Siły wewnętrzne w łukach

przez Piotr Buzała · Opublikowane 28 listopada 2013 · Zaktualizowane 23 stycznia 2020

W tym poradniku zajmiemy się obliczaniem sił wewnętrznych w łukach. Największą trudnością jaką napotkamy podczas obliczania sił wewnętrznych jest krzywoliniowy schemat pręta, ale z pomocą przychodzi nam trygonometria i wyprowadzone już wzory transformacyjne, które przedstawie i wytłumaczę, jak z nich korzystać. Najlepiej uczyć się poprzez praktykę, dlatego w ramach poradnika dotyczącego łuków, rozwiąże całe zadanie od początku do końca.

Poniżej schemat konstrukcji łukowej, który będziemy obliczać.

Przed rozpoczęciem jakichkolwiek obliczeń, należy przyjąć układ współrzędnych, w jakim będziemy pracować.

Obliczenie reakcji podporowych

$\Sigma Y = 0$
$V = 66,977 - 7 * (12-12 * cos (\alpha ))$
$V = 66,977 - 84 + 84 * cos (\alpha )$
$V = -17,023 + 84 * cos (\alpha )$

$\Sigma X = 0$
$H = -7,308$

Teraz wystarczy podstawić obliczone siły V i H pod wzory transformacyjne. Będziemy mieli następujące funkcje(równania).

$Q (\alpha ) = -7,308 * cos (\alpha ) - 17,023 * sin (\alpha ) + 84 * cos (\alpha ) * sin (\alpha )$ $N (\alpha ) = -7,308 * sin (\alpha ) + 17,023 * cos (\alpha ) - 84 * cos (\alpha )^{2}$

Mamy już wszystkie równania ułożone, tzn. dla sił tnących, normalnych oraz dla momentu zginającego, które wygląda tak.

$M (\alpha ) = 299,724 + 204,276 * cos (\alpha ) - 87,696 * sin (\alpha ) - 504 * cos (\alpha )^{2}$

Teraz proponuję, obliczyć siły wewnętrzne przy użyciu programu Exel, ze względu na dużą ilość obliczeń, a wyniki przedstawić w formie tabelarycznej. Siły wewnętrzne dla przekroju 1-1 są następujące.

α	M(α) [kNm]	Q(α) [kN]	N(α) [kN]
0º	0	-7.308	-66.977
15º	4.103	9.54	-63.82
30º	54.78	21.53	-51.91
45º	130.15	24.79	-35.13
60º	199.91	17.98	-18.82
75º	234.12	2.67	-8.28
90º	212.02	-17.02	-7.308

Znamy już siły wewnętrzne w połowie naszego łuku. Teraz obliczymy pozostałą połowę. Ze względu na zmianę działania kierunków powstałych sił SW, zmieniają się również wzory transformacyjne, teraz wyglądają one następująco.

$Q (\alpha ) = H (\alpha ) * cos (\alpha ) + V * sin (\alpha )$ $N (\alpha ) = H (\alpha ) * sin (\alpha ) - V * cos (\alpha )$

Przekrój 3 -3 0º < α < 60º

$\Sigma M = 0$
$M (\alpha ) = 20,27 * (12-12 * cos (\alpha ))$
$M (\alpha ) = 243,24 - 243,24 * cos (\alpha )$

$\Sigma Y = 0$
$V = 20,27$

$\Sigma X = 0$
$H = 0$ $Q (\alpha ) = -20,27 * sin (\alpha )$ $N (\alpha ) = -20,27 * cos (\alpha )$

α	M(α) [kNm]	Q(α) [kN]	N(α) [kN]
0º	0	0	-20.27
15º	8.29	-5.25	-19.58
30º	32.59	-10.14	-17.55
45º	71.24	-14.33	-14.33
60º	121.62	-17.55	-10.14

Przekrój 2 – 2 60º < α < 90º

$\Sigma M = 0$

$M (\alpha ) = 299,661 - 204,192 * cos (\alpha ) - 87,696 * sin (\alpha )$

$\Sigma Y = 0$
$V = 20,27 - 3,254$
$V = 17,023$

$\Sigma X = 0$
$H = -7,308$

$Q (\alpha ) = 7,308 * cos (\alpha ) - 17,023 * sin (\alpha )$ $N (\alpha ) = -7,308 * sin (\alpha ) - 17,023 * cos (\alpha )$

α	M(α) [kNm]	Q(α) [kN]	N(α) [kN]
60º	121.62	-11.09	-14.84
75º	162.1	-14.55	-11.46
90º	212.02	-17.02	-7.308

Ostatnim punktem jest narysowanie wykresów sił wewnętrznych w łuku.

Mam nadzieję, że ten poradnik przybliży Państwa do poprawnego rozwiązania swoich projektów oraz zaliczenia wszystkich egzaminów. Jeśli dalej mają Państwo jakieś pytania, proszę o kontakt, a chętnie pomogę! Ze swojej strony zachęcam do przerobienia paru przykładów dla treningu i zapraszam do pozostałych poradników.

Polibud pisze:

4 listopada 2019 o 20:51

Zrozumiale wytlumaczone, szkoda, ze na wykladach tak nie objasniaja.

Odpowiedz
- Piotr Buzała pisze:
  
  5 listopada 2019 o 11:37
  
  To prawda, szkoda.. 🙂
  Pozdrawiam!
  
  Odpowiedz

Siły wewnętrzne w łukach

2 komentarze

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi

Wytrzymałość materiałów

	mgr inż. Piotr Buzała
	+48 693 117 538
	kontakt@statyka.info