Nośność na zginanie z siłą podłużną w stali

Na podstawie obowiązującej normy stalowej został omówiony już warunek jednoczesnego działania siły zginającej(momentu zginającego) oraz ścinającej(siły poprzecznej), poradnik ten znajduje się pozycję wyżej od tego, w którym się Państwo aktualnie znajdują. Teraz przechodzimy do kolejnego wpływu dwóch sił wewnętrznych działających na naszą konstrukcję jednocześnie. Mowa tutaj o zginaniu wraz z siłą działającą osiowo, czyli siłą podłużną.

Norma stalowa podaje nam następującą informację.

Należy brać pod uwagę wpływ siły podłużnej na nośność plastyczną elementów zginanych.
Omawiany warunek znajduje się w normie stalowej PN-EC 1993-1-1, w punkcie 6.2.9.

W zależności od klasy przekroju naszego elementu wyróżniamy poszczególne warunki nośności. Sprawdzenie klasy przekroju elementu stalowego widnieje również w tym zbiorze poradników, jeśli ktoś potrzebuje proszę się cofnąć o kilka poradników w tył.
Dla przekrojów klasy pierwszej i drugiej warunek nośności wygląda podobnie jak przy warunku na czyste zginanie.

{ M }_{ Ed }<{ M }_{ N,Rd }

Przy czym sprawdzamy stosunek działającej siły zginającej do nośności { M }_{ N,Rd } – czyli, zredukowanej nośności plastycznej przy zginaniu z równoczesnym działaniem siły podłużnej.

No okay, ale w sumie nic to nam nie mówi. Na szczęście norma wyszczególnia wzory na nośność dla poszczególnych przekrojów. Co to znaczy? Nic innego jak to, że pokazuje jak obliczyć prawidłowo nośność w przekrojach pełnych, kształtownikach dwuteowych, rurowych itd. Przedstawia się to następująco.

W przypadku przekrojów prostokątnych pełnych wzór na nośność wygląda następująco.

{ M }_{ N,Rd }={ M }_{ pl,Rd }*\left[ 1-{ \left( \frac { { N }_{ Ed } }{ { N }_{ pl,Rd } } \right) }^{ 2 } \right]

A zawiera się w niej.
{ M }_{ pl,Rd } – obliczeniowa nośność plastyczna na zginanie
{ N }_{ Ed } – obliczeniowa siła normalna
{ N }_{ pl,Rd } – obliczeniowa nośność plastyczna na obciążenie siłą podłużną

Siłą rzeczy widzimy, że zmniejszamy po prostu nośność na zginanie. Załóżmy sobie jakieś dane i sprawdźmy jak zmniejszy się nam nośność elementu.
Zakładam.
{ M }_{ pl,Rd }=30,00kNm
{ N }_{ Ed }=10,00kNm
{ N }_{ pl,Rd }=40,00kNm

Nośność na zginanie z siłą podłużną.

{ M }_{ pl,Rd }*\left[ 1-{ \left( \frac { { N }_{ Ed } }{ { N }_{ pl,Rd } } \right) }^{ 2 } \right]=30,00*\left[ 1-{ \left( \frac { 10,00}{40,00} \right) }^{ 2 } \right]=28,125kNm

Przy założonych wartościach możemy zaobserwować spadek nośności o 6,25%.

Teraz sprawdzenie warunku w przypadku dwuteowników bisymetrycznych.
Na początek uproszczenie, można pominąć uwzględnienie siły podłużnej jeśli spełnione są następujące warunki.
Przed przedstawieniem wzorów jeszcze mała dygresja. Oznaczenia osi w elementach zawarte są w poradniku: Oznaczenia i osie współrzędnych w kształtownikach. W tym poradniku wrzucę jedynie ogólny wygląd przekroju dwuteowego według normy.

Źródło: PN-EN 1993-1-1, punkt 1.7, rysunek 1.1. Wymiary i osie kształtowników

Przy zginaniu względem osi y-y
{ N }_{ Ed }<0,25*{ N }_{ pl,Rd } – słownie. Sprawdzamy czy czterokrotnie pomniejszona nośność plastyczna przeniesie obliczeniową siłę podłużną.

{ N }_{ Ed }<\frac { 0,5*{ h }_{ w }*{ t }_{ w }*{ f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } } – słownie. Biorąc pod uwagę jedynie pole środnika z całego przekroju dwuteowego({ h }_{ w }*{ t }_{ w })  i pomniejszając nośność o 50% ponownie sprawdzamy czy ta przeniesie obliczeniową siłę podłużną.

Przy zginaniu względem osi z-z
{ N }_{ Ed }<\frac { { h }_{ w }*{ t }_{ w }*{ f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } } – słownie. Podobnie jak przy drugim warunku przy zginaniu względem osi y-y, ale bez pomniejszenia nośności o 50%.

Jeśli powyższe warunki nie mogą zostać spełnione, należy obliczyć nośność jaką zapewnia nam  przyjęty przekrój. Z pomocą przychodzą nam wzory zawarte w normach lub literaturze naukowej.

Poniższy wzór stosujemy przy dwuteownikach spawanych oraz walcowanych z jednakowymi pasami, przy czym wpływ otworów na łączniki jest pomijalny. Jest to nośność plastyczna na zginanie z siłą podłużną względem osi y-y.

{ M }_{ N,y,Rd }={ M }_{ pl,y,Rd }*\frac { 1-n }{ 1-0,5a }   lecz obliczona nośność na zginanie z wpływem siły podłużnej nie może być większa od nośności plastycznej na zginanie, o czym mówi nam poniższe równanie
{ M }_{ N,y,Rd }<{ M }_{ pl,y,Rd }

Następnie nośność plastyczna na zginanie z siłą podłużną względem osi z-z. Wyróżniamy w tym momencie dwa przypadki, wygląda to następująco.

dla\quad n<a:\quad { M }_{ N,z,Rd }={ M }_{ pl,z,Rd }

\quad n=\frac { { N }_{ Ed } }{ { N }_{ pl,Rd } } – jest to stosunek siły podłużnej do nośności plastycznej na siłę podłużną.

a=\frac { A-2*b*{ t }_{ f } }{ A } \quad – jest to stosunek pola powierzchni przekroju pomniejszonego o pasy do pola powierzchni całego przekroju, lecz \quad a<0,5

Kolejny przypadek to kształtowniki rurowe prostokątne oraz elementy skrzynkowe bisymetryczne. Tutaj też wpływ otworów na łączniki jest pomijalny.
Nośność plastyczna względem osi y-y.

{ M }_{ N,y,Rd }={ M }_{ pl,y,Rd }*\frac { 1-n }{ 1-0,5*{ a }_{ w } } \quadlecz jak w poprzednich kształtownikach nośność ta musi być oczywiście mniejsza od nośności, która nie uwzględnia wpływu siły podłużnej. Mówi nam o tym poniższe równanie.
\quad { M }_{ N,y,Rd }<{ M }_{ pl,y,Rd }

Nośność plastyczna względem osi z-z.

{ M }_{ N,z,Rd }={ M }_{ pl,z,Rd }*\frac { 1-n }{ 1-0,5*{ a }_{ f } } \quad…lecz…
\quad { M }_{ N,z,Rd }<{ M }_{ pl,z,Rd }

W tym przypadku pojawiają się nam dwa nowe symbole a_{w} oraz a_{f}, które również są stosunkami pól powierzchni, ale dla innych kształtowników. Aby nie powtarzać się przy każdym wzorze, zaznaczę tutaj że minimalne wymaganie jest następujące [a_{w}, a_{f}] \leq 0,50

\quad { a }_{ w }=\frac { A-2*b*t }{ A } \quad – dla przekrojów rurowych

{ \quad a }_{ w }=\frac { A-2*b*{ t }_{ f } }{ A } \quad – dla przekrojów skrzynkowych

{ \quad a }_{ f }=\frac { A-2*h*{ t } }{ A } \quad – dla przekrojów rurowych

{ \quad a }_{ f }=\frac { A-2*h*{ { t }_{ w } } }{ A } \quad – dla przekrojów skrzynkowych

I jeszcze wzór na przypadek zginania dwukierunkowego. Poszczególne symbole są już nam znane z powyższych warunków, jedynie musimy poznać co kryje się pod symbolami \alpha oraz \beta.

{ \left[ \frac { { M }_{ y,Ed } }{ { M }_{ N,y,Ed } } \right] }^{ \alpha }+{ \left[ \frac { { M }_{ z,Ed } }{ { M }_{ N,z,Ed } } \right] }^{ \beta }<1,00

Ogólnie norma mówi, że możemy przyjąć w przybliżeniu \alpha =\beta =1,00, ale równocześnie przedstawia wartości wykładników dla poszczególnych kształtowników. Przedstawia się to następująco.

Dwuteowniki bisymetryczne
\alpha =2,00\quad
\quad \beta =5n lecz \alpha =2,00\quad
\quad \beta =2,00

Kształtowniki rurowe prostokątne
\alpha =\beta =\frac { 1,66 }{ 1-1,13{ n }^{2}} \quad  lecz  \quad \alpha =\beta <6,00

\quad n=\frac { { N }_{ Ed } }{ { N }_{ pl,Rd } } – dla przypomnienia, n jest to stosunek siły podłużnej do nośności plastycznej.

Nośność w przekrojach zaklasyfikowanych do klasy trzeciej oblicza się, poprzez sprawdzenie czy naprężania normalne są mniejsze od granicy plastyczności przyjętej stali.

{ \sigma }_{ x,Ed }<\frac { { f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } }

gdzie { \sigma }_{ x,Ed } – jest to dokładnie wartość obliczeniowa naprężeń normalnych od momentu i siły podłużnej, ale uwaga, z uwzględnieniem otworów na łączniki.

Sprawdzenie nośności w przekrojach klasy czwartej również odbywa się poprzez sprawdzenie warunku na podstawie naprężeń i granicy plastyczności stali. Przy jednoczesnym braku sił poprzecznej.

{ \sigma }_{ x,Ed }<\frac { { f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } }

{ \sigma }_{ x,Ed } – maksymalna wartość obliczeniowa naprężeń normalnych w przekroju współpracującym(efektywnym)

Dodatkowo stosuje się poniższy warunek przy ściskającej sile podłużnej, gdy trzeba uwzględnić dodatkowe momenty zginające \Delta M, gdyż maksymalne naprężenia od zginania są rozciągające.

\frac { { N }_{ Ed } }{ { A }_{ eff }*\frac { { f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } } } +\frac { { M }_{ y,Ed }+{ N }_{ Ed }*{ e }_{ N,y } }{ W_{ eff,y,min }*\frac { { f }_{ y } }{ { \gamma }_{ MO } } } +\frac { { M }_{ z,Ed }+{ N }_{ Ed }*{ e }_{ N,z } }{ W_{ eff,z,min }*\frac { { f }_{ y } }{ { \gamma }_{ MO } } } <1,00

A_{eff} – jest to pole przekroju współpracującego(efektywnego) przy równomiernym ściskaniu
W_{eff,min} – wskaźnik wytrzymałości przekroju współpracującego(efektywnego) (odpowiadający maksymalnym naprężeniom w stanie sprężystym) przy zginaniu w odpowiedniej osi przekroju!
e_{N} 
– przesunięcie względem odpowiedniej osi środka ciężkości przekroju współpracującego przy równomiernym ściskaniu.

Gdzie te dodatkowe momenty zginające \Delta M?
Powstają one od mimośrodowego działania siły normalnej i obliczamy je ze wzoru \Delta M_{i}=N_{Ed}*e_{N,i}, co jest już zawarte we wzorze ogólnym.

Przykład.
Tradycyjnie po zakończonym omawianiu wzorów na nośność musi znaleźć się przykład.
Posłużymy się prostym schematem statycznym oraz przekrojem dwuteowym, który używaliśmy już w poprzednich warunkach.

Dane.
Obliczenia statyczne.

Siły wewnętrzne działające na naszą belkę są następujące.
N_{Ed}=6,00 kN
V_{Ed}=4,00kN
M_{Ed}=36,00 kNm

Z czego potrzebujemy jedynie siłę podłużną(normalną N) oraz moment zginający(M).
Następnie przyjmujemy przekrój dwuteowy HEB100 o charakterystyce.

Który posiada pierwszą klasę przekroju oraz wykonany jest ze stali S235, której wytrzymałość wynosi { f }_{ u }=360MPa, a granica plastyczności { f }_{ y }=235MPa.

Rozwiązanie.

Musimy spełnić następujący warunek.{ M }_{ Ed }<{ M }_{ N,Rd }Znamy już wartość momentu zginającego M_{Ed}=36,00 kNm.
Musimy obliczyć nośność na zginanie z siłą podłużną.
Dysponujemy przekrojem(kształtownikiem) dwuteowym HEB100, który jest bi-symetryczny oraz odpowiada wymaganiom dla przekroju klasy pierwszej. Na podstawie tych danych, musimy cofnąć się do przedstawionych wzorów i znaleźć, a następnie skorzystać z poprawnego wzoru na nośność.
Wzór ten przedstawia się następująco.

{ M }_{ N,y,Rd }={ M }_{ pl,y,Rd }*\frac { 1-n }{ 1-0,5a }

Ale chwila!
Norma mówi nam, że jeśli spełnimy odpowiednie warunki to możemy pominąć wpływ sił podłużnych na zginanie. Sprawdźmy.
{ N }_{ pl,Rd } – nośność plastyczną na oddziaływanie siły podłużnej odczytuje z wcześniej sprawdzanych warunków.
{ N }_{ pl,Rd }=611,00kN

Przy zginaniu względem osi y-y
{ N }_{ Ed }=6,00kN<0,25*{ N }_{ pl,Rd }=0,25*611,00=152,75kN – warunek spełniony!

{ N }_{ Ed }=6,00kN<\frac { 0,5*{ h }_{ w }*{ t }_{ w }*{ f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } }=\frac{0,50*8,00*0,60*23,5}{1,00}=56,4kN – warunek spełniony!

Przy zginaniu względem osi z-z
{ N }_{ Ed }=6,00kN<\frac { { h }_{ w }*{ t }_{ w }*{ f }_{ y } }{ { \gamma }_{ M0 } }=\frac{8,00*0,60*23,5}{1,00}=112,80kN – warunek spełniony!

Na tym etapie moglibyśmy opuścić sprawdzanie warunku nośności na zginanie z siłą podłużną, ponieważ wszystkie trzy powyższe warunki są spełniony i wiemy, że wpływ siły podłużnej przy zginaniu jest minimalny.
Ale na potrzeby poradnika kontynuujemy sprawdzanie właściwym warunkiem. Przypomnijmy sobie na podstawie jakiego wzoru obliczamy nośność.
Przy zginaniu względem osi y-y
{ M }_{ N,y,Rd }={ M }_{ pl,y,Rd }*\frac { 1-n }{ 1-0,5a }
{ M }_{ pl,y,Rd } – znamy, odczytujemy z warunku na czyste zginanie. Przypominam, że już przy czystym zginaniu warunek nie został spełniony, ale na potrzeby przykładu wystarcza. Nikt mi projektu nie odrzuci.  😆
{ M }_{ pl,y,Rd }=24,44 kNm

\quad n=\frac { { N }_{ Ed } }{ { N }_{ pl,Rd } } =\frac{6,00}{611,00}=0,01  – trochę zaokrągliłem, aby wpływ był minimalnie do zaobserwowania.

a=\frac { A-2*b*{ t }_{ f } }{ A } \quad=\frac{26,00-(2*10,00*1,00)}{26,00}=\frac{6,00}{26,00}=0,23 lecz \quad a<0,5

Podstawmy teraz obliczone współczynniki i sprawdźmy o ile zmniejszy się nośność na zginanie.

{ M }_{ N,y,Rd }={ M }_{ pl,y,Rd }*\frac { 1-n }{ 1-0,5a }=24,44*\frac{1-0,01}{1-0,50*0,23}=

M_{N,y,Rd}=24,44*\frac{0,99}{0,885}=27,34kNm

Jak widzimy, nośność nam się nie zmniejszyła, a nawet zwiększyła. To oznacza, że korzystamy z nośności na czyste zginanie, gdyż mówi nam o tym to równanie.

\quad { M }_{ N,y,Rd }<{ M }_{ pl,y,Rd }

Sprawdzamy warunek.

\frac{M_{Ed}}{M_{pl,y,Rd}}=\frac{36,00}{24,44}=1,47 \nless 1,00

Tak jak mogliśmy się spodziewać, warunek nie został spełniony. W tym przypadku musimy zwiększyć przekrój, klasę stali, zmienić układ statyczny, czyli zrobić coś co zwiększy nam nośność.
Jak widzimy nie jest to warunek trudny do sprawdzenia, wystarczy trzymać się wytycznych, które przekazuje nam norma.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *