Ugięcie – stan graniczny użytkowalności

Stan graniczny ugięć, choć w większości przypadków nie wpływających na nośność i bezpieczeństwo konstrukcji, powinien być brany pod uwagę, aby nie pogarszać estetyki konstrukcji oraz by użytkownicy/mieszkańcy obiektu mieli zapewniony komfort użytkowania. Z pewnością nikt nie czuł się spokojnie, gdyby strop znajdujący się nad nami był nadmiernie ugięty lub gdy ściany byłyby znacząco przechylone.

Określenie granicznych wartości ugięć powinno być ustalane w oparciu o przeznaczenie i rodzaj konstrukcji, elementy wykończenia oraz ściany działowe i zamocowania. Ponadto odkształcenia konstrukcji nie powinny przekraczać wartości, do których mogą dostosować się inne połączone z nią elementy.

Zgodnie z zaleceniami Eurokodu 2, jeżeli strzałka ugięcia pod wpływem obciążeń quasi-stałych nie przekracza \frac{1}{{250}} rozpiętości, to wygląda i ogólna przydatność konstrukcji uznaje się za zadowalającą. Jednakże, w celu kompensacji ugięcia można zastosować odwrotną strzałkę ugięcia, jednak należy pamiętać, aby jej wartość nie przekraczała \frac{1}{{250}} rozpiętości.  Dodatkowo wartość strzałki ugięcia należy ograniczyć, aby nie powodować dodatkowych naprężeń/odkształceń w elementach przylegających. Właściwą granicą powstającą pod działaniem obciążeń quasi-stałych po zakończeniu wznoszenia konstrukcji jest zwykle \frac{1}{{500}}.

Stan graniczny ugięć można sprawdzać na dwa różne sposoby:

– poprzez ograniczenie stosunku rozpiętości do wysokości użytecznej przekroju

– poprzez porównanie obliczonego ugięcia z wartością graniczną

 

Ograniczenie stosunku rozpiętości do wysokości użytecznej

Jeżeli graniczny stosunek rozpiętości do wysokości użytecznej pomnożony przez współczynniki korekcyjne zależne od rodzaju zbrojenia i innych zmiennych spełnia zależność poniżej to na ogół obliczanie ugięć nie jest konieczne:

\frac{l}{d} = K\left[ {11 + 1,5\sqrt {{f_{ck}}} \frac{{{\rho _0}}}{\rho } + 3,2\sqrt {{f_{ck}}} {{\left( {\frac{{{\rho _0}}}{\rho } - 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right]{\rm{        dla   }}\rho  \le {\rho _0}

 

\frac{l}{d} = K\left[ {11 + 1,5\sqrt {{f_{ck}}} \frac{{{\rho _0}}}{{\rho  - \rho '}} + \frac{1}{{12}}\sqrt {{f_{ck}}\frac{{\rho '}}{{{\rho _0}}}} } \right]{\rm{       dla   }}\rho  > {\rho _0}

Gdzie:

l -rozpiętość elementu

d – wysokość użyteczna elementu

{\rho _0} porównawczy stopień zbrojenia {\rho _0} = \sqrt {{f_{ck}}}  \cdot {10^{ - 3}} ({f_{ck}} wyrażone w MPa)

\rho – wymagany (ze względu na nośność) stopień zbrojenia rozciąganego w środku rozpiętości (we wsporniku na podporze)

\rho ' – wymagany (ze względu na nośność) stopień zbrojenia ściskanego w środku rozpiętości (we wsporniku na podporze)

Współczynniki korekcyjne przy ugięciu

Poniżej opisane zostały przypadki, w których trzeba zastosować współczynniki korekcyjne:

• Powyższe wzory, określające stosunek rozpiętości do wysokości, zostały wyprowadzone przy założeniu, że naprężenie w zbrojeniu (w przekroju zarysowanym) spowodowane obciążeniem obliczeniowym w SLS, wynosi 310{\rm{ }}MPa (co w przybliżeniu jest właściwe dla {f_{yk}} = 500MPa.

Jeżeli poziom naprężeń jest inny to wartości stosunki rozpiętości do wysokości należy pomnożyć przez 310{\rm{/}}{\sigma _s}. Zwykle bezpiecznie można przyjąć:

\frac{{310}}{{{\sigma _s}}} = \frac{{500}}{{\frac{{{f_{yk}}{A_{s,reg}}}}{{{A_{s,prov}}}}}}

Gdzie

{\sigma _s} – naprężenie w rozciąganym zbrojeniu w środku rozpiętości (we wsporniku na podporze) pod obciążeniem obliczeniowym w stanie granicznym użytkowalności

{A_{s,prov}} – pole przekroju zbrojenia w przekroju elementu

{A_{s,req}} – pole przekroju zbrojenia potrzebne z uwagi na stan graniczny nośności

• Jeżeli przekrój ma półkę o szerokości większej niż trzy szerokości żebra, to wartość l{\rm{/}}d obliczona ze wzoru należy pomnożyć przez 0,8
• Jeżeli belki i płyty, inne niż płaskie płyty pełne, mają rozpiętość przekraczającą 7,0m i podpierają ścianki działowe, które mogą ulec uszkodzeniu na skutek nadmiernych ugięć, to wartości l{\rm{/}}d należy pomnożyć przez 7{\rm{/}}{{\rm{l}}_{eff}}
• W płytach płaskich, w których większa z dwóch rozpiętości przekracza 8,5m, podpierających ścianki działowe podatne na uszkodzenia na skutek nadmiernych ugięć, wartości l{\rm{/}}d ze wzoru należy pomnożyć przez 8,5{\rm{/}}{l_{eff}}

Wartości parametru K przedstawiono w tabeli poniżej:

Sprawdzenie ugięć przez obliczenia

W elementach, w których obciążenie nie przekroczy poziomu powodującego zarysowanie (czyli naprężenia rozciągające w betonie nie przekroczą wytrzymałości betonu na rozciąganie) to elementy rozpatruje się jako niezarysowane, a obliczanie ugięć prowadzi się dla betonu w I fazie pracy. Element, w których oczekuje się, że nastąpi zarysowanie, ale które mogą bc nie w pełni zarysowane zachowują się w sposób pośredni pomiędzy warunkami panującymi w elementach niezarysowanych a warunkach w elementach w pełni zarysowanych.

Dla elementów poddanych głownie zginaniu zadowalającą prognozę odkształceń określa wzór:

\alpha  = \zeta {\alpha _{II}} + \left( {1 - \zeta } \right){\alpha _I}

Gdzie

\alpha – jest parametrem deformacji, którą się rozpatruje (np. odkształcenie przekroju, krzywizna, obrót, ugięcie; {\alpha _I},{\alpha _{II}} są odpowiednio wartościami parametru \alpha obliczonymi przy założeniu, że nie ma rys i przy założeniu pełnego zarysowania

\zeta – jest współczynnikiem dystrybucji, służącym do uwzględnienia usztywnienia przy rozciąganiu, określonym wzorem

\zeta  = 1 - \beta {\left( {\frac{{{\sigma _{sr}}}}{{{\sigma _s}}}} \right)^2}

\zeta  = 0  w przekrojach niezarysowanych

\beta – jest współczynnikiem zależnym od wpływu czasu trwania obciążenia lub wpływu obciążeń powtarzalnych na średnie odkształcenie

\beta  = 1,0 dla pojedynczego obciążenia krótkotrwałego

\beta  = 0,5 – dla obciążeń długotrwałych i wielokrotnie powtarzanych

{\sigma _s} – naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, obliczonym przy założeniu, ze przekrój jest w pełni zarysowany

{\sigma _{sr}} – naprężenie w zbrojeniu rozciąganym, obliczonym przy założeniu, ze przekrój jest w pełni zarysowany, spowodowanym przez obciążenie wywołujące pierwsze zarysowanie

Przy zginaniu wartość {\sigma _{sr}}/{\sigma _s} można zastąpić przez {M_{cr}}/M, a przy czystym rozciąganiu {N_{cr}}/N . ({M_{cr}} oznacza moment rysujący, a {N_{cr}} oznacza siłę rysującą)

Przy obciążeniu trwającym dostatecznie długo, aby wywołać pełzanie betonu, całe odkształcenie łącznie z odkształceniem pełzania, można obliczać, stosując efektywny moduł sprężystości betonu wg wzoru:

{E_{c,eff}} = \frac{{{E_{cm}}}}{{1 + \varphi \left( {\infty ,{t_0}} \right)}}

Gdzie

\varphi \left( {\infty ,{t_0}} \right) – jest współczynnikiem pełzania wyznaczonym odpowiednio do rozpatrywanego przedziału czasu i obciążenia

Krzywizna spowodowana skurczem

Krzywiznę spowodowaną skurczem można oszacować stosując wzór:

