Linia wpływu reakcji podporowych belki wieloprzegubowej

Linia wpływu reakcji podporowych w belce wieloprzegubowej. Ułożone funkcji równań równowagi w celu znalezienia wartości linii wpływu w charakterystycznych punktach.

Linia wpływu

Poznaliście Państwo w poprzednim poradniku o nazwie linia wpływu w belce wieloprzegubowej schemat belki złożonej, na podstawie którego wykonamy szereg obliczeń i wykresów linii wpływu oraz ogólne założenia dotyczącej tego zadania.
W tym materiale uwzględnimy działanie siły ruchomej P = 1,00 na podpory przegubowe w punktach A, B oraz C. Wyjaśnione zostaną wszystkie możliwości, jakie należy brać pod uwagę układając równania równowagi, dlaczego wszystkie możliwości i w ogóle jakie możliwości? A no dlatego, że siła obciążająca belkę jest ruchoma, a więc tworzy nam wiele możliwych funkcji linii wpływu. Przez co widzimy, że możemy używać metod obliczeniowych, na podstawie których obliczaliśmy sił wewnętrzne w belkach, ramach, kratownicach, etc., musimy natomiast zapomnieć o zasadach jakie wtedy panowały i przestawić się na zasadach, jakie panując w liniach wpływu, czyli obciążeniach ruchomych. O tych zasadach możecie Pastwo poczytać w poradniku o nazwie Linie wpływu.

Przypomnijmy raz jeszcze schemat statyczny belki. Oto on.

Tak jak było wspomniane w poprzednim akapicie możemy używać metod obliczeniowych jak z sił wewnętrznych, ale nie zasad tam panujących. Tak też się stanie.

Zaczniemy od obliczenia jakie oddziaływanie siła ruchoma P = 1,00 wywołuje na podporę w punkcie C. Aby to zrobić nie możemy uwzględnić całej belki, ponieważ będziemy mieli za wiele niewiadomych, a więc co należy zrobić? Dokładnie tak! Podzielić belkę w jedynym możliwym punkcie, a więc w przegubie (nazwijmy go punktem X).

Reakcja podporowa Rc

Po podziale pozostanie nam 6-ścio metrowy wycinek belki oraz pojawią się reakcje w przegubie. Prawa część belki jest elementem zależnym od jej lewej części, którą tymczasowo odrzuciliśmy. Możemy się zatem spodziewać, że wykres linii wpływu reakcji R_c swoim oddziaływaniem nie wpływie na odrzuconą, lewą część belki. Co za tym idzie, wykres musi zerować się w przegubie. Czy tak będzie? Zobaczmy.

Ułożenie funkcji linii wpływu reakcji R_c.

1º – sytuacja pierwsza. Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie od przegubu.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 6,00m. Siła P₁^P=1,00.
∑M_x=0,00 (kręcimy do przegubu)

-R_c*2,00+P*(6,00-x)=0,00

2,00R_c=1,00*(6,00-x)/2,00

R_c=0,50*(6,00-x)

Dzięki powyższej funkcji momentu jesteśmy w stanie obliczyć wartości linii wpływu w interesujących nas miejscach na belce, to znaczy w miejscach charakterystycznych t.j. przegub (x=6,00), podpora w punkcie C (x=2,00) oraz koniec belki (x=0,00).

x =6,00\;\;\rightarrow \;\;R_c=0,50*(6,00-6,00)=0,00

x =2,00\;\;\rightarrow \;\;R_c=0,50*(6,00-2,00)=1,00

x =0,00\;\;\rightarrow \;\;R_c=0,50*(6,00-0,00)=3,00

2º – sytuacja druga. Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie od przegubu.
Przekrój zawiera się w 6,00m < x < 15,00m. Siła P₂^L=1,00
Mogą Państwo napotkać również następująca sytuację.
Uwzględniamy przekrój 0,00m < x < 6,00m (jak poprzednio). Wtedy siła Siła P₁^P=0,00 (gdyż znajduje się po lewej stronie). Inny zapis te same efekty.
∑M_x=0,00 (kręcimy do przegubu)

-R_c*2,00=0,00

R_c=0,00

Pamiętając, że element zależnie nie wpływa na element niezależny możemy wywnioskować, że obliczenia wykonaliśmy poprawnie, utwierdźmy się jeszcze w przekonaniu i przerzućmy suche liczby na wykres, aby sprawdzić czy faktycznie wykres zatrzymuje się w przegubie.

Linia wpływu reakcji R_c

Ułożenie funkcji linii wpływu reakcji R_b.

1º – sytuacja pierwsza. Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie podpory w pkt. A.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 12,00m. Siła P₁^P=1,00.
∑M_A=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie A)

-R_b*4,00-R_c*8,00+P*x=0,00

-4R_b=8R_c-P*x\;\;\;/(:-4)

R_b=-2V_c+P\frac{x}{4}

Dzięki powyżej funkcji jesteśmy w stanie obliczyć wartości linii wpływu reakcji R_b w interesujących nas miejscach na belce. Jedynie co potrzebujemy to współrzędną X po długości belki oraz wartość obliczonej już reakcji R_c. Dla Państwa wygody dla wszystkich miejsc charakterystycznych równania zostaną uzupełniony potrzebnymi danymi.

x =12,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(12)=-2*3,00+1,00*\frac{12}{4}=-3,00

x =8,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(8)=-2*1,00+1,00*\frac{8}{4}=0,00

x =6,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(6)=-2*0,00+1,00*\frac{6}{4}=1,50

x =4,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(4)=-2*0,00+1,00*\frac{4}{4}=1,00

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(0)=-2*0,00+1,00*\frac{0}{4}=0,00

Na tym etapie posiadamy już wszystkie wartości linii wpływu dla pierwszej sytuacji. Teraz uwzględnimy pozostaną część belki.

2º – sytuacja druga. Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie podpory w pkt. A.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 3,00m. Siła P₂^L=1,00.
∑M_A=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie A)

-R_b*4,00-R_c*8,00+P*x=0,00

-4V_b=8R_c+P*x\;\;\;/:(-4,00)

R_b=-1\frac{x}{4}

W tej części belki reakcja R_c wynosi zero, a więc nie uwzględniamy już tej reakcji w naszej funkcji, pozostaje nam postać działania widocznego powyżej. Musimy pod X podstawić interesujące nam współrzędne z przedziału 0,00m < x < 3,00. Jako, że jest to funkcja liniowa, wystarczy że poznamy wartości na początku i końce tego przedziału.

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(0)=1,00*\frac{0}{4}=0,00

x =3,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(3)=1,00*\frac{3}{4}=-0,75

R_a*4,00-R_c*4,00+P*x=0,00

4R_a=4R_c-P*x\;\;\;/:4,00

R_a=R_c-P*\frac{0}{4}

Końcowa postać funkcji dla pierwszej sytuacji jest już nam znana. Obliczmy teraz wszystkie potrzebne wartości.

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(0)=0,00-1,00*\frac{0}{4}=0,00

x =2,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(2)=0,00-1,00*\frac{2}{4}=-0,50

x =4,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(4)=1,00-1,00*\frac{4}{4}=0,00

x =8,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(8)=3,00-1,00*\frac{8}{4}=1,00

2º – sytuacja druga. Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie podpory w pkt. B.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 7,00m. Siła P₂^L=1,00.
∑M_B=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie B)

R_a*4-R_c*4-P*x=0,00

4R_a=4R_c+P*x\;\;\;/:(4,00)

R_a=R_c+P*\frac{x}{4}

Funkcja ułożona, teraz jedynie podkładamy pod R_c i x odpowiednie wartości.

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(0)=0,00-1,00*\frac{0}{4}=0,00

x =4,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(4)=0,00-1,00*\frac{4}{4}=1,00

x =7,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(7)=0,00-1,00*\frac{7}{4}=1,75

Tym oto sposobem możemy bez większych stresów przejść do kolejnego etapu, jakim jest obliczenie linii wpływu sił wewnętrznych w belce. Proponuję otworzyć kolejny poradnik w nowej karcie, gdyż wartości linii wpływu reakcji podporowych będą niezbędne do kolejnych obliczeń.