Układ przestrzenny 2 rozwiązany metodą sił

Kolejny projekt zawierający schemat ramy przestrzennej, a dodatkowo statycznie niewyznaczalnej. Rozwiązany krok po kroku przykład stanowi świetny materiał do nauki, jak i samodzielnego ćwiczenia rysowania wykresów w 3D oraz obliczania układu statycznie niewyznaczalnego metodą sił.

Układ rzeczywisty

Układ przestrzenny rozwiązany metodą sił

Obliczenie momentów bezwładności dla poszczególnych prętów. Przekroje prętów są prostokątne i ułożone zgodnie z poniższymi schematami.

Przekrój pręta AB

 

\begin{array}{l}
Ix = \frac{{4h*{h^3}}}{{12}} = 0,333{h^4}\\
\\
Iy = \frac{{h*4{h^3}}}{{12}} = 5,333{h^4}\\
\\
Is = 0,282*4h*{h^3} = 1,128{h^4}
\end{array}

Przekrój pręta BC

\begin{array}{l}
Iy = 5,333{h^4}\\
\\
Iz = 0,333{h^4}\\
\\
Is = 1,128{h^4}
\end{array}

Przekrój pręta CD

\begin{array}{l}
Ix = 5,333{h^4}\\
Iz = 0,333{h^4}\\
Is = 1,128{h^4}
\end{array}

Przekrój pręta DE

\begin{array}{l}
Ix = 0,333{h^4}\\
\\
Iy = 5,333{h^4}\\
\\
Is = 1,128{h^4}
\end{array}

Obliczenie stopnia SSN (stopnia statycznej niewyznaczalności), przyjęcie i narysowanie układu podstawowego oraz ułożenie układu równań.

\begin{array}{l}
SSN = w - 6t\\
\\
SSN = 8 - 6*1 \\
\\SSN = 2
\end{array}

Układ podstawowy

Układ równań kanonicznych

\left\{ \begin{array}{l}
{\delta _{11}}*{x_1} + {\delta _{12}}*{x_2} + {\delta _{1p}} = 0\\
{\delta _{21}}*{x_1} + {\delta _{22}}*{x_2} + {\delta _{2p}} = 0
\end{array} \right.

Obliczenie przemieszczeń w stanach Xi od obciążeń jednostkowych oraz w stanie P od obciążenia rzeczywistego.

Stan X1 – wykresy od obciążenia jednostkowego dla stanu X1=1,00
Wykres Mx dla stanu X1 – Mx=0,00 (brak sił wewnętrznych w osi X)

Wykres My dla stanu X1

Wykres Mz dla stanu X1

Wykres Ms dla stanu X1

Stan X2 – wykresy od obciążenia jednostkowego dla stanu X2=1,00
Wykresy Mz=Ms=Mx dla stanu X2 Mz=Ms=Mx=0,00 (brak sił wewnętrznych w osi Z, X oraz brak skręcania S)
Wykres My dla stanu X2

Posiadamy już wszystkie potrzebne wykresy, aby obliczyć przemieszczenia w stanie X.
Przemieszczenie δ11. (Mnożymy wykresy stanu X1 przez środki ciężkości stanu X1)

Przemieszczenie δ12.=δ21 (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu X1 przez środki ciężkości stanu X2 lub odwrotnie nie ma znaczenia)

 

 

Przemieszczenie δ22. (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu X2 przez środki ciężkości stanu X2 lub odwrotnie nie ma znaczenia)

 

Teraz mając obliczone już wszystkie przemieszczenia w stanach Xij potrzebujemy wykresów od obciążenia rzeczywistego.
Stan P – wykresy od obciążenia rzeczywistego dla stanu P
Wykres My dla stanu P

Wykres Mz dla stanu P

Wykres Mx dla stanu P

Wykres Ms dla stanu P

Mamy już wszystkie wykresy sił wewnętrznych układu podstawowego dla stanu P. Możemy przejść dalej do obliczenia przemieszczeń δPi.

Przemieszczenie δP1. (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu P przez środki ciężkości stanu X1)

 

Przemieszczenie δP2. (Mnożymy wykresy sił wewnętrznych stanu P przez środki ciężkości stanu X2)

Rozwiązanie układu równań

Obliczenie sił wewnętrznych rzeczywistych

Obliczenie sił wewnętrznych i narysowanie ich wykresów w układzie rzeczywistym ze wzoru superpozycji.

Wykresy dla stanu rzeczywistego w osi Y – MY

Wykresy dla stanu rzeczywistego w osi X – Mx

Wykresy dla stanu rzeczywistego w osi Z – Mz

Wykresy dla stanu rzeczywistego od skręcania S – Ms

Sprawdzenie poprawności obliczeń

Sprawdzenie statyczne

Sprawdzenie kinetyczne

\begin{array}{l}
{\varphi _A} = \int\limits_B^A {\frac{{M*M}}{{E*Iy}}ds + } \int\limits_C^B {\frac{{M*M}}{{E*Iy}}ds} \\
\\
{\varphi _A} = \frac{1}{{200*{{10}^6}*5,333{h^2}}}*\left[ {\left( {6,192*6*\frac{1}{2}*1} \right) + \left( { - 5,69*6*\frac{1}{2}*1} \right)} \right] + \\
 + \frac{1}{{200*{{10}^6}*5,333{h^2}}}*\left[ {\left( { - 5,69*6*1} \right) + \left( {7,64*6*\frac{1}{2}*1} \right)} \right]\\
\\
{\varphi _A} = \frac{{1,509}}{{200*{{10}^6}*5,333{h^4}}} + \frac{{ - 57,06}}{{200*{{10}^6}*5,333{h^4}}}\\
\\
{\varphi _A} =  - \frac{{5,21*{{10}^{ - 8}}}}{{{h^4}}}=0,00
\end{array}