\frac{1}{{{r_{cs}}}} = {\varepsilon _{cs}}{\alpha _e}\frac{S}{J}

W którym:

\frac{1}{{{r_{cs}}}} – krzywizna spowodowana skurczem

{\varepsilon _{cs}} – swobodne odkształcenie skurczowe

S – moment statyczny pola przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju

J – moment bezwładności przekroju

{\alpha _e} – efektywny stosunek modułów sprężystości

{\alpha _e} = \frac{{{E_s}}}{{{E_{c,eff}}}}

 

Wartości S i J należy obliczyć przy założeniu, że przekrój jest niezarysowany, albo przy założeniu, że przekrój jest w pełni zarysowany – zależnie od rozpatrywanej fazy, a ostateczną krzywiznę oblicza się ze wzoru:

\alpha  = \zeta {\alpha _{II}} + \left( {1 - \zeta } \right){\alpha _I}

Dokładniejszy sposób określania wartości ugięć z zastosowaniem zależności \alpha  = \zeta {\alpha _{II}} + \left( {1 - \zeta } \right){\alpha _I}polega na obliczaniu krzywizn w przekrojach gęsto rozmieszczonych wzdłuż elementu, a następnie na obliczaniu ugięcia przez całkowanie numeryczne.

 

Krzywizna może zostać obliczona korzystając z zależności nazywanej często równaniem Eulera:

\kappa  = \frac{1}{\rho } = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{M}{{EJ}}

Powyższa zależność jest przybliżeniem ogólnego równania dla krzywizny i jest prawdziwa dla małych ugięć, które de facto spotykamy w analizie konstrukcji. Podwójne całkowanie w/w równania prowadzi do uzyskania równania ugięcia elementu.

Przy obliczaniu ugięć za pomocą krzywizn będą nam przydatne współczynniki z poniższej tabeli, których sposób wyprowadzania znajduje się pod tabelką.

 

Podstawą określania współczynników jest znajomość lub określenie równania opisującego maksymalne przemieszczenie elementu. Kolejnym krokiem jest przekształcenie tej zależności w funkcję momentu zginającego zamiast w funkcji obciążenia. Wyciągając rozpiętość elementu w kwadracie i krzywiznę elementu otrzymujemy współczynnik pomocniczy, który pozwoli nam na obliczenie ugięć.

 

Wyznaczenie parametru K do obliczania ugięć

Ugięcie elementu wyznaczymy korzystając ze wzoru na strzałkę ugięcia elementu swobodnie podpartego pod obciążeniem równomiernie rozłożonym:

u = \frac{5}{{384}}\frac{{q{l^4}}}{{EJ}}

Wykorzystajmy wyznaczoną przez nas krzywiznę, która wyraża się wzorem:

\frac{1}{r} = \frac{M}{{EJ}}

Przekształcając zależność na strzałkę ugięcia w funkcję momentu zginającego otrzymamy:

M = \frac{{q{l^2}}}{8} u = \frac{5}{{48 \cdot 8}}\frac{{q{l^2}{l^2}}}{{EJ}} = \frac{5}{{48}}{l^2}\frac{1}{r}

 

Obliczenie ugięcia – przykład

Obliczyć ugięcie belki swobodnie podpartej o rozpiętości l = 6m zazbrojonej czterami prętami \phi 20 ({A_s} = 12,57c{m^2}) o granicy plastyczności {f_{yk}} = 500MPa. Współczynnik pełzania przyjąć \varphi (\infty ,{t_0}) = 2,5. Moment zginający wywołany kombinacją obciążeń quasi-stałą wynosi {M_{QP}} = 120kNm. Belka wykonana z betonu C25/30 o wymiarach b/h = 30/50{\rm{ }}[cm]. Otulinę obliczeniową przyjąć jako a = 5cm

Parametry geometryczne i materiałowe:

Średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie {f_{ctm}} = 2,6MPa

Moduł sprężystości stali zbrojeniowej: {E_s} = 200GPa

Efektywny moduł sprężystości betonu: {E_{c,eff}} = \frac{{{E_{cm}}}}{{1 + \varphi \left( {\infty ,{t_0}} \right)}} = \frac{{30}}{{1 + 2,5}} = 8,57GPa

Wysokość użyteczna przekroju belki: d = h - a = 50 - 5 = 45cm

Moment rysujący

Obliczenie momentu rysującego:

{\alpha _e} = \frac{{{E_s}}}{{{E_{c,eff}}}} = \frac{{200}}{{8,57}} = 23,34

 

A = {A_c} + {\alpha _e}{A_s} = 30 \cdot 50 + 23,34 \cdot 12,57 = 1793,38c{m^2}

 

{S_x} = b \cdot h \cdot \frac{h}{2} + {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot d = 30 \cdot 50 \cdot \frac{{50}}{2} + 23,34 \cdot 12,57 \cdot 45 = 50702,3c{m^3}

 

{x_{uc}} = \frac{{{S_x}}}{A} = \frac{{50702,3}}{{1793,38}} = 28,27cm

 

{J_{uc}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} + b \cdot h \cdot {\left( {\frac{h}{2} - {x_{uc}}} \right)^2} + {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot {\left( {d - {x_{uc}}} \right)^2}

 

{J_{uc}} = \frac{{30 \cdot {{50}^3}}}{{12}} + 30 \cdot 50 \cdot {\left( {\frac{{50}}{2} - 28,27} \right)^2} + 23,34 \cdot 12,57 \cdot {\left( {45 - 28,27} \right)^2} = 410655,39c{m^4}

 

Krzywizna w fazie niezarysowanej

\frac{1}{{{r_{uc}}}} = \frac{{{M_{QP}}}}{{{E_{c,eff}}{J_{uc}}}} = \frac{{120}}{{8,57 \cdot {{10}^6} \cdot 410655,39 \cdot {{10}^{ - 8}}}} = 3,41 \cdot {10^{ - 3}}\frac{1}{m}

 

W = \frac{{{J_{uc}}}}{{h - {x_{uc}}}} = \frac{{410655,39}}{{50 - 28,27}} = 18898,09c{m^3}

 

{M_{cr}} = {f_{ctm}} \cdot W = 2,6 \cdot {10^3} \cdot 18898,09 \cdot {10^{ - 6}} = 49,135kNm

 

Moment zginający jest większy niż moment rysujący \left( {{M_{QP}} = 120kNm \ge {M_{cr}} = 49,135kNm} \right) więc musimy obliczyć współczynnik dystrybucji:

\zeta  = 1 - 0,5{\left( {\frac{{{M_{cr}}}}{{{M_{QP}}}}} \right)^2} = 1 - 0,5{\left( {\frac{{49,135}}{{120}}} \right)^2} = 0,916

Obliczamy moment bezwładności przekroju w fazie zarysowanej:

b \cdot {x_{cr}} \cdot \frac{{{x_{cr}}}}{2} - {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot \left( {d - {x_{cr}}} \right) = 0

Rozwiązaniem powyższego równania jest:

{x_{cr}} = 21,46cm

 

{J_{cr}} = \frac{{b \cdot {x_{cr}}^3}}{3} + {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot {\left( {d - {x_{cr}}} \right)^2} = \frac{{30 \cdot {{21,46}^3}}}{3} + 23,34 \cdot 12,57 \cdot {\left( {45 - 21,46} \right)^2} = 261403,32c{m^4}

Krzywizna w fazie zarysowanej

\frac{1}{{{r_{cr}}}} = \frac{{{M_{QP}}}}{{{E_{c,eff}}{J_{cr}}}} = \frac{{120}}{{8,57 \cdot {{10}^6} \cdot 261403,32 \cdot {{10}^{ - 8}}}} = 5,36 \cdot {10^{ - 3}}\frac{1}{m}

Krzywiznę rzeczywistą obliczymy zgodnie z zależności normowej:

\frac{1}{r} = \zeta \frac{1}{{{r_{cr}}}} + \left( {1 - \zeta } \right)\frac{1}{{{r_{uc}}}} = 0,916 \cdot 5,36 \cdot {10^{ - 3}} + \left( {1 - 0,916} \right) \cdot 3,41 \cdot {10^{ - 3}} = 5,196 \cdot {10^{ - 3}}\frac{1}{m}

 

Ugięcie elementu wynosi:

u = \frac{5}{{48 \cdot 8}}\frac{{q{l^2}{l^2}}}{{EJ}} = \frac{5}{{48}}{l^2}\frac{1}{r} = \frac{5}{{48}}{6^2} \cdot 5,196 \cdot {10^{ - 3}} = 0,019m = 1,9cm

Wartość dopuszczalna ugięcia wyznaczymy jako 1{\rm{/}}500 rozpiętości elementu.

{u_{dop}} = \frac{l}{{500}} = \frac{{600}}{{500}} = 1,2cm

Ugięcie elementu przekracza wartość dopuszczalną, należy przeprojektować element.