Metoda sił – przykład

W tym poradniku rozwiążemy układ statycznie niewyznaczalny metodą sił. Jest to poniekąd uzupełnienie poradnika metoda sił – algorytm, ponieważ w tamtym poradniku była sucha teoria. Tutaj rozwiążemy przykładowe zadanie, jakie możecie dostać podczas kolokwium lub egzaminu.

Zadanie.
Wyznaczyć rozkład sił wewnętrznych M, T, N w układzie statycznie niewyznaczalnym metodą sił.

1. Układ rzeczywisty.

2. Obliczenie stopnia statycznej niewyznaczalności.
DSI = 3(A) + 2(D) - 3 * 1 = 5 - 3 = 2DSI = 2

3. Budowa układu podstawowego.
Odrzucamy obie więzi w punkcie D.

4. Ułożenie układu równań kanonicznych.
\left\{\begin{matrix} &0=\delta _{1P}+\delta _{11}*X_{1}+\delta _{12}*X_{2} \\ &0=\delta _{2P}+\delta _{21}*X_{1}+\delta _{22}*X_{2} \end{matrix}\right.

5. Wyznaczenie przemieszczeń ze wzorów Maxwella – Mohra (pomijamy wpływ T i N, ponieważ ich wpływ na przemieszczenia jest nieznaczny).
\delta _{ij}=\int \frac{M_{i}*M_{i}}{EJ}\, ds              \delta _{ip}=\int \frac{M_{i}*M_{p}}{EJ}\, ds
5.1 Wykresy sił wewnętrznych od obciążenia hiperstatycznej X1 = 1.
Stan X1
5.2 Wykresy sił wewnętrznych od obciążenia hiperstatycznego X2 = 1.
Stan X2
5.3 Wykresy sił wewnętrznych od oddziaływania zewnętrznego P.
Stan P


5.4 Obliczenie przemieszczeń δij: (nie będę przemnażał tutaj wykresów przez siebie, ponieważ to już umiemy, jeśli jednak nie wiesz o co chodzi, zapraszam do lektury: obliczanie przemieszczeń).

\delta _{11} = 0,0107  (mnożymy wykresy stanu X1)
\delta _{12} = \delta _{21} = 0,024 (mnożenie stanu X1 przez X2)
\delta _{22} = 0,108 (mnożymy wykresy stanu X2)

5.5 Obliczenie przemieszczeń δip:

\delta _{1p} = -0,096 (mnożenie stanu X1 przez stan P)
\delta _{2p} = -0,378  (mnożenie stanu X2 przez stan P)

6. Rozwiązanie układu równań kanonicznych.

\left\{\begin{matrix} 0,0107 * X_{1} + 0,024 * X_{2} = 0,096 & \\ 0,0240 * X_{1} + 0,108 * X_{2} = 0,378 & \end{matrix}\right.
X_{1} = 2,25kN \: \: \: \: \: \: \: X_{2} = 3,00 kN

7. Wyznaczenie wykresu sił wewnętrznych w układzie rzeczywistym ze wzorów superpozycyjnych.

7.1. Moment zginający    
M = M_{P} + M_{i} * X_{i}
M_{ab} = -24,00+4,00*2,25+6,00*3,00=3kNm
M_{ba} = -24,00+0,00*2,25+6,00*3,00=-6,00kNm
M_{bc} = -24,00+0,00+6,00*3,00=-6,00kNm
M_{cb} = 0,00+0,00+3,00*3,00=9,00kNm
M_{cd} = 0,00+0,00+3,00*3,00=9,00kNm
M_{cd} = 0,00+0,00+0,00=0,00kNm

7.2. Siły tnące
T = T_{P} + T_{i} * X_{i}
T_{ab} = 0,00 + 0,00-1,00 *2,25=-2,25kN
T_{ba} = 0,00 + 0,00-1,00 *2,25=-2,25kN
T_{bc} = 8,00-1,00*3,00=5,00kN
T_{cb} = 8,00-1,00*3,00=5,00kN
T_{cd} = -1,00*3,00=-3,00kN
T_{dc} = -1,00*3,00=-3,00kN

7.3. Siły normalne
N = N_{P} + N_{i} * X_{i}
N_{ab} = -8,00+1,00*3,00=-5,00kN
N_{ba} = -8,00+1,00*3,00=-5,00kN
N_{bc} = 0,00+0,00-1,00*2,25=-2,25kN
N_{cb} = 0,00+0,00-1,00*2,25=-2,25kN
N_{cd} = -2,25kN
N_{dc} = -2,25kN

8. Wyznaczenie reakcji podporowych z wykresów sił zewnętrznych.
Sprawdzenie warunków równowagi:

\Sigma P_{X} = H_{a} - H_{d} = 0,00 kN - ok!
\Sigma P_{Y} = V_{a} - P + V_{d} = 0,00kN - ok!
\Sigma M_{a} = M_{a} + P * 3,00 - H_{d} * 4,00 - V_{d} * 6,00 = 0,00 kNm - ok!

9. Sprawdzenie statyczne poprawności rozwiązania w węzłach(węzeł B).Wszystkie siły się równoważą. Sprawdzenie statyczne jest poprawne!

10. Sprawdzenie kinematyczne.
Należy wyznaczyć przemieszczenie przekroju w układzie rzeczywistym w punkcie, którego wartość znamy, np. z więzi podporowych. Wiemy, że musi na podporze wyjść przemieszczenie równe zero, gdy przemieszczenie takie nam wyjdzie, to znaczy, że obliczyliśmy zadanie poprawnie.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *