Obliczenie naprężeń w przekroju o kształcie domku

Obliczenie naprężeń w belce wspornikowej o przekroju “domku”. Przekrój składa się z prostokąta z otworem w kształcie kwadratu oraz na prostokącie umieszczony jest trójkąt. Na podstawie podanych wymiarów oraz wartości sił zostały obliczone naprężenia w omówionym przekroju, a dodatkowo został zaprojektowany(dobrany) przekrój dwuteowy ze względu na największy moment zginający.

Obliczenie naprężeń w przekroju o kształcie domku

Zawartość projektu przedstawia się następująco schemat statyczny belki, obliczenie sił wewnętrznych, obliczenie charakterystyk przekroju oraz naprężeń w wymaganym punkcie belki. Dodatkowo wyznaczenie i zaprojektowanie nowego przekroju ze względu na maksymalny moment zginający. Zaczynajmy, poniżej schemat statyczny belki.

Obliczenie reakcji podporowych

\sum {y = 0} \\
{V_A} - 14 + 4*3 = 0\\
{V_A} = 2kN\\
\sum {{M_A} = 0} \\
{M_A} + 14*3 - 4*3*4,5 - 10 = 0\\
{M_A} + 42 - 54 - 10 = 0\\
{M_A} = 22kNm

Obliczenie sił wewnętrznych

Przedział 1-1     0,00m < x < 3,00m

\sum {x = 0} \\
N(x) = 0kN\\


\sum {y = 0} \\
T(y) = 2kN\\
\sum {M = 0} \\
 - M(x) + 22 + 2x = 0\\
M(x) = 22 + 2x\\
x = 0\\
M(0) = 22kNm\\
x = 3\\
M(3) = 28kNm

Przedział 2-2     0,00m < x <3,00m

\sum {x = 0} \\
N(x) = 0kN\\

\sum {y = 0} \\
T(x) + 4x = 0\\
T(x) =  - 4x\\
x = 0\\
T(0) = 0kN\\
x = 3\\
T(3) =  - 12kN\\
\sum {M = 0} \\
M(x) - 10 - \cancel{4}*{x^2}*\frac{1}{x} = 0\\
M(x) = 10 + 2{x^2}\\
x = 0\\
M(0) = 10kNm\\
x = 3\\
M(3) = 28kNm

Siły wewnętrzne mamy obliczone już na całej długości belki. Nas interesują wartości w punkcie A, czyli w miejscu podpory utwierdzonej. W tym miejscu siły wewnętrzne mają następujące wartości.

NA=0,00 kN – siły osiowe (normalne)
TA=2,00kN – siły tnące
MA=22,00kNm – moment zginający

Właśnie te wartości posłużą nam do obliczenia naprężeń w zdanym przekroju belki. Przypomnijmy sobie jak przekrój ten wygląda.

Właściwości geometryczne przekroju

Obliczenie środka ciężkości

{y_0} = \frac{{9*5 + 24 - 4*1}}{{9 + 24 - 4}} = 3,069cm

Moment bezwładności względem osi X0

I{x_0} = \sum {\left( {I{x_i} + {A_i}*b_i^2} \right)}  \\
I{x_0} =\left( {\frac{{6*{3^3}}}{{36}} + 9*{{1,931}^2}} \right) + \left( {\frac{{6*{4^3}}}{{12}} + 24*{{( - 1,069)}^2}} \right) - \left( {\frac{{2*{2^3}}}{{12}} + 4*{{(2,069)}^2}} \right)\\
I{x_0} = 38,0588 + 59,4263 - 18,4564 \\
I{x_0} = 79,0287c{m^4}

Wskaźnik wytrzymałości

W_{{x_0}}^g = \frac{{I{x_0}}}{{{y_g}}} = \frac{{79,0287}}{{3,931}} = 20,104c{m^3}\\
W_{{x_0}}^d = \frac{{I{x_0}}}{{{y_d}}} = \frac{{79,0287}}{{3,069}} = 25,751c{m^3}

I w tym momencie możemy śmiało obliczyć naprężenia powstałe od sił wewnętrznych.

Naprężenia normalne

\begin{array}{l}
\delta _\alpha ^g = \frac{{{M_\alpha }}}{{W_x^g}} = \frac{{2200kNm}}{{20,104}} = 109,431kN/c{m^2}\\
\\
\delta _\alpha ^d = \frac{{{M_\alpha }}}{{W_x^d}} = \frac{{2200kNm}}{{25,751}} = 85,4336kN/c{m^2}
\end{array}

Naprężenia styczne

\begin{array}{l}
{b_1} = 0,00cm\\
{b_2} = 6,00cm\\
{b_3} = 6,00cm\\
{b_3'} = 4,00cm\\
{b_4} = 6,00cm
\end{array}
\begin{array}{l}
S{x_1} = 0c{m^3}\\
S{x_2} = 9*1,931 = 17,379c{m^3}\\
S{x_3} = 8*2,069 = 16,552c{m^3}\\
{Sx_3} = 16,552c{m^3}\\
S{x_4} = 0c{m^3}
\end{array}
\begin{array}{l}
{\tau _1} = {\tau _1} = 0n/c{m^2}\\
{\tau _2} = \frac{{2000*17,379}}{{79,0287*6}} = 73,3N/c{m^2}\\
{\tau _3} = \frac{{2000*16,552}}{{79,0287*6}} = 69,8143N/c{m^2}\\
\tau _3'= \frac{{2000*16,552}}{{79,0287*4}} = 104,7214N/c{m^2}
\end{array}

Zbierzmy wszystkie wartości i na ich podstawie możemy narysować wykres naprężeń, który będzie wyglądał następująco.

Dodatkowo potrenujemy sobie dobór przekroju stalowego, dwuteowego na podstawie wymaganego wskaźnika wytrzymałości.

 

\delta  = \frac{M}{W} \le {f_d}
\left. \begin{array}{l}
M = 22kN\\
{f_d} = 215MPa\\
W = ?
\end{array} \right\}W \ge \frac{M}{{{f_d}}} = \frac{{22}}{{215000}} = 1,023256*{10^{ - 4}}{m^3} = 102,33c{m^3}

Na podstawie powyższych obliczeń przyjmuję dwuteownik IPN100, który ma wartość wskaźnika wytrzymałości równy W=171,00cm3.

{W_x} = 171,0c{m^3} \ge {W_{\min }} = 102,3c{m^3}

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *