Linia wpływu sił wewnętrznych belki złożonej

Linia wpływu sił wewnętrznych w belce przegubowej. Belka statycznie wyznaczalna złożona z trzech podpór przegubowych, jednego przegubu oraz jednej ruchomej siły skupionej. Rozmieszczenie podpór tworzy element zależny jak i niezależny.

Aż pięć przekrojów w różnych miejscach na belce uwzględnia wszystkie możliwe wariacje miejsc, w których moglibyśmy wykonać przekrój i obliczyć tam siły wewnętrzne linii wpływu. Tak stworzony schemat pozwala przerobić wystarczająco duży przykładów, aby z dużym prawdopodobieństwem zrozumieć jak działa linia wpływu, a to z kolei pozwoli zaliczyć Państwu wszystkie potrzebne kolokwia i egzaminy.

Odpowiednie rozmieszczenie podpór i dobrze zbudowany schemat statyczny stwarza nam dodatkowo możliwość zrozumienia, jak wpływają na siebie elementy zależny z niezależnym i odwrotnie oraz jak będą rozkładały się wykresy sił między nimi. Cały schemat statyczny belki złożonej wygląda następująco.

Linia wpływu sił wewnętrznych belki złożonej

Tak jak we wstępie było opisane, przekroje od 1-1 do 5-5 są umieszczone zaraz za każdym elementem budującym schemat (podpory, przegub), które mogą wpływać na końcowy wykres linii wpływu sił wewnętrznych, a to oznacza, że mogliśmy jeszcze przesuwać je w inne miejsca, ale nie zmieniłoby to o wiele końcowych wykresów, jedynie nieznacznie wartości. Oddaje już teraz w Państwa ręce ten poradnik i mam nadzieję, że będzie on dużym wsparciem w nauce zagadnienia jakim jest linia wpływu.

Przekrój 1-1

Schemat przekroju 1-1, dla którego musimy obliczyć siły wewnętrzne linii wpływu. Wygląda on następująco.

Linia wpływu sił wewnętrznych belki złożonej - przekrój 1-1

W pierwszym kroku zajmiemy się mniej skomplikowanym przekrojem. Zobaczmy.

1º – sytuacja pierwsza.
Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie przekroju, a więc oddziałuje na ten przekrój.
Przekrój zawiera się w przedziale 0,00m < x < 2,00m. Siła P1L=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=0,00)

-L_wM_{1-1}-P*x=0,00
L_wM_{1-1}=-P*x
x=0,00→L_wM_{1-1}(0,00)=-1,00*0,00=0,00
x=2,00→L_wM_{1-1}(2,00)=-1,00*2,00=-2,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

-L_wT_{1-1}+P=0,00
L_wT_{1-1}=P=1,00

Wszystkie wartości sił wewnętrznych linii wpływu w przekroju 1-1 właśnie zostały obliczone (dla pierwszej sytuacji). Teraz przeprowadźmy obliczenia da sytuacji numer dwa, a następnie będziemy w stanie na ich podstawie stworzyć wykres linii wpływu.

2º – sytuacja druga.
Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie przekroju, a więc znajduje się poza rozpatrywanym przekrojem.
Przekrój zawiera się w przedziale 2,00m < x < 15,00m. Siła P2P=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=0,00)

L_wM_{1-1}=0,00
L_wT_{1-1}=0,00

Widzimy, że jedynym obciążeniem oddziałującym na przekrój 1-1, była ruchoma siła P=1,00, ponieważ znajduje się ona poza rozpatrywanym przekrojem nie istnieją inne czynniki, które wpływałyby na powstawanie sił wewnętrznych. Na koniec musimy jeszcze jedynie narysować wykres i przejdziemy do przekroju 2-2.

Wykres LW 1-1

Linia wpływu sił wewnętrznych belki złożonej - wykres

Przekrój 2-2

W poprzednim przekroju 1-1 jedynym czynnikiem wpływającym na powstanie sił wewnętrznych było samo obciążenie ruchome P=1,00. Tutaj natomiast przekrój jest już o stopień bardziej złożony i poza samą siłą P, musimy jeszcze uwzględnić reakcję od podpory przegubowo przesuwnej, znajdującej się w punkcie A. Przekrój 2-2 wygląda następująco.

