Potencjał wody gruntowej i prawo Darcy

Potencjał wody gruntowej i prawo Darcy oraz prawo Bernoulliego. Opisane oraz przedstawione za pomocą graficznych schematów.

Potencjał wody gruntowej

Potencjalny przepływ jednowymiarowy w kolumnie gruntu możemy przedstawić za pomocą następującego schematu.

Prawo Bernoulliego

Miarą energii strugi cieczy w rozpatrywanym punkcie jest całkowita wysokość hydrauliczna H.
Zgodnie z prawem Bernoulliego można ją wyrazić jako:

H = z + \frac{u}{p_{w}*g}+\frac{v_{r}^{2}}{2*g}

gdzie:

z – wysokość punktu ponad przyjętym poziomem odniesienia,
u – ciśnienie wody w porach gruntu,
ρ_{w –} gęstość wody,
g – przyspieszenie ziemskie,
v_r – prędkość wody w porach.

Z uwagi na małe wartości prędkości przepływu wody w gruncie pierwszy człon sumy w równaniu 1 przyjmuje wartości pomijalne małe w porównaniu z dwoma pozostałymi członami. Otrzymujemy zatem.

H = \frac{u}{p_{w}*g}+H_z

Prawo Darcy

W połowie XIX wieku francuski inżynier H. Darcy ustalił doświadczalnie prawo rządzące fitracją, czyli przepływem wody w ośrodku porowatym. Dla przepływu jednowymiarowego można je zapisać w następujący sposób.

v=\frac{Q}{A}=k*i=k*\frac{\Delta H}{L}

gdzie:

v – prędkość filtracji,
Q – natężenie przepływu w próbce gruntu,
A – pole przekroju próbki w kierunku prostopadłym do przepływu,
k – współczynnik filtracji,
i = ΔH/L – spadek (gradientem) hydraulicznym,
ΔH – różnica wysokości hydraulicznej między końcem i początkiem drogi filtracji,
L – długość drogi filtracji (Rys. 2). Ponieważ spadek hydrauliczny jest wielkością bezwymiarową, współczynnik filtracji wyraża się w [m/s] lub jednostkach pochodnych.

Prędkość filtracji v nie jest rzeczywistą prędkością wody w gruncie. Jest to prędkość, jaką miałaby płynąca woda, gdyby wypełniała cały przekrój próbki gruntu. W rzeczywistości znaczna część przekroju zajęta jest przez ziarna szkieletu, a dla przepływu wody dostępne są jedynie pory.
Średnią rzeczywistą prędkość przepływu wody w porach można oszacować w przybliżeniu jako.

v_{r}=\frac{v}{n}

gdzie:
n –  porowatość gruntu.

Potencjał energetyczny wody gruntowej można wyrazić również w jednostkach ciśnienia.
Otrzymujemy wówczas inną postać równania Darcy:

v=\frac{\kappa }{\mu _{w}}*(\frac{\Delta u }{L}+\rho _{w}*g*\frac{\Delta z}{L})

gdzie:

κ – jest współczynnikiem przepuszczalności właściwej,
µ_w – dynamicznym współczynnikiem lepkości wody,
Δ_u i Δ_z – oznaczają odpowiednio przyrost ciśnienia wody i wysokości wzdłuż drogi filtracji.
Między współczynnikami k i κ zachodzi następujący związek:

k=\kappa *\frac{\rho _{w}*g}{\mu _{w}}

Przepuszczalność właściwa κ jest parametrem charakteryzującym grunt, zależnym od wielkości i kształtu porów. Wyrażana jest w m² .
Natomiast współczynnik filtracji k zależy również od gęstości i lepkości wody, a zatem pośrednio od temperatury. Standardowo przyjęło się podawać wartości k₁₀ odpowiadające temperaturze 10^◦C. Współczynnik filtracji dla innej temperatury T , wyrażonej w ^◦C można przeliczyć na k₁₀ stosując wzór:

k_{10}=\frac{1,359}{1+0,0337*T+0,00022*T^{2}}*k_{T}

Wzory prawa Darcy  mają zastosowanie do przepływu jednowymiarowego, w którym kierunek i zwrot wektora prędkości filtracji są z góry znane. Natomiast w bardziej ogólnym przypadku filtracji trójwymiarowej składowe wektora prędkości filtracji możemy zdefiniować jako:

v_{x}=-k_{x}\frac{\varrho H}{\varrho x},\: \: \: \: \: \: 
v_{y}=-k_{y}\frac{\varrho H}{\varrho y},\: \: \: \: \: \: 
v_{z}=-k_{z}\frac{\varrho H}{\varrho z}

Znak minus przed pochodnymi wynika z faktu, że wektor prędkości zwrócony jest w stronę malejących wartości wysokości hydraulicznej (ujemna wartość gradientu). Wiele gruntów ma własności anizotropowe, co oznacza, że wartości współczynnika filtracji zależą od kierunku przepływu. Na ogół wartości k_x i k_y odpowiadające kierunkom poziomym są większe od wartości k_z dla kierunku pionowego.

Współczynnik filtracji może być określany na podstawie badań polowych, laboratoryjnych lub szacowany na podstawie krzywej uziarnienia. Orientacyjne wartości współczynnika filtracji dla różnych gruntów i skał przedstawia poniższa Tabela.

W kolejnym materiale zostanie umówiony temat filtracja w gruntach uwarstwionych, do którego już teraz serdecznie zapraszam!