Obliczenie ugięcia w belce żelbetowej przykład obliczeniowy

Obliczenie ugięcia w belce żelbetowej przykład obliczeniowy uwzględniający fazę niezarysowaną, zarysowaną oraz wpływ momentu rysującego.

Obliczyć ugięcie belki swobodnie podpartej o rozpiętości l = 6m zazbrojonej czterami prętami \phi 20 ({A_s} = 12,57c{m^2}) o granicy plastyczności {f_{yk}} = 500MPa.

Współczynnik pełzania przyjąć \varphi (\infty ,{t_0}) = 2,5.

Moment zginający wywołany kombinacją obciążeń quasi-stałą wynosi {M_{QP}} = 120kNm. Belka wykonana z betonu C25/30 o wymiarach b/h = 30/50{\rm{ }}[cm].

Otulinę obliczeniową przyjąć jako a = 5cm

 

Parametry materiałowe

 

Średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie {f_{ctm}} = 2,6MPa

Moduł sprężystości stali zbrojeniowej: {E_s} = 200GPa

Efektywny moduł sprężystości betonu: {E_{c,eff}} = \frac{{{E_{cm}}}}{{1 + \varphi \left( {\infty ,{t_0}} \right)}} = \frac{{30}}{{1 + 2,5}} = 8,57GPa

Wysokość użyteczna przekroju belki: d = h - a = 50 - 5 = 45cm

 

Moment rysujący

 

Obliczenie momentu rysującego:

 

{\alpha _e} = \frac{{{E_s}}}{{{E_{c,eff}}}} = \frac{{200}}{{8,57}} = 23,34

 

A = {A_c} + {\alpha _e}{A_s} = 30 \cdot 50 + 23,34 \cdot 12,57 = 1793,38c{m^2}

 

{S_x} = b \cdot h \cdot \frac{h}{2} + {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot d = 30 \cdot 50 \cdot \frac{{50}}{2} + 23,34 \cdot 12,57 \cdot 45 = 50702,3c{m^3}

 

{x_{uc}} = \frac{{{S_x}}}{A} = \frac{{50702,3}}{{1793,38}} = 28,27cm

 

{J_{uc}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} + b \cdot h \cdot {\left( {\frac{h}{2} - {x_{uc}}} \right)^2} + {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot {\left( {d - {x_{uc}}} \right)^2}

 

{J_{uc}} = \frac{{30 \cdot {{50}^3}}}{{12}} + 30 \cdot 50 \cdot {\left( {\frac{{50}}{2} - 28,27} \right)^2} + 23,34 \cdot 12,57 \cdot {\left( {45 - 28,27} \right)^2} = 410655,39c{m^4}

 

Krzywizna w fazie niezarysowanej

 

 

{x_{cr}} = 21,46cm

 

 

{J_{cr}} = \frac{{b \cdot {x_{cr}}^3}}{3} + {\alpha _e} \cdot {A_s} \cdot {\left( {d - {x_{cr}}} \right)^2} = \frac{{30 \cdot {{21,46}^3}}}{3} + 23,34 \cdot 12,57 \cdot {\left( {45 - 21,46} \right)^2} = 261403,32c{m^4}

Krzywizna w fazie zarysowanej

 

\frac{1}{{{r_{cr}}}} = \frac{{{M_{QP}}}}{{{E_{c,eff}}{J_{cr}}}} = \frac{{120}}{{8,57 \cdot {{10}^6} \cdot 261403,32 \cdot {{10}^{ - 8}}}} = 5,36 \cdot {10^{ - 3}}\frac{1}{m}

Krzywiznę rzeczywistą obliczymy zgodnie z zależności normowej:

\frac{1}{r} = \zeta \frac{1}{{{r_{cr}}}} + \left( {1 - \zeta } \right)\frac{1}{{{r_{uc}}}} = 0,916 \cdot 5,36 \cdot {10^{ - 3}} + \left( {1 - 0,916} \right) \cdot 3,41 \cdot {10^{ - 3}} = 5,196 \cdot {10^{ - 3}}\frac{1}{m}

 

Ugięcie belki

 

Ugięcie elementu wynosi:

u = \frac{5}{{48 \cdot 8}}\frac{{q{l^2}{l^2}}}{{EJ}} = \frac{5}{{48}}{l^2}\frac{1}{r} = \frac{5}{{48}}{6^2} \cdot 5,196 \cdot {10^{ - 3}} = 0,019m = 1,9cm

Wartość dopuszczalna ugięcia wyznaczymy jako 1{\rm{/}}500 rozpiętości elementu.

{u_{dop}} = \frac{l}{{500}} = \frac{{600}}{{500}} = 1,2cm

Ugięcie elementu przekracza wartość dopuszczalną, należy przeprojektować element.