Dla tego przekroju, jak i dla wszystkich następnych będziemy zawsze budowali dwie sytuacje obliczeniowe, ale to Państwo mogli już zrozumieć w poprzednim poradniku o nazwie linia wpływu reakcji podporowych belki wieloprzegubowej. Jeszcze jedna rzecz, o której należy wspomnieć i zaczynamy obliczenia. Jako, że w przekroju 2-2 zawiera się podpora z punktu A, musimy znać jej wartości w poszczególnych miejscach, a te możemy odczytać na podstawie wykresów linii wpływu dla reakcji podporowych z poprzedniego poradnika, do którego link znajduje się w poprzednim zdaniu. Nie przedłużając, zaczynajmy obliczenia, a następnie narysujemy wykres sił linii wpływu dla przekroju 2-2.

1º – sytuacja pierwsza.
Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie przekroju, a więc oddziałuje na ten przekrój.
Przekrój zawiera się w przedziale 0,00m < x < 5,00m. Siła P1L=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=0,00)

-L_WM_{2-2}+R_A*2,00-P*(5-x)=0,00
L_WM_{2-2}=2R_A-P*(5-x)
x=0,00→L_WM_{2-2}(0,00)=2*1,75-1,00*(5-0,00)=-1,50
x=3,00→L_WM_{2-2}(3,00)=2*1,00-1,00*(5-3,00)=0,00
x=5,00→L_WM_{2-2}(5,00)=2*0,50-1,00*(5-5,00)=1,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

-L_WT_{2-2}+R_A-P=0,00
L_WT_{2-2}=R_A-P
x=0,00→L_WT_{2-2}(0,00)=1,75-1,00=0,75
x=3,00→L_WT_{2-2}(3,00)=1,00-1,00=0,00
x=5,00→L_WT_{2-2}(5,00)=0,50-1,00=-0,50

2º – sytuacja druga.
Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie przekroju, a więc znajduje się poza rozpatrywanym przekrojem.
Przekrój zawiera się w przedziale 5,00m < x < 15,00m. Siła P2P=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=5,00)

-L_wM_{2-2}+R_A*2,00=0,00
L_wM_{2-2}=2R_A
x=5,00→L_WM_{2-2}(5,00)=2,00*0,50=1,00
x=7,00→L_WM_{2-2}(7,00)=2,00*0,00=0,00
x=9,00→L_WM_{2-2}(9,00)=2,00*(-0,50)=-1,00
x=11,00→L_WM_{2-2}(11,00)=2,00*0,00=0,00
x=15,00→L_WM_{2-2}(15,00)=2,00*1,00=2,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

-L_WT_{2-2}+R_A=0,00
L_WT_{2-2}=R_A
x=5,00→L_WT_{2-2}(5,00)=0,50=0,50
x=7,00→L_WT_{2-2}(7,00)=0,00=0,00
x=9,00→L_WT_{2-2}(9,00)=(-0,50)=-0,50
x=11,00→L_WT_{2-2}(11,00)=0,00=0,00
x=15,00→L_WT_{2-2}(15,00)=1,00=1,00

Po ilości obliczeń widzimy, że wykres będzie o wiele bardziej ciekawszy niż podczas obliczania linii wpływu dla przekroju 1-1. W tym momencie mamy już wszystkie potrzebne wartości sił wewnętrznych aby stworzyć wykres linii wpływu dla przekroju 2-2. Zobaczmy.

Wykres LW 2-2

Przekrój 3-3

Najbardziej wymagający ze wszystkich trzech przekrojów, jaki uwzględnimy w naszych obliczeniach jest właśnie przed nami. Zobaczmy jak wygląda jego schemat oraz co uwzględnia i zaczynajmy obliczenia, ponieważ trochę ich będzie. Schemat przekroju 3-3.

1º – sytuacja pierwsza.
Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie przekroju, a więc oddziałuje na ten przekrój.
Przekrój zawiera się w przedziale 0,00m < x < 8,50m. Siła P1L=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=0,00)

-L_WM_{3-3}+R_B*1,50+R_A*5,50-P*(8,50-x)=0,00
L_WM_{3-3}=1,5R_B+5,5R_A-P*(8,50-x)
x=0,00→L_WM_{3-3}(0,00)=1,50*(-0,75)+5,50*1,75-1,00*(8,50-0,00)=0,00
x=3,00→L_WM_{3-3}(3,00)=1,50*0,00+5,50*1,00-1,00*(8,50-3,00)=0,00
x=7,00→L_WM_{3-3}(7,00)=1,50*1,00+5,50*0,00-1,00*(8,50-7,00)=0,00
x=8,50→L_WM_{3-3}(8,50)=1,50*(1,375)+5,50*(-0,375)-1,00*(8,50-8,50)=0,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

-L_WT_{3-3}+R_B+R_A-P=0,00
L_WT_{3-3}=R_B+R_A-P
x=0,00→L_WT_{3-3}(0,00)=-0,75+1,75-1,00=0,00
x=3,00→L_WT_{3-3}(3,00)=0,00+1,00-1,00=0,00
x=7,00→L_WT_{3-3}(7,00)=1,00+0,00-1,00=0,00
x=8,50,00→L_WT_{3-3}(8,50)=1,375-0,375-1,00=0,00

Uff… Pierwsza część już za nami, teraz druga możliwa sytuacja, jaką może stworzyć ruchoma siła skupiona P=1,00.

2º – sytuacja druga.
Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie przekroju, a więc znajduje się poza rozpatrywanym przekrojem.
Przekrój zawiera się w przedziale 8,50m < x < 15,00m. Siła P2P=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=8,50)

-L_WM_{3-3}+R_B*1,50+R_A*5,50=0,00
L_WM_{3-3}=1,50R_B+5,50R_A=0,00
x=8,50→L_WM_{3-3}(8,50)=1,50*1,375+5,50*(-0,375)=0,00
x=9,00→L_WM_{3-3}(9,00)=1,50*1,50+5,50*(-0,50)=-0,50
x=11,00→L_WM_{3-3}(11,00)=1,50*0,00+5,50*(0,00)=0,00
x=15,00→L_WM_{3-3}(15,00)=1,50*(-3,00)+5,50*(1,00)=1,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

-L_WT_{3-3}+R_B+R_A=0,00
L_WT_{3-3}=R_B+R_A
x=8,50→L_WT_{3-3}(8,50)=1,375+(-0,375)=1,00
x=9,00→L_WT_{3-3}(9,00)=1,50+(-0,50)=1,00
x=11,00→L_WT_{3-3}(11,00)=0,00+0,00=0,00
x=15,00→L_WT_{3-3}(15,00)=-3,00+1,00=-2,00

Zakończmy już ten żmudny przekrój 3-3 narysowaniem dla niego wykresu sił wewnętrznych, gdyż poświęciliśmy na niego wystarczająco dużo czasu. 

Wykres LW 3-3

Przekrój 4-4

Przed ostatni przekrój w poradniku linii wpływu sił wewnętrznych belki złożonej. Tym razem w celu ułatwienia obliczeń odrzucimy lewą część belki, a za schemat naszego przekroju posłuży jej prawa część. Przekrój o największej liczbie obliczeń oraz oddziaływań mamy już za sobą, co nie oznacza, że przekrój 4-4 oraz 5-5 będą nudne. Zobaczmy wpierw jak wygląda schemat przekroju 4-4, a następnie przejdźmy do obliczeń.

Dla tych z Państwa, którzy już rozwiązali samodzielnie trzy poprzednie przekroje, ten nie powinien sprawiać większych problemów. Widzimy w nim jedną reakcję podporową od podpory z punktu C oraz standardowo ruchomą siłę skupioną, która można znaleźć się w dowolnym miejscu naszej belki.

 

1º – sytuacja pierwsza.
Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie przekroju, a więc oddziałuje na ten przekrój.
Przekrój zawiera się w przedziale 0,00m < x < 5,50m. Siła P1P=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=0,00)

L_WM_{4-4}-R_C*1,00+P*(5,00-x)=0,00
L_WM_{4-4}=R_C-P*(5,00-x)
x=0,00→L_WM_{4-4}(0,00)=3,00-(5,00-0,00)=-2,00
x=4,00→L_WM_{4-4}(4,00)=1,00-(5,00-4,00)=0,00
x=5,00→L_WM_{4-4}(5,00)=0,50-(5,00-5,00)=0,50

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

L_WT_{4-4}-R_C+P=0,00
L_WT_{4-4}=-R_C+P
x=0,00→L_WT_{4-4}(0,00)=-3,00+1,00=-2,00
x=4,00→L_WT_{4-4}(4,00)=-1,00+1,00=0,00
x=5,00→L_WT_{4-4}(5,00)=-0,50+1,00=0,50

2º – sytuacja druga.
Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie przekroju, a więc znajduje się poza rozpatrywanym przekrojem.
Przekrój zawiera się w przedziale 5,00m < x < 15,00m. Siła P2L=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=5,00)

L_WM_{4-4}-R_C*1,00=0,00
L_WM_{4-4}=R_C
x=5,00→L_WM_{4-4}(5,00)=0,50
x=6,00→L_WM_{4-4}(6,00)=0,00
x=8,00→L_WM_{4-4}(8,00)=0,00
x=12,00→L_WM_{4-4}(12,00)=0,00
x=15,00→L_WM_{4-4}(15,00)=0,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

L_WT_{4-4}+R_C=0,00
L_WT_{4-4}=-R_C
x=5,00→L_WT_{4-4}(5,00)=-0,50
x=6,00→L_WT_{4-4}(6,00)=0,00
x=8,00→L_WT_{4-4}(8,00)=0,00
x=12,00→L_WT_{4-4}(12,00)=0,00
x=15,00→L_WT_{4-4}(15,00)=0,00

Pamiętajmy, że przekrój 4-4 znajduje się w miejscu na belce, który należy do elementu zależnego, a więc wykres oddziaływań powinien kończyć się na granicy między elementem niezależnym, a elementem zależnym. Granicą tą jest przegub, zobaczmy czy tak jest.

Wykres LW 4-4

Przekrój 5-5

Ostatnim przekrojem z tego poradnika jest przekrój o numerze 5-5. Znajduje się on na prawej krawędzi belki, a więc można powiedzieć, że jest łudząco podobny do przekroju 1-1. Schemat przekroju 5-5 wygląda następująco.

1º – sytuacja pierwsza.
Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie przekroju, a więc oddziałuje na ten przekrój.
Przekrój zawiera się w przedziale 0,00m < x < 1,00m. Siła P1P=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=0,00)

L_WM_{5-5}+P*(1,00-x)=0,00
L_WM_{5-5}=-P*(1,00-x)
x=0,00→L_WM_{5-5}(0,00)=-(1,00-0,00)=-1,00
x=1,00→L_WM_{5-5}(1,00)=-(1,00-1,00)=0,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

L_WT_{5-5}-P=0,00
L_WT_{5-5}=1,00

2º – sytuacja druga.
Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie przekroju, a więc znajduje się poza rozpatrywanym przekrojem.
Przekrój zawiera się w przedziale 1,00m < x < 15,00m. Siła P2L=1,00.
∑M=0,00 (kręcimy do punktu x=1,00)

L_WM_{5-5}=0,00

∑T=0,00 (suma rzutów sił (pionowych) na oś pionową)

L_WT_{5-5}=0,00

Przyjemny przekrój. Najlepsze zostawiliśmy sobie na koniec :-).
Wykres sił wewnętrznych linii wpływu dla przekroju 5-5 wygląda następująco.

Wykres LW 5-5

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *