Skręcanie w konstrukcjach żelbetowych – wstęp

Ze skręcaniem w konstrukcjach żelbetowych spotykamy się najczęściej przy analizie skrajnego pasma w stropach gęstożebrowych, przy obliczaniu belek obciążonych siłą na pewnym mimośrodzie e lub przy obliczanie belek zakrzywionych w planie.

     

Skręcanie elementów żelbetowych analizuje się jako pewną analogię do ścinania, mianowicie w jednym i w drugim przypadku punktem wyjściowym jest kratownica składająca się z krzyżulców betonowych i stalowych.

Guidelines and Rules for Detailing of Reinforcement in Concrete Structures (ANNELI DAHLGREN LOUISE SVENSSON)

 

Rozkład naprężeń w przekroju skręcanym pokazano na rysunku poniżej. Widzimy na nim, że największe naprężenia styczne występują w środku rozpiętości dłuższego boku, natomiast najmniejsze są w narożnikach i w środku przekroju, co wyjaśnia nam podejście normowe, które mówi, że przekrojem pracującym na skręcanie jest cienkościenny przekrój zamknięty o grubości ścianek {t_{ef,i}}.

                                                                                       http://limba.wil.pk.edu.pl/~mh/Zadania/Skrecanie/Teoria/index.htm

Skręcanie w konstrukcjach żelbetowych w normie PN-EN 1992

Zgodnie z wytycznymi Eurokodu 2 nośność elementów na skręcanie można przyjmować na podstawie zależności dotyczących cienkościennego przekroju zamkniętego, w którym warunki równowagi są spełnione przez zamknięty obieg jednostkowych sił stycznych. Za modele przekrojów pełnych można przyjmować ich cienkościenne odpowiedniki. Przekroje o złożonym kształcie, takie jak przekroje teowe, można dzielić ma szereg części – za model każdej z nich przyjmuje się jej cienkościenny odpowiednik – a całą nośność na skręcanie oblicza się jako sumę pojedynczych części.

 

Grubość ścianek przekroju określamy jako iloraz pola powierzchni przekroju ograniczonego przez zewnętrzny obwód (łącznie z otworami) A do długości zewnętrznego obwodu przekroju u:

{t_{ef,i}} = \frac{{{A_i}}}{{{u_i}}}

Naprężenia styczne w ścianie przekroju można obliczyć ze wzoru:

{\tau _{t,i}}{t_{ef,i}} = \frac{{{T_{Ed}}}}{{2{A_k}}}

Gdzie,

{T_{Ed}} – obliczeniowy moment skręcający

{A_k} – pole powierzchni wnętrza figury utworzonej przez linie środkowe ścian (łącznie z pustą przestrzenią)

{t_{ef,i}} – oznacza efektywną grubość ściany

Skręcanie i ścinanie w żelbecie

Często spotyka się sytuacje, w których naprężenia styczne są wywoływane zarówno przez moment skręcający jak i siłę poprzeczną działającą na element. Efekty skręcania i ścinanie (wg 6.3.2(2)) można superponować przyjmując te same wartości kąta nachylenia krzyżulców \theta . Wytężenie przekroju z uwagi na zniszczenie krzyżulców betonowych określa się za pomocą zależności, której wartość nie powinna przekraczać wartości jednostkowej:

\frac{{{T_{Ed}}}}{{{T_{Rd,\max }}}} + \frac{{{V_{Ed}}}}{{{V_{Rd,\max }}}} \le 1,0

Gdzie:

{T_{Ed}} – obliczeniowy moment skręcający

{V_{Ed}} – obliczeniowa siła poprzeczna

{T_{Rd,\max }} – obliczeniowa nośność na skręcanie wg wzoru:

{T_{Rd,\max }} = 2\nu {\alpha _{cw}}{f_{cd}}{A_k}{t_{ef,i}}\sin \theta \cos \theta

 

\nu  = 0,6 \cdot \left( {1 - \frac{{{f_{ck}}}}{{250}}} \right)

{\alpha _{cw}} = 1,0  – dla konstrukcji niesprężonych

{V_{Rd.\max }} – maksymalna nośność obliczeniowa z uwagi na ścinanie

 

W przekrojach pełnych, w przybliżeniu prostokątnych zbrojenie minimalne określone w punkcie 9.2.1.1 uznaje się za wystarczające, gdy spełniony jest następujący warunek:

\frac{{{T_{Ed}}}}{{{T_{Rd,c}}}} + \frac{{{V_{Ed}}}}{{{V_{Rd,c}}}} \le 1,0

Gdzie

{T_{Rd,c}} – skręcający moment rysujący, który można określić podstawiając {\tau _{t,i}} = {f_{ctd}}

{V_{Rd,c}} – wartość obliczeniowa nośności na ścinanie

 

Obliczenia zbrojenia poprzecznego przeprowadza się jako wymiarowanie jednego ramienia strzemienia:

\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}} = \frac{{0,5 \cdot {T_{Ed}}}}{{{A_k} \cdot {f_{ywd}} \cdot \cot \theta }}

{A_{sw}} – pole przekroju ramienia strzemienia

{s_w} – rozstaw podłużny ramion

{f_{ywd}} – obliczeniowa granica plastyczności stali strzemion

 

Obliczenia zbrojenia podłużnego wyznacza się na podstawie zależności:

{A_{sl}} = \frac{{{T_{Ed}} \cdot {u_k} \cdot \cot \theta }}{{2 \cdot {A_k} \cdot {f_{yd}}}}

Gdzie:

{u_k} – jest obwodem pola {A_k}

{f_{yd}} – obliczeniowa granica plastyczności zbrojenia podłużnego {A_{sl}}

\theta – kąt nachylenia krzyżulców ściskanych

 

Sumaryczne pole przekroju strzemion na jednostkę długości możemy obliczać z zależności:

{\left( {\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}}} \right)_{calkowite}} = {\left( {\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}}} \right)_{scinanie}} + 2 \cdot {\left( {\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}}} \right)_{skrecanie}}

 

Skręcanie w konstrukcjach żelbetowych – przykład

Wyznaczyć potrzebne zbrojenie z uwagi na skręcanie w układzie pokazanym poniżej (wymiary podano w osiach): Przekrój prostokątny o wymiarach b{\rm{/}}h = 30{\rm{/}}60cm wykonany z betonu C25{\rm{/30}} Wysokość użyteczną belki przyjąć równą d = 55cm. Zbrojenie podłużne wykonane z 3 prętów \phi 14 górą i z 2 prętów \phi 10 dołem.

Dane materiałowe:

Beton C25/30

{f_{cd}} = \frac{{{f_{ck}}}}{{{\gamma _C}}} = \frac{{25}}{{1,4}} = 17,86{\rm{ [MPa]}}

 

{f_{ctd}} = {\alpha _{cw}} \cdot \frac{{{f_{ctk,0.05}}}}{{{\gamma _c}}} = 1,0 \cdot \frac{{1,8}}{{1,4}} = 1,29{\rm{ }}MPa

 

Stal

{f_{ywd}} = \frac{{{f_{ywk}}}}{{{\gamma _S}}} = \frac{{500}}{{1,15}} = 434,78{\rm{ MPa}}

 

Obliczamy z uwagi na ścinanie:

{C_{Rd.c}} = \frac{{0,18}}{{{\gamma _C}}} = 0,1286

 

k = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{1 + \sqrt {\frac{{200}}{d}} }\\{2,0}\end{matrix}} \right. = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{1 + \sqrt {\frac{{200}}{{550}}} }\\{2,0}\end{matrix}} \right. = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{1,60}\\{2,0}\end{matrix} = 1,6} \right.

 

{A_{sl}} = \frac{{3 \cdot \pi  \cdot {{14}^2}}}{4} = 461,81{\rm{ [m}}{{\rm{m}}^2}]

 

{\rho _l} = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{\frac{{{A_{sl}}}}{{{b_w}d}}}\\{0,02}\end{matrix}} \right. = \min \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{\frac{{461,81}}{{300 \cdot 550}}}\\{0,02}\end{matrix} = 0,003} \right.

 

{k_1} = 0,15

 

{\sigma _{cp}} = 0

 

{\nu _{\min }} = 0,035 \cdot {k^{\frac{3}{2}}} \cdot {f_{ck}}^{\frac{1}{2}} = 0,035 \cdot {1,6^{\frac{3}{2}}} \cdot {25^{\frac{1}{2}}} = 0,354

 

{v_1} = \nu  = 0,6 \cdot \left( {1 - \frac{{{f_{ck}}}}{{250}}} \right) = 0,6 \cdot \left( {1 - \frac{{25}}{{250}}} \right) = 0,54

 

z = 0,9 \cdot d = 0,9 \cdot 550 = 495{\rm{  mm}}

 

{V_{Rd.c}} = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{\left[ {0,1286 \cdot 1,6 \cdot {{\left( {100 \cdot 0,003 \cdot 25} \right)}^{\frac{1}{3}}} + 0,15 \cdot 0} \right] \cdot 300 \cdot 550}\\{\left( {0,354 + 0,15 \cdot 0} \right) \cdot 300 \cdot 550}\end{matrix}} \right. = \max \left\{ {\begin{matrix}{{}{}}{66455,66}\\{58410}\end{matrix}} \right. = 66,45{\rm{ [kN]}}

 

{V_{Rd.\max }} = \frac{{{\alpha _{cw}}{b_w}z{\nu _1}{f_{cd}}}}{{\cot \theta  + \tan \theta }} = \frac{{1,0 \cdot 300 \cdot 495 \cdot 0,54 \cdot 17,86}}{{1,0 + 1,0}} = 716096,7{\rm{ N  = 716}}{\rm{,1 kN}}

 

Siła ścinająca na podporze jest mniejsza niż nośność betonu na ścinanie; należy zastosować zbrojenie konstrukcyjne.

 

Obliczamy z uwagi na skręcanie:

Moment skręcający działający na belkę:

{T_{Ed}} = P \cdot e = 30 \cdot 1 = 30{\rm{ }}[kNm]

 

Obliczenie grubości ścianki:

{t_{ef}} = \frac{A}{u} = \frac{{30 \cdot 60}}{{2 \cdot (30 + 60)}} = 10cm

 

{b_k} = b - 2 \cdot 0,5 \cdot {t_{ef}} = 30 - 2 \cdot 5 = 20cm

 

{h_k} = h - {t_{ef}} = 60 - 10 = 50cm

 

 

{A_k} = {b_k} \cdot {h_k} = 20 \cdot 50 = 1000{\rm{ }}c{m^2}

 

{u_k} = 2 \cdot ({b_k} + {h_k}) = 2 \cdot (20 + 50) = 140{\rm{ }}cm

 

 

{T_{Rd,c}} = 2 \cdot {A_k} \cdot {t_{ef}} \cdot {f_{ctd}} = 2 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 1,29 \cdot {10^3} = 25,8{\rm{ }}kNm

 

\frac{{{T_{Ed}}}}{{{T_{Rd,c}}}} + \frac{{{V_{Ed}}}}{{{V_{Rd,c}}}} = \frac{{30}}{{25,8}} + \frac{{30}}{{66,45}} = 1,61 \le 1,0

Nie można zastosować tylko zbrojenia minimalnego, należy obliczyć wymagane zbrojenie z uwagi na jednoczesne skręcanie i ścinanie.

 

{A_{sl}} = \frac{{{T_{Ed}} \cdot {u_k} \cdot \cot \theta }}{{2 \cdot {A_k} \cdot {f_{yd}}}} = \frac{{30 \cdot 1,4 \cdot 1,0}}{{2 \cdot 0,1 \cdot 434,78 \cdot {{10}^3}}} = 4,83{\rm{ }}c{m^2}

 

\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}} = \frac{{0,5 \cdot {T_{Ed}}}}{{{A_k} \cdot {f_{ywd}} \cdot \cot \theta }} = \frac{{0,5 \cdot 30}}{{0,1 \cdot 434,78 \cdot {{10}^3} \cdot 1,0}} = 3,45{\rm{ }}\frac{{c{m^2}}}{m}

 

{T_{Rd,\max }} = 2\nu {\alpha _{cw}}{f_{cd}}{A_k}{t_{ef,i}}\sin \theta \cos \theta  = 2 \cdot 0,54 \cdot 1,0 \cdot 17,86 \cdot {10^3} \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 94,44{\rm{ }}kNm

 

\frac{{{T_{Ed}}}}{{{T_{Rd,\max }}}} + \frac{{{V_{Ed}}}}{{{V_{Rd,\max }}}} = \frac{{30}}{{94,44}} + \frac{{30}}{{716,1}} = 0,36 \le 1,0

Nośność krzyżulców betonowych nie została przekroczona.

 

Przyjęte zbrojenie podłużne:

{A_{sl,prov}} = 8 \cdot {A_{\phi 10}} = 8 \cdot 0,79 = 6,28{\rm{ }}c{m^2} > {A_{sl}} = 4,83c{m^2}

Z uwagi na naprężenia ściskające w dolnych włóknach, przyjęto ostatecznie \(6\phi 10\) umieszczonych w górnej warstwie i na bocznych ściankach.

 

Przyjęte zbrojenie poprzeczne:

{\left( {\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}}} \right)_{calkowite}} = {\left( {\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}}} \right)_{scinanie}} + 2 \cdot {\left( {\frac{{{A_{sw}}}}{{{s_w}}}} \right)_{skrecanie}} = 0 + 2 \cdot 3,45 = 6,9\frac{{c{m^2}}}{m}

Przyjęto strzemiona dwucięte o średnicy \phi 10:

s = \frac{{2 \cdot {A_{\phi 10}}}}{{6,9}} = \frac{{2 \cdot 0,79}}{{6,9}} = 0,228m

Rozstaw strzemion przyjęto s = 20cm