Układ przestrzenny statycznie niewyznaczalny Metoda sił

Projekt ramy przestrzennej statycznie niewyznaczalnej rozwiązany metodą sił. Takie projekty mogą również Państwo trafić na kursach mechaniki budowli.  Poniższy przykład jest dokładnie rozpisany, na stronie pierwszej przedstawione są wszystkie wymagane dane oraz schematy. Świetny projekt do ćwiczenia metody sił i jednocześnie rysowania wykresów sił w schematach przestrzennych.

Układ przestrzenny statycznie niewyznaczalny Metoda sił

Rozwiązany projekt układu przestrzennego metodą sił nie różni się zbytnio od układu płaskiego. Wszystkie kroki w znanym już Państwu algorytmie metody sił muszą być uwzględnione, a więc jedyna różnica tkwi w ilości obliczeń jakie należy przeprowadzić w układzie przestrzennym, zaczynajmy.

Układ rzeczywisty

Obliczenie momentów bezwzględnych dla ułożenia poszczególnych prętów. Te prostokąty to przekroje poszczególnych prętów ułożone w taki sposób, jak naprawdę przebiegają przez ramę.

Pręt AB

 

 

\begin{array}{l}
Ix = \frac{{6h*{h^3}}}{{12}} = 0,5{h^4}\\
\\
Iy = \frac{{h*6{h^3}}}{{12}} = 18{h^4}\\
\\
Is = 0,299*6h*{h^3} = 1,794{h^4}
\end{array}

Pręt BC

\begin{array}{l}
Iy = 18{h^4}\\
\\
Iz = 0,5{h^4}\\
\\
Is = 1,794{h^4}
\end{array}

Pręt CD

\begin{array}{l}
Ix = 18{h^4}\\
\\
Iz = 0,5{h^4}\\
\\
Is = 1,794{h^4}
\end{array}

Pręt DE

\begin{array}{l}
Ix = 0,5{h^4}\\
\\
Iy = 18{h^4}\\
\\
Is = 1,794{h^4}
\end{array}

Obliczenie stopnia SSN (stopnia statycznej niewyznaczalności), przyjęcie i narysowanie układu podstawowego oraz ułożenie układu równań.

SSN = w - 6t \\
SSN = 8 - 6*1 \\
SSN = 2
Układ podstawowy

Układ równań kanonicznych
\left\{ \begin{array}{l}
{\delta _{11}}*{x_1} + {\delta _{12}}*{x_2} + {\delta _{1p}} = 0\\
{\delta _{21}}*{x_1} + {\delta _{22}}*{x_2} + {\delta _{2p}} = 0
\end{array} \right.

Obliczenie przemieszczeń w stanach Xi od obciążeń jednostkowych oraz w stanie P od obciążenia rzeczywistego.

Stan X1 – wykresy od obciążenia jednostkowego dla stanu X1=1,00

Wykres Mx dla stanu X1 – Mx=0,00 (brak sił wewnętrznych w osi X)

Wykres My dla stanu X1

Wykres Mz dla stanu X1

Wykres Ms dla stanu X1

Stan X2 – wykresy od obciążenia jednostkowego dla stanu X2=1,00

Wykresy Mz=Ms=Mx dla stanu X2 Mz=Ms=Mx=0,00 (brak sił wewnętrznych w osi Z, X oraz brak skręcania S)

Wykres My dla stanu X2

Posiadamy już wszystkie potrzebne wykresy, aby obliczyć przemieszczenia w stanie X.
Przemieszczenie δ11. (Mnożymy wykresy stanu X1 przez środki ciężkości stanu X1)

Przemieszczenie δ12.=δ21 (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu X1 przez środki ciężkości stanu X2 lub odwrotnie nie ma znaczenia)

Przemieszczenie δ22. (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu X2 przez środki ciężkości stanu X2 lub odwrotnie nie ma znaczenia)

Teraz mając obliczone już wszystkie przemieszczenia w stanach Xij potrzebujemy wykresów od obciążenia rzeczywistego.

Stan P – wykresy od obciążenia rzeczywistego dla stanu P

Wykres My dla stanu P

Wykres Mz dla stanu P

Wykres Mx dla stanu P

Wykres Ms dla stanu P

Mamy już wszystkie wykresy sił wewnętrznych układu podstawowego dla stanu P. Możemy przejść dalej do obliczenia przemieszczeń δPi.

Przemieszczenie δP1. (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu P przez środki ciężkości stanu X1)

 

Przemieszczenie δP2. (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu P przez środki ciężkości stanu X2)

 

Rozwiązanie układu równań

Obliczenie sił wewnętrznych rzeczywistych

Obliczenie sił wewnętrznych i narysowanie ich wykresów w układzie rzeczywistym ze wzoru superpozycji.

Wykresy dla stanu rzeczywistego w osi Y – MY

Wykresy dla stanu rzeczywistego w osi X – Mx

Wykresy dla stanu rzeczywistego w osi Z – Mz

Wykresy dla stanu rzeczywistego od skręcania S – Ms

Sprawdzenie poprawności obliczeń

Sprawdzenie statyczne

Sprawdzenie kinematyczne

 

\begin{array}{l}
{\varphi _A} = \frac{1}{{200*{{10}^6}*18{h^4}}}*\left[ {\left( {7,54*6*\frac{1}{2}*1} \right) - \left( {7,27*6*\frac{1}{2}*1} \right)} \right] + \\
 + \frac{1}{{200*{{10}^6}*18{h^4}}}*\left[ {\left( {7,27*6*\frac{1}{2}*1} \right) + \left( {2,52*\frac{1}{2}*6*\frac{1}{3}*1} \right)} \right] \\
\\
{\varphi _A} =  - \frac{{6,53*{{10}^{ - 9}}}}{{{h^4}}}=0,00
\end{array}