Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 1
Spis treści
Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 1. Wymiarowanie minimalnego pola powierzchni zbrojenia dla przekroju prostokątnego.
Zaprojektować zbrojenie pojedynczo zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment {{M}_{Ed}}=50kNm. Belka wykonana z betonu C25/30 i stali A-IIIN ({{f}_{yk}}=500MPa). Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10 i zbrojenie główne średnicy \phi 16. Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina {c_{nom}} = 35mm.
Rozwiązanie
Parametry materiałowe
Wyznaczam obliczeniowe wartości parametrów materiałowych:
Beton C25/30
{{f}_{cd}}=\frac{{{f}_{ck}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{25}{1,4}=17,86MPa
UWAGA!
EN 1992-1-1 Podaje współczynnik {{\gamma }_{c}}=1,5 , jednakże polski załącznik krajowi zaleca stosowanie współczynnika {{\gamma }_{c}}=1,4. [Załącznik krajowy NA.2]
Stal
{{f}_{yd}}=\frac{{{f}_{yk}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{500}{1,15}=434,78MPa
Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:
{{\xi }_{eff,\text{lim}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{434,78}{200000}}=0,493
(Uwaga! Dla stali klas A-0 do A-III moduł Younga przyjmuje się jako {{E}_{s}}=210~GPa, a dla klasy A-IIIN {{E}_{s}}=200~GPa. (Kobiak-Stachurski Konstrukcje żelbetowe tom I)
„Przyjmuje się, że moduł sprężystości stali {{E}_{s}}=200GPa” (M.Knauff Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2)
My w naszych rozważaniach będziemy zawsze przyjmować {{E}_{s}}=200GPa.)
Wysokość użyteczna
Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:
d=h-c-{{\phi }_{sztrzemion}}-\frac{{{\phi }_{preta}}}{2}
d=300-35-10-\frac{16}{2}=247~mm
Wymiarowanie zbrojenia
Zbrojenie w żelbecie obliczamy głownie wykorzystując dwa podstawowe równanie znane nam z mechaniki budowli:
Suma rzutów sił na oś równa jest zero
\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{P}_{a}}=0
Suma momentów względem osi równa się zero:
\text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }M=0
Pierwszym krokiem jest wyznaczenie wysokości strefy ściskanej. Wyznaczamy ją wykorzystując sumę momentów zginających względem zbrojenia {{A}_{s1}}:
{{M}_{Ed}}-{{F}_{c}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0
{{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}
{{M}_{Rd}}-b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0
Podstawiając dane otrzymujemy (dane wstawiane w kN i m)
50-0,2\cdot {{x}_{eff}}\cdot 17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot \left( 0,247-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0
Po uporządkowaniu mamy:
1786\cdot x_{eff}^{2}-882,284\cdot {{x}_{eff}}+50=0
Pierwiastkami powyższego równania są:
{{x}_{eff,1}}=0,0653m | {{x}_{eff,2}}=0,4287m |
Jak da się zauważyć z powyższych wyników drugi pierwiastek równania jest nierzeczywisty ponieważ wysokość przekroju ściskanego nie może nam wyjść większa niż pełna wysokość przekroju, więc {{x}_{eff}}=0,0653m
Warto w tym momencie sprawdzić, czy przekrój może być pojedynczo zbrojony i nie będzie potrzeby zmiany wielkości przekroju poprzecznego:
{{\xi }_{eff}}=\frac{{{x}_{eff}}}{d}=\frac{0,0653}{0,247}=0,264\le {{\xi }_{eff,\lim }}=0,493
Powyższy warunek został spełniony i możemy przejść do obliczania pola przekroju zbrojenia.
Najprostszym sposobem wyznaczenia zbrojenia jest wykorzystanie równania na sumę rzutów sił na oś pozioma, otrzymujemy wtedy zgodnie z rysunkiem:
{{F}_{c}}-{{F}_{s}}=0
{{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}
{{F}_{s}}={{A}_{s1}}\cdot {{f}_{yd}}
b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}-{{A}_{s1}}\cdot {{f}_{yd}}=0
Porządkując równanie otrzymujemy:
{{A}_{s1}}=\frac{b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}}{{{f}_{yd}}}=\frac{0,2\cdot 0,0653\cdot17,86\cdot {{10}^{3}}}{434,78\cdot {{10}^{3}}}=5,36\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{2}}=5,36c{{m}^{2}}
Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych:
n=\frac{{{A}_{s1}}}{{{A}_{\phi 16}}}=\frac{5,36}{\pi \cdot {{1,6}^{2}}\cdot 0,25}=2,67\approx 3
Pole przekroju przyjęto zbrojenia:
{{A}_{s1,prov}}=3\cdot {{A}_{\phi 16}}=3\cdot \pi \cdot {{1,6}^{2}}\cdot 0,25=6,03~c{{m}^{2}}
Sprawdzenie zbrojenia minimalnego
{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d\\0,0013\cdot b\cdot d \\\end{matrix} \right..
{{A}_{s,min}}=~max\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{2,6}{500}\cdot 20\cdot 24,7 \\0,0013\cdot 20\cdot 24,7\\\end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}0,668\\0,642\\\end{matrix}\right.=0,668~c{{m}^{2}}
{{A}_{s1,prov}}=6,03~c{{m}^{2}}\ge ~{{A}_{s,min}}=0,668~c{{m}^{2}}
Belkę należy zazbroić trzema prętami \phi 16.
Zbrojenie można również obliczyć wykorzystując współczynnik pomocniczy \mu , który jest wyprowadzony na podstawie równania kwadratowego, z którego liczyliśmy wysokość strefy ściskanej {{x}_{eff}}, a jego postać wygląda następująco:
{{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}
Korzystając z {{\mu }_{eff}} możemy obliczyć względną efektywną wysokość strefy ściskanej z poniższej zależności:
{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}
Dla sprawdzenia podstawmy nasze wartości i zobaczmy, czy wyjdzie nam taka sama wartość jak poprzednio.
{{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}=\frac{50}{17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,2\cdot {{0,247}^{2}}}=0,229~\left[ – \right]
{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}=1-\sqrt{1-2\cdot 0,229}=0,264~\left[ – \right]
Jak widać otrzymaliśmy taką samą wartość, a tok obliczeniowy był krótszy o rozwiązanie równania kwadratowego. Każda z w/w metod ma swoje plusy jak i minusy: do rozpisania równania potrzebujemy tylko odrobiny więcej czasu i nie musimy uczyć się wzorów na pamięć, do drugiego podejścia musimy znać dwa dodatkowe równania, ale za to obliczenia trwają odrobinę krócej.