Linia wpływu reakcji podporowych belki wieloprzegubowej

Linia wpływu reakcji podporowych w belce wieloprzegubowej. Ułożone funkcji równań równowagi w celu znalezienia wartości linii wpływu w charakterystycznych punktach.

Linia wpływu

Poznaliście Państwo w poprzednim poradniku o nazwie linia wpływu w belce wieloprzegubowej schemat belki złożonej, na podstawie którego wykonamy szereg obliczeń i wykresów linii wpływu oraz ogólne założenia dotyczącej tego zadania.
W tym materiale uwzględnimy działanie siły ruchomej P = 1,00 na podpory przegubowe w punktach A, B oraz C. Wyjaśnione zostaną wszystkie możliwości, jakie należy brać pod uwagę układając równania równowagi, dlaczego wszystkie możliwości i w ogóle jakie możliwości? A no dlatego, że siła obciążająca belkę jest ruchoma, a więc tworzy nam wiele możliwych funkcji linii wpływu. Przez co widzimy, że możemy używać metod obliczeniowych, na podstawie których obliczaliśmy sił wewnętrzne w belkach, ramach, kratownicach, etc., musimy natomiast zapomnieć o zasadach jakie wtedy panowały i przestawić się na zasadach, jakie panując w liniach wpływu, czyli obciążeniach ruchomych. O tych zasadach możecie Pastwo poczytać w poradniku o nazwie Linie wpływu.

Przypomnijmy raz jeszcze schemat statyczny belki. Oto on.

Linia wpływu reakcji podporowych - schemat statyczny

Tak jak było wspomniane w poprzednim akapicie możemy używać metod obliczeniowych jak z sił wewnętrznych, ale nie zasad tam panujących. Tak też się stanie.

Zaczniemy od obliczenia jakie oddziaływanie siła ruchoma P = 1,00 wywołuje na podporę w punkcie C. Aby to zrobić nie możemy uwzględnić całej belki, ponieważ będziemy mieli za wiele niewiadomych, a więc co należy zrobić? Dokładnie tak! Podzielić belkę w jedynym możliwym punkcie, a więc w przegubie (nazwijmy go punktem X).

Reakcja podporowa Rc

Po podziale pozostanie nam 6-ścio metrowy wycinek belki oraz pojawią się reakcje w przegubie. Prawa część belki jest elementem zależnym od jej lewej części, którą tymczasowo odrzuciliśmy. Możemy się zatem spodziewać, że wykres linii wpływu reakcji Rc swoim oddziaływaniem nie wpływie na odrzuconą, lewą część belki. Co za tym idzie, wykres musi zerować się w przegubie. Czy tak będzie? Zobaczmy.

Linia wpływu reakcji podporowych - reakcja Rc

Ułożenie funkcji linii wpływu reakcji Rc.

1º – sytuacja pierwsza. Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie od przegubu.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 6,00m. Siła P1P=1,00.
∑Mx=0,00 (kręcimy do przegubu)

-R_c*2,00+P*(6,00-x)=0,00
2,00R_c=1,00*(6,00-x)/2,00
R_c=0,50*(6,00-x)

Dzięki powyższej funkcji momentu jesteśmy w stanie obliczyć wartości linii wpływu w interesujących nas miejscach na belce, to znaczy w miejscach charakterystycznych t.j. przegub (x=6,00), podpora w punkcie C (x=2,00) oraz koniec belki (x=0,00).

x =6,00\;\;\rightarrow \;\;R_c=0,50*(6,00-6,00)=0,00
x =2,00\;\;\rightarrow \;\;R_c=0,50*(6,00-2,00)=1,00
x =0,00\;\;\rightarrow \;\;R_c=0,50*(6,00-0,00)=3,00

2º – sytuacja druga. Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie od przegubu.
Przekrój zawiera się w 6,00m < x < 15,00m. Siła P2L=1,00
Mogą Państwo napotkać również następująca sytuację.
Uwzględniamy przekrój 0,00m < x < 6,00m (jak poprzednio). Wtedy siła Siła P1P=0,00 (gdyż znajduje się po lewej stronie). Inny zapis te same efekty.
∑Mx=0,00 (kręcimy do przegubu)

-R_c*2,00=0,00
R_c=0,00

Pamiętając, że element zależnie nie wpływa na element niezależny możemy wywnioskować, że obliczenia wykonaliśmy poprawnie, utwierdźmy się jeszcze w przekonaniu i przerzućmy suche liczby na wykres, aby sprawdzić czy faktycznie wykres zatrzymuje się w przegubie.

Linia wpływu reakcji Rc

Linia wpływu reakcji podporowych - wykres reakcji Rc

Wszystko w jak najlepszym porządku. Za nimi pierwsza obliczona reakcja i narysowany wykres linii wpływu reakcji RC. Przed nami jeszcze RB oraz RA.

Reakcja podporowa Rb

Podpora przegubowa z punktu B znajduje się na elemencie niezależnym, co wpłynie nam na część prawą belki za przegubem. Z tego powodu nie ma potrzeby rozdzielać belki w przegubie, ponieważ jesteśmy w stanie ułożyć takie funkcje równań równowagi, że pozostanie tylko jedna niewiadoma w działaniu. Uwzględniamy całą belką w celu ułożenia funkcji dla linii wpływu reakcji podporowej RB, a następnie narysowania dla niej wykresów.

Linia wpływu reakcji podporowych - reakcja Rb

Dokładnie jak podczas obliczania reakcji Rc musimy uwzględnić dwie różne sytuacje. Tutaj sytuacja jest trochę inna, ponieważ w obu przypadkach jednostkowa siła ruchowa jest brana pod uwagę, dlaczego? Otóż uwzględniając cały schemat belki, nie ma możliwości aby nie widzieć tej siły. Zmienia ulega znakowanie tej siły, ponieważ raz “kręci” ona zgodnie ze wskazówkami zegara do danego punktu, a już w drugiej sytuacji kręci przeciwnie do wskazówek zegara i uwzględniamy tą siłę ze znakiem minus.

Ułożenie funkcji linii wpływu reakcji Rb.

1º – sytuacja pierwsza. Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie podpory w pkt. A.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 12,00m. Siła P1P=1,00.
∑MA=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie A)

-R_b*4,00-R_c*8,00+P*x=0,00
-4R_b=8R_c-P*x\;\;\;/(:-4)
R_b=-2V_c+P\frac{x}{4}

Dzięki powyżej funkcji jesteśmy w stanie obliczyć wartości linii wpływu reakcji Rb w interesujących nas miejscach na belce. Jedynie co potrzebujemy to współrzędną X po długości belki oraz wartość obliczonej już reakcji Rc. Dla Państwa wygody dla wszystkich miejsc charakterystycznych równania zostaną uzupełniony potrzebnymi danymi.

x =12,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(12)=-2*3,00+1,00*\frac{12}{4}=-3,00
x =8,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(8)=-2*1,00+1,00*\frac{8}{4}=0,00
x =6,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(6)=-2*0,00+1,00*\frac{6}{4}=1,50
x =4,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(4)=-2*0,00+1,00*\frac{4}{4}=1,00
x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(0)=-2*0,00+1,00*\frac{0}{4}=0,00

Na tym etapie posiadamy już wszystkie wartości linii wpływu dla pierwszej sytuacji. Teraz uwzględnimy pozostaną część belki.

2º – sytuacja druga. Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie podpory w pkt. A.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 3,00m. Siła P2L=1,00.
∑MA=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie A)

-R_b*4,00-R_c*8,00+P*x=0,00
-4V_b=8R_c+P*x\;\;\;/:(-4,00)
R_b=-1\frac{x}{4}

W tej części belki reakcja Rc wynosi zero, a więc nie uwzględniamy już tej reakcji w naszej funkcji, pozostaje nam postać działania widocznego powyżej. Musimy pod X podstawić interesujące nam współrzędne z przedziału 0,00m < x < 3,00. Jako, że jest to funkcja liniowa, wystarczy że poznamy wartości na początku i końce tego przedziału.

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(0)=1,00*\frac{0}{4}=0,00
x =3,00\;\;\rightarrow\;\; R_b(3)=1,00*\frac{3}{4}=-0,75
Linia wpływu reakcji Rb

Na tym etapie nie pozostało nic innego, jak zebrać wartości linii wpływu reakcji podporowej Rb i utworzyć z nich wykres linii wpływu tej reakcji. Jest to bardzo ważne, aby nie popełnić na tym etapie błędu, ponieważ wartości te będziemy potrzebowali w kolejnym poradniku podczas obliczania linii wpływu sił przekrojowych. Poniżej wