Metoda przemieszczeń – algorytm + przykład

Mam nadzieję, że przeczytałeś/aś poradnik metoda przemieszczeń – wstęp. Poradników z tą metodą nie będę rozdzielał na algorytm oraz przykład, co pozwoli mi łatwiej przedstawić mechanizm działania MP oraz teorię dotyczącą metody przemieszczeń.

Zadanie.
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych schematu statycznie niewyznaczalnego metodą przemieszczeń, mając dane i schemat widniejący poniżej.

Układ rzeczywisty

Dane:
EJ1=1870kNm^{2}
EJ2=2900kNm^{2}
q=10kN/m
M=16kNm
P=10kN

Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności układu (SKN)
SKN = \Sigma \varphi + \Sigma \psi∑φ – łączna liczba nieznanych obrotów węzłów sztywnych(liczba węzłów sztywnych). W tym przykładzie ∑φ = 1, a jest to węzeł “3”.

Węzeł sztywny łączny minimum dwa pręty statycznie niewyznaczalne.
∑ψ – łączna liczba nieznanych, niezależnych przesuwów węzłów sztywnych, równych stopniu kinematycznej zmienności układu przegubowego.
Łańcuch kinematyczny(układ przegubowy)
\Sigma \psi = 3 * t - w = 3 * 3 - (2(w.1) + 2(w.2)) + 2(w.3) + 2(w.4)) = 9 - 8 = 1SKN = 1 + 1 = 2Układ jest dwukrotnie kinematycznie niewyznaczalny, nieznany jest obrót węzła 3 – φ3 = Z1 oraz nieznany jest przesuw węzła 3 – ψ3 = Z2

Układ podstawowy i równanie kanoniczne.

Reakcja k11
K_{11} – z warunków równowagi wyciętego węzła “3” obciążonego momentami przywęzłowymi z wykresu M.
Obrót jak \varphi 3.
\Sigma M = 0
k_{11} - M_{34} - M_{32} = 0
k_{11} = 1496 + 1740
k_{11} = 3236

e) Reakcja  K12 = K21
K12 = K21 – z warunku równowagi wyciętego węzła “3” obciążonego momentami przywęzłowymi.

\Sigma M = 0
k_{12} - M_{34} + M_{32} = 0
k_{12} = 561 - 261
k_{12} = 300

f) Reakcja K22
K22 – zakładamy, że reakcja k22 musi wyjść dodatnia.

Równanie pracy wirtualnej:
k_{22} * U + M_{12} * \psi _{12} - M_{32} * \psi _{23} + M_{34} * \psi _{34} + M_{43} * \psi _{34}=0
k_{22} * 1 = 351 * (\frac{1}4{}) + 261 * (\frac{3}{20}) + 561 * (\frac{1}{4}) + 561 * \frac{1}{4}
k_{22} = 407,30

Obliczenie reakcji “kip” w więziach fikcyjnych.
a) Stan P – momenty przywęzłowe(na końcach wyciętych prętów).

M_{12} = M_{34} = M_{43} = 0 (pręty nie obciążone)
M_{21} = M_{12} (przegub)
M_{32} = \frac{(q * L_{23}^{2})}{8}= \frac{(10 * 5^{2})}{8} = 31,25 kNm

b) Reakcja K1p
K1p – z warunku równowagi wyciętego węzła “3” obciążonego momentami przywęzłowymi z wykresu Mp oraz momentem zewnętrznym przyłożonym w tym węźle
\Sigma M = 0
-k_{1p} -16,00kNm+31,25kNm=0
k_{1p} = 15,25kNm

c) Reakcja K2p
Obliczamy jak K22, uwzględniając pracę sił skupionych zewnętrznych przyłożonych w węzłach.
Łańcuch kinematyczny
\delta a = \psi 23 * \frac{L_{23}}{2} = \frac{3}{20} * 2,50 = \frac{15}{40}
\delta p = \psi_{34} * L_{34}^{y} = \frac{1}{4} * 4 = 1
Pamiętajmy, że praca obciążenia ciągłego jest równa pracy siły wypadkowej Q!

Równanie pracy wirtualnej:
k_{2p} * u + Q * \delta _{p} + M_{32} * \psi _{23} - P * \delta_{p} = 0
k_{2p} * 1,00 = -50,00 * \frac{15}{40} - 31,25 * \frac{3}{20} + 10,00 * 1,00
k_{2p} = - 13.44kN

Rozwiązanie układu równań kanonicznych.
Obliczenie rzeczywistych przemieszczeń węzła “3”.
\left\{\begin{matrix} 32,36 * Z_{1} + 300,00 * Z_{2} + 15,25 = 0 & \\ 300,00 * Z_{1} + 407,30 * Z_{2} - 13,44 = 0 & \end{matrix}\right.

Z_{1} = - 0,008341 [rad] \varphi 3 – obrót

Z_{2} = 0,03913 [m] \psi 3 – przesuw

Wykres momentów zginających w układzie rzeczywistym ze wzoru superpozycji.
M = M_{1} * Z_{1} + M_{2} * Z_{2} + M_{P}

M_{12}=0,00*(-0,008341)+351,00*(0,03913) + 0,000=13,74kNmM_{21}=M_{23}=0,00*(-0,008341)+0,00*(0,03913) + 0,000=0,00 kNmM_{32}=1740*(-0,008341)-261,00*(0,03913) +31,25 = 6,52 kNmM_{34}=1496*(-0,008341)+561,00*(0,03913) + 0,000= 9,47 kNmM_{43}=0,00*(-0,008341)+561,00*(0,03913) + 0,000= 21,95kNm

Uwaga! Ze względu na przejrzystość poradnika pozostałe punkty zostały opisane w osobnym poradniku, poniżej znajduje się jedynie przedstawiony algorytm.

Sprawdzenie kinematyczne

Wykres sił poprzecznych(tnących) z warunków równowagi wyciętych prętów, obciążonych na końcach momentami z wykresu “M” i obciążeniem przęsłowym.
Wycinamy poszczególne pręty i obliczamy siły tnące.

Wykres sił normalnych(osiowych) z warunków równowagi wyciętych węzłów obciążonymi siłami z wykresu “T” oraz siłami skupionymi zewnętrznymi przyłożonymi w tych węzłach.
Mając siły tnące wycinamy węzły i obliczamy siły normalne.

Sprawdzenie statyczne

Sprawdzenie komputerowe
Oczywiście sprawdzenie komputerowe jest najefektywniejszym ze sposobów i najszybsze.

To byłoby na tyle. Mam nadzieję, że powyższy przykład pomoże zrozumieć Państwu na czym polega metoda przemieszczeń. Tak jak napisałem wcześniej, metoda przemieszczeń jest na oko dwa razy trudniejsza, niż metoda sił, którą opisałem we wcześniejszych poradnikach, dlatego również potrzeba dwa razy więcej przerobionych przykładów, aby dobrze nauczyć się tej metody.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *