Obliczanie zbrojenia przekroju prostokątnego – przykład 1. Wymiarowanie minimalnego pola powierzchni zbrojenia dla przekroju prostokątnego.

Zaprojektować zbrojenie pojedynczo zbrojonej belki żelbetowej na którą działa moment {{M}_{Ed}}=50kNm. Belka wykonana z betonu C25/30 i stali A-IIIN ({{f}_{yk}}=500MPa). Przyjąć strzemię o średnicy \phi 10  i zbrojenie główne średnicy \phi 16. Wymiary poprzeczne przekroju podana na rysunku. Otulina {c_{nom}} = 35mm.

Rozwiązanie

 

Parametry materiałowe

Wyznaczam obliczeniowe wartości parametrów materiałowych:

Beton C25/30

            {{f}_{cd}}=\frac{{{f}_{ck}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{25}{1,4}=17,86MPa

UWAGA!
EN 1992-1-1 Podaje współczynnik {{\gamma }_{c}}=1,5 , jednakże polski załącznik krajowi zaleca stosowanie współczynnika {{\gamma }_{c}}=1,4. [Załącznik krajowy NA.2]

Stal

         {{f}_{yd}}=\frac{{{f}_{yk}}}{{{\gamma }_{c}}}=\frac{500}{1,15}=434,78MPa

Graniczna względna wysokość strefy ściskanej:

                                                     {{\xi }_{eff,\text{lim}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{{{f}_{yd}}}{{{E}_{s}}}}=0,8\cdot \frac{0,0035}{0,0035+\frac{434,78}{200000}}=0,493

(Uwaga! Dla stali klas A-0 do A-III moduł Younga przyjmuje się jako {{E}_{s}}=210~GPa, a dla klasy A-IIIN {{E}_{s}}=200~GPa. (Kobiak-Stachurski Konstrukcje żelbetowe tom I)

„Przyjmuje się, że moduł sprężystości stali {{E}_{s}}=200GPa” (M.Knauff Obliczanie konstrukcji żelbetowych według Eurokodu 2)

My w naszych rozważaniach będziemy zawsze przyjmować {{E}_{s}}=200GPa.)

Wysokość użyteczna

Obliczam wysokość użyteczną przekroju belki:

                            d=h-c-{{\phi }_{sztrzemion}}-\frac{{{\phi }_{preta}}}{2}

                                               d=300-35-10-\frac{16}{2}=247~mm

Wymiarowanie zbrojenia

Zbrojenie w żelbecie obliczamy głownie wykorzystując dwa podstawowe równanie znane nam z mechaniki budowli:

Suma rzutów sił na oś równa jest zero

                                           \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }{{P}_{a}}=0

Suma momentów względem osi równa się zero:

                                                  \text{ }\!\!\Sigma\!\!\text{ }M=0

Pierwszym krokiem jest wyznaczenie wysokości strefy ściskanej. Wyznaczamy ją wykorzystując sumę momentów zginających względem zbrojenia {{A}_{s1}}:

                    {{M}_{Ed}}-{{F}_{c}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0

                                     {{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}

            {{M}_{Rd}}-b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}\cdot \left( d-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0

 

Podstawiając dane otrzymujemy (dane wstawiane w kN  i m)

      50-0,2\cdot {{x}_{eff}}\cdot 17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot \left( 0,247-\frac{{{x}_{eff}}}{2} \right)=0

 

Po uporządkowaniu mamy:

                               1786\cdot x_{eff}^{2}-882,284\cdot {{x}_{eff}}+50=0

Pierwiastkami powyższego równania są:

{{x}_{eff,1}}=0,0653m

{{x}_{eff,2}}=0,4287m

 

Jak da się zauważyć z powyższych wyników drugi pierwiastek równania jest nierzeczywisty ponieważ wysokość przekroju ściskanego nie może nam wyjść większa niż pełna wysokość przekroju, więc {{x}_{eff}}=0,0653m

Warto w tym momencie sprawdzić, czy przekrój może być pojedynczo zbrojony i nie będzie potrzeby zmiany wielkości przekroju poprzecznego:

           {{\xi }_{eff}}=\frac{{{x}_{eff}}}{d}=\frac{0,0653}{0,247}=0,264\le {{\xi }_{eff,\lim }}=0,493

Powyższy warunek został spełniony i możemy przejść do obliczania pola przekroju zbrojenia.

Najprostszym sposobem wyznaczenia zbrojenia jest wykorzystanie równania na sumę rzutów sił na oś pozioma, otrzymujemy wtedy zgodnie z rysunkiem:

{{F}_{c}}-{{F}_{s}}=0

                                     {{F}_{c}}=b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}

                                           {{F}_{s}}={{A}_{s1}}\cdot {{f}_{yd}}

                    b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}-{{A}_{s1}}\cdot {{f}_{yd}}=0

 

Porządkując równanie otrzymujemy:

            {{A}_{s1}}=\frac{b\cdot {{x}_{eff}}\cdot {{f}_{cd}}}{{{f}_{yd}}}=\frac{0,2\cdot 0,0653\cdot17,86\cdot {{10}^{3}}}{434,78\cdot {{10}^{3}}}=5,36\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{2}}=5,36c{{m}^{2}}

Liczba potrzebnych prętów zbrojeniowych:

n=\frac{{{A}_{s1}}}{{{A}_{\phi 16}}}=\frac{5,36}{\pi \cdot {{1,6}^{2}}\cdot 0,25}=2,67\approx 3

Pole przekroju przyjęto zbrojenia:

                   {{A}_{s1,prov}}=3\cdot {{A}_{\phi 16}}=3\cdot \pi \cdot {{1,6}^{2}}\cdot 0,25=6,03~c{{m}^{2}}

 

Sprawdzenie zbrojenia minimalnego

{{A}_{s,min}}=max~\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{{{f}_{ctm}}}{{{f}_{yk}}}\cdot b\cdot d\\0,0013\cdot b\cdot d  \\\end{matrix} \right..

{{A}_{s,min}}=~max\left\{ \begin{matrix}0,26\cdot \frac{2,6}{500}\cdot 20\cdot 24,7  \\0,0013\cdot 20\cdot 24,7\\\end{matrix} \right.=\left\{ \begin{matrix}0,668\\0,642\\\end{matrix}\right.=0,668~c{{m}^{2}}

             {{A}_{s1,prov}}=6,03~c{{m}^{2}}\ge ~{{A}_{s,min}}=0,668~c{{m}^{2}}

Belkę należy zazbroić trzema prętami \phi 16.

 

Zbrojenie można również obliczyć wykorzystując współczynnik pomocniczy \mu , który jest wyprowadzony na podstawie równania kwadratowego, z którego liczyliśmy wysokość strefy ściskanej {{x}_{eff}}, a jego postać wygląda następująco:

                {{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}

Korzystając z {{\mu }_{eff}} możemy obliczyć względną efektywną wysokość strefy ściskanej z poniższej zależności:

                                     {{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}

Dla sprawdzenia podstawmy nasze wartości i zobaczmy, czy wyjdzie nam taka sama wartość jak poprzednio.

    {{\mu }_{eff}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{{{f}_{cd}}\cdot b\cdot {{d}^{2}}}=\frac{50}{17,86\cdot {{10}^{3}}\cdot 0,2\cdot {{0,247}^{2}}}=0,229~\left[ – \right]

 

{{\xi }_{eff}}=1-\sqrt{1-2\cdot {{\mu }_{eff}}}=1-\sqrt{1-2\cdot 0,229}=0,264~\left[ – \right]

Jak widać otrzymaliśmy taką samą wartość, a tok obliczeniowy był krótszy o rozwiązanie równania kwadratowego. Każda z w/w metod ma swoje plusy jak i minusy: do rozpisania równania potrzebujemy tylko odrobiny więcej czasu i nie musimy uczyć się wzorów na pamięć, do drugiego podejścia musimy znać dwa dodatkowe równania, ale za to obliczenia trwają odrobinę krócej.