Obliczanie przemieszczeń w układach płaskich

W tym poradniku zajmiemy się już o stopień trudniejszą rzeczą, niż w poprzednich poradnikach, jest to obliczanie przemieszczeń w prętowych układach płaskich z wykorzystaniem zasad pracy wirtualnej. Po przejrzeniu wszystkich poradników i przeanalizowaniu przykładów, jakie zamieszczę w poradnikach, nie sądzę abyście Państwo mieli z tym problemy.

Wchodzimy w nowy temat, musi być trochę teorii oraz spróbuję po ludzku wytłumaczyć, o co chodzi w metodzie przemieszczeń.

Jak sama nazwa mówi, nauczycie się tutaj obliczać przemieszczenia w wybranych punktach konstrukcji. Będziemy sprawdzali przemieszczenia pionowe(V), poziome(U) oraz obrót(Φ). Będziemy używali do tego prace sił wirtualnych.
Siła wirtualna jest to jednostkowa siła przyłożona w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia w danej konstrukcji. Siły wirtualne będę oznaczał następująco – 1′.

Działanie sił zewnętrznych(przyłożonych do konstr.) wirtualnych 1′ na rzeczywistych przemieszczeniach(δi) równa jest działaniu sił wewnętrznych wirtualnych M’, T’ i N’ na rzeczywistych odkształceniach.

Reguła Mohra-Wereszczagina

Przed przedstawieniem naukowej definicji, opiszę o co chodzi w metodzie Mohra-Wereszczagina.
Przemnaża się powstałe w wyniku działania sił rzeczywistych i siły wirtualnej wykresy(funkcje) mające kształt figur geometrycznych: prostokąta, trójkąta, paraboli, itp.

Droga użytkowniczko,
drogi użytkowniku,
dziękuję, że korzystasz z materiałów zawartych na stronie.
Niestety 90% z Was korzysta z AdBlock'a, co przestało generować dochody z reklam.
Poświęcony czas i rosnące koszty wygenerowały w roku 2019 ujemny bilans zysków.
Wykupienie subskrypcji za cenę dużej kawy pozwoli mi na dalszy rozwój strony i przekształcanie go w portal BUDOWLANY. Na którym znajdziecie przydatne informacje nie tylko w trakcie studiów ale również w życiu zawodowym.

15% tego poradnika jest ukryte. Wykup subskrypcję.

Wynik wyjdzie taki sam.

Wzór do obliczenia przemieszczenia wygląda następująco.

{1}'*Ua=\int \frac{{M}'*M}{EJ}ds+ \int \frac{k*{T}'*T}{GA}ds+\int \frac{{N}'*N}{EA}ds

gdzie:
1′ – siła wirtualna
Ua – przemieszczenie poziome w punkcie A

Człon pierwszy, jest to przemieszczenie wywołane momentem zginającym
M’ – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłą wirtualną
M – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłami rzeczywistymi
EJ – wytrzymałość na zginanie

Człon drugi, jest to przemieszczenie wywołane siłami tnącymi
k – współczynnik ścinania
T’ – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłą wirtualną
T – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłami rzeczywistymi
GA – wytrzymałość na ścinanie

Człon trzeci, jest to przemieszczenie wywołane siłami normalnymi
N’ – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłą wirtualną
N – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłami rzeczywistymi
EA – sztywność

Przedstawię metodę oraz algorytm obliczania przemieszczeń w praktyce.
Chcę jeszcze zaznaczyć, że w tym poradniku będę brał pod uwagę jedynie siły wewnętrzne M, T i N. Dodatkowe rzeczy, takie jak przemieszczenie podpór oraz temperaturę uwzględnię w kolejnym poradniku.
Czas na przykładzie przedstawić regułę Mohra-Wereszczagina.

Będę rozwiązywał przykład w punktach i z komentarzem, aby było wszystko jasne.

Treść zadania.
Obliczyć przemieszczenie poziome węzła A(Ua).

1. Schemat ramy z obciążeniami rzeczywistymi.

1.1 Wykresy sił wewnętrznych od obciążenia rzeczywistego.

2. Schemat układu(ramy) z obciążeniem wirtualnym.
W miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia przykładamy siłę wirtualną Px’ =  1′.


2.2 Wykresy sił wewnętrznych od obciążenia wirtualnego.

3. Obliczenie przemieszczenia Ua(poziomego w punkcie A) z wykorzystaniem reguły Mohra-Wereszczagina.
Potrzebne dane:
EJ = 1814,00\; kNm^{2}
GA = 2,04 * 10^{5}\; kN
EA = 7,14 * 10^{5}\; kN
k = 4,43

Akurat w tym przykładzie, będziemy mieli jedynie funkcje prostoliniowe.
Parametry poszczególnych figur geometrycznych załączę w osobnym poradniku, w którym będą znajdowały się przykładowe przemnażania figur.
Tutaj pokaże to na suchych liczbach, nie będę dołączał dodatkowych obrazków, aby nie zaśmiecać tego poradnika.

Na początku rozpiszę wzór w całkach, oznaczając ich przedziały. Następnie podstawię liczby i obliczę ile wynosi przemieszczenie.

Wartość przemieszczenia wyszła dodatnia, czyli kierunek przemieszczenia jest zgodny z kierunkiem przyjętej siły.
Rozważmy jeszcze wpływ poszczególnych sił wewnętrznych.
Przemieszczenie:
…od momentu zginającego to aż 0,529m!
…od siły tnącej 0,0026m;
…od siły normalnej 0,0001961m.
Wniosek?
Wpływ sił poprzecznych i normalnych na przemieszczenie jest znikomy, dlatego w praktyce projektowej wpływ tych sił jest pomijany.

Aby nie rozciągać tego poradnika na tym zakończę.
Zapraszam do kolejnego poradnika Obliczanie przemieszczeń w układach płaskich – dodatek.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *