

 

{k_t} = 0,4 – współczynnik jak dla obciążenia długotrwałego

 

{f_{ct,eff}} = {f_{ctm}} = 2,6MPa

 

{\alpha _e} = \frac{{{E_s}}}{{{E_{cm}}}} = \frac{{200}}{{31}} = 6,45

 

{\rho _{p,eff}} = \frac{{{A_s}}}{{{A_{c,eff}}}} = \frac{{3079}}{{400 \cdot 2,5 \cdot \left( {1000 - 930} \right)}} = 0,04399

 

\left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right) = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{\frac{{197,55 - 0,4 \cdot \frac{{2,6}}{{0,04399}}\left( {1 + 6,45 \cdot 0,04399} \right)}}{{200 \cdot {{10}^3}}}}\\{0,6\frac{{197,55}}{{200 \cdot {{10}^3}}}}\end{matrix}} \right. = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{8,36 \cdot {{10}^{ - 4}}}\\{5,93 \cdot {{10}^{ - 4}}}\end{matrix} = 8,36 \cdot {{10}^{ - 4}}} \right.

 

Obliczenie maksymalnego rozstawu rys:

Rozstaw prętów jest mniejszy niż 5\left( {c + \phi /2} \right)

 

{s_{r,\max }} = {k_3}c + {k_1}{k_2}{k_4}\frac{\phi }{{{\rho _{p,eff}}}}

 

{s_{r,\max }} = 3,4 \cdot 45 + 0,8 \cdot 0,5 \cdot 0,425\frac{{28}}{{0,04399}} = 261,2mm

 

Szerokość rozwarcia rys wynosi:

{w_k} = {s_{r,\max }}\left( {{\varepsilon _{sm}} - {\varepsilon _{cm}}} \right) {w_k} = 261,2 \cdot 8,36 \cdot {10^{ - 4}} = 0,218mm

Co jest mniejsze wartość graniczna {w_{k,\lim }} = 0,30mm

3 komentarze

  1. Witkacy pisze:

    Cały kurs żelbetu niesamowicie pomocny, będą jeszcze kolejne wpisy?
    Dzięki!

  2. Piotr Buzała pisze:

    Kolejny poradnik z żelbetu jest już dostępny. Zachęcam do nauki!

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *