Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 1
Spis treści
Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 1. Wymiarowanie minimalnego pola powierzchni zbrojenia dla przekroju prostokątnego.
Teraz przejdziemy do obliczania zbrojenia elementów żelbetowych. Na samym początku zajmiemy się najprostszym przypadkiem, czyli przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony. Zaprojektować zbrojenie pojedynczo zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment {{M}_{Ed}}=50kNm.
Belka wykonana z betonu C25/30 i stali A-IIIN ({{f}_{yk}}=500MPa).
Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10 i zbrojenie główne średnicy \phi 16.
Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina {c_{nom}} = 35mm.
Rozwiązanie
Parametry materiałowe
Wyznaczam obliczeniowe wartości parametrów materiałowych:
Beton C25/30
{{f}_{cd}}=\frac{{{f}_{ck}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{25}{1,4}=17,86MPa
UWAGA!
EN 1992-1-1 Podaje współczynnik {{\gamma }_{c}}=1,5 , jednakże polski załącznik krajowi zaleca stosowanie współczynnika {{\gamma }_{c}}=1,4. [Załącznik krajowy NA.2]
Stal
{{f}_{yd}}=\frac{{{f}_{yk}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{500}{1,15}=434,78MPa
Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:
{{\xi }_{eff,\text{lim}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{434,78}{200000}}=0,493
(Uwaga! Dla stali klas A-0 do A-III moduł Younga przyjmuje się jako {{E}_{s}}=210~GPa, a dla klasy A-IIIN {{E}_{s}}=200~GPa. (Kobiak-Stachurski Konstrukcje żelbetowe tom I)
„Przyjmuje się, że moduł sprężystości stali {{E}_{s}}=200GPa” (M.Knauff Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2)
My w naszych rozważaniach będziemy zawsze przyjmować {{E}_{s}}=200GPa.)
Wysokość użyteczna
Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:
d=h-c-{{\phi }_{sztrzemion}}-\frac{{{\phi }_{preta}}}{2}
d=300-35-10-\frac{16}{2}=247~mm
Wymiarowanie zbrojenia
Zbrojenie w żelbecie obliczamy głownie wykorzystując dwa podstawowe równanie znane nam z mechaniki budowli:
Suma rzutów sił na oś równa jest zero
\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{P}_{a}}=0
Suma momentów względem osi równa się zero:
\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }M=0
Pierwszym krokiem jest wyznaczenie wysokości strefy ściskanej. Wyznaczamy ją wykorzystując sumę momentów zginających względem zbrojenia {{A}_{s1}}:
{{M}_{Ed}}-{{F}_{c}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0
{{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}
{{M}_{Rd}}-b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0
Podstawiając dane otrzymujemy (dane wstawiane w kN i m)
50-0,2\cdot {{x}_{eff}}\cdot 17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot \left( 0,247-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0
Po uporządkowaniu mamy:
1786\cdot x_{eff}^{2}-882,284\cdot {{x}_{eff}}+50=0
Pierwiastkami powyższego równania są:
| {{x}_{eff,1}}=0,0653m | {{x}_{eff,2}}=0,4287m |
Jak da się zauważyć z powyższych wyników drugi pierwiastek równania jest nierzeczywisty ponieważ wysokość przekroju ściskanego nie może nam wyjść większa niż pełna wysokość przekroju, więc {{x}_{eff}}=0,0653m
Warto w tym momencie sprawdzić, czy przekrój może być pojedynczo zbrojony i nie będzie potrzeby zmiany wielkości przekroju poprzecznego:
{{\xi }_{eff}}=\frac{{{x}_{eff}}}{d}=\frac{0,0653}{0,247}=0,264\le {{\xi }_{eff,\lim }}=0,493
Powyższy warunek został spełniony i możemy przejść do obliczania pola przekroju zbrojenia.
Najprostszym sposobem wyznaczenia zbrojenia jest wykorzystanie równania na sumę rzutów sił na oś pozioma, otrzymujemy wtedy zgodnie z rysunkiem:
Zbrojenie można również obliczyć wykorzystując współczynnik pomocniczy \mu , który jest wyprowadzony na podstawie równania kwadratowego, z którego liczyliśmy wysokość strefy ściskanej {{x}_{eff}}, a jego postać wygląda następująco:
{{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}
Korzystając z {{\mu }_{eff}} możemy obliczyć względną efektywną wysokość strefy ściskanej z poniższej zależności:
{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}
Dla sprawdzenia podstawmy nasze wartości i zobaczmy, czy wyjdzie nam taka sama wartość jak poprzednio.
{{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}=\frac{50}{17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,2\cdot {{0,247}^{2}}}=0,229~\left[ – \right]
{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}=1-\sqrt{1-2\cdot 0,229}=0,264~\left[ – \right]
Jak widać otrzymaliśmy taką samą wartość, a tok obliczeniowy był krótszy o rozwiązanie równania kwadratowego. Każda z w/w metod ma swoje plusy jak i minusy: do rozpisania równania potrzebujemy tylko odrobiny więcej czasu i nie musimy uczyć się wzorów na pamięć, do drugiego podejścia musimy znać dwa dodatkowe równania, ale za to obliczenia trwają odrobinę krócej.
