Obliczenie figury płaskiej złożonej z kształtowników

Pierwszy przykład projektu obliczenia charakterystyk figury płaskiej, który swoją zawartością łączy aż trzy poddziały bazy projektów. W projekcie zawarte jest obliczenie podstawowych wartości charakterystycznych figury płaskiej, obliczenie naprężeń w zadanym przekroju oraz obliczenie i narysowanie rdzenia przekroju. Obliczenia zostaną naturalnie rozpoczęte od ustalenia podstawowych charakterystyk przekroju. Kolejne etapy rozwiązywania poniższego przykładu będą kontynuowane w kursie wytrzymałość materiałów w celu utrzymania porządku w materiałach.

Pierwszy akapit zawiera schemat figury płaskiej ze wszystkimi potrzebnymi danymi, wymiarami oraz oznaczeniami. Jak można zauważyć, schemat ten posłużył od razu do narysowania rdzenia przekroju dla tego schematu. Obliczenia do rdzenia przekroju znajdują się w osobnym poradniku. W projekcie w dalszych krokach znajduje się podział na figury proste oraz obliczenie ich charakterystyk geometrycznych, dodatkowo obliczony jest również środek ciężkości dla całej figury płaskiej oraz odległości poszczególnych figur prostych do środka ciężkości oraz obliczenie centralnego momentu bezwładności. Następnie obliczone jest położenie osi głównych centralnych oraz główne centralne momenty bezwładności wraz ze sprawdzeniem przeprowadzonych do tej pory obliczeń. Jest to ostatni punkt, który zawiera obliczenia zaliczające się do tematu figur płaskich. Kolejne kroki będą zawierały obliczenia z kolejnych tematów wraz z wyczerpującym objaśnieniem, potrzebnymi rysunkami oraz wymaganymi wzorami. Między innymi będą to obliczenia współrzędnych punktów wieloboku wypukłego, który został opisany na konturze przekroju oraz obliczenie położenia osi obojętnej, aż w końcu do obliczenia naprężeń wraz z przykładowym wykresem naprężeń. Natomiast w odrębnym materiale zostanie opisane obliczenie rdzenia przekroju, który został narysowany na schemacie figury płaskiej już na tej stronie i jest widoczny poniżej.

  1. Podział na figury proste.
    Charakterystyka geometryczna poszczególnych figur geometrycznych.

1.1. Dwuteownik IPN 160 (S1)

\begin{array}{l}
{A_1} = 22,80c{m^2}\\
I{x_1} = 934,00c{m^4}\\
I{y_1} = 54,60c{m^4}\\
I{x_1}{y_1} = 0,00c{m^4}\\
{i_x} = 6,40cm;\\
{i_y} = 1,55cm
\end{array}

1.2. Trójkąt (S2)

\begin{array}{l}
{A_2} = 9c{m^2}\\
I{y_2} = \frac{{h*{b^3}}}{{36}} = \frac{{3*{6^3}}}{{36}} = 18c{m^4}\\
I{x_2} = \frac{{b*{h^3}}}{{36}} = \frac{{6*{3^3}}}{{36}} = 4,5c{m^4}\\
I{x_2}{y_2} =  - \frac{{{b^2}*{h^2}}}{{72}} =  - \frac{{{6^2}*{3^2}}}{{72}} =  - 4,5c{m^4}\\
\;\;
\end{array}

1.3. Ceownik UPE80 (S3)

\begin{array}{l}
{A_3} = 10,10c{m^2}\\
I{x_3} = 107,20c{m^4}\\
Iy = 25,50c{m^4}\\
I{x_3}{y_3} = 0,00c{m^4}
\end{array}

2. Obliczenie środka ciężkości całego przekroju

\begin{array}{l}
Sx = \frac{{{A_n}*{X_n}}}{{{A_n}}} = \frac{{(22,8*3,7) + (9*8,4) + (10,1*10,58)}}{{22,8 + 9 + 10,1}}\\
Sx = \frac{{266,818}}{{41,9}} = 6,368cm \approx 6,37cm\\
\\
Sy = \frac{{(22,8*8) + (9*17) + (10,1*12)}}{{22,8 + 9 + 10,1}}\\
Sy = \frac{{456,6}}{{41,9}} = 10,897cm \approx 10,90cm
\end{array}

2.1. Współrzędne poszczególnych figur w odniesieniu do środka ciężkości S(xs;ys) całej  figury.

\begin{array}{l}
{S_1}({a_1};{b_1})\\
{a_1} = 3,7 - 6,37 = 2,67cm\\
{b_1} = 8 - 10,90 =  - 2,90cm\\
\\
{S_2}({a_2};{b_2})\\
{a_2} = 8,4 - 6,37 = 2,03cm\\
{b_2} = 17 - 10,90 = 6,1cm\\
\\
{S_3}({a_3};{b_3})\\
{a_3} = 10,58 - 6,37 = 4,21cm\\
{b_3} = 12 - 10,90 = 1,10cm
\end{array}

3. Centralne momenty bezwładności (wzory Steinera)

\begin{array}{l}
I{x_0} = \sum {(I{x_i} + {A_i}*(b_i^2))} \\
I{x_0} = (934,00 + 22,8c{m^2}*{( - 2,90)^2}) + (4,5 + 9*{(6,1)^2}) + (107,2 + 10,1*{(1,1)^2})\\
I{x_0} = 1125,75 + 339,39 + 119,42\\
I{x_0} = 1584,56c{m^4}\\
\\
I{y_0} = (54,60 + 22,8*{( - 2,67)^2}) + (18,0 + 9*{(2,03)^2}) + (25,5 + 10,1*{(4,21)^2})\\
I{y_0} = 217,14 + 55,89 + 204,51\\
I{y_0} = 477,54c{m^4}\\
\\
I{x_0}{y_0} = \sum {(I{x_i}{y_i} + {A_i}*{a_i}*{b_i})} \\
I{x_0}{y_0} = (0 + 22,8*( - 2,67)*( - 2,90)) + ( - 4,5 + 9*2,03*6,1) + (0 + 10,1*4,21*1,10)\\
I{x_0}{y_0} = 176,54 + 105,303 + 46,77\\
I{x_0}{y_0} = 328,62c{m^4}
\end{array}

4. Położenie osi głównych centralnych

\begin{array}{l}
tg(2{\alpha _{gl}}) =  - \frac{{2*D{x_0}{y_0}}}{{I{x_0} - I{y_0}}}\\
\\
tg(2{\alpha _{gl}}) =  - \frac{{2*328,62}}{{1584,56 - 477,54}} =  - 0,5937/:tg\\
\\
2{\alpha _{gl}} =  - 30,70^\circ /:2\\
\\
{\alpha _{gl}} =  - 15,35^\circ 
\end{array}

5. Główne centralne momenty bezwładności

\begin{array}{l}
{I_I} = \frac{{I{x_0} + I{y_0}}}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{{I{x_0} - I{y_0}}}{2}} \right)}^2} + I{x_0}y_0^2} \\
{I_{II}} = \frac{{I{x_0} + I{y_0}}}{2} - \sqrt {{{\left( {\frac{{I{x_0} - I{y_0}}}{2}} \right)}^2} + I{x_0}y_0^2} \\
\\
{I_I} = \frac{{1584,56 + 477,54}}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{{1584,56 - 477,54}}{2}} \right)}^2} + {{328,62}^2}} \\
{I_{II}} = \frac{{1584,56 + 477,54}}{2} - \sqrt {{{\left( {\frac{{1584,56 - 477,54}}{2}} \right)}^2} + {{328,62}^2}} \\
\\
{I_I} = 1031,05 + 643,71 = 1677,76c{m^4}\\
{I_{II}} = 1031,05 - 643,71 = 387,34c{m^4}
\end{array}

6. Sprawdzenie poprawności obliczeń

\begin{array}{l}
I{x_0}*I{y_0} - I{x_0}{y_0}^2 = {I_I}*{I_{II}}\\
\\
1584,56*477,54 - {328,62^2} = 1674,76*387,34\\
\\
648699,68 \approx 648701,54
\end{array}

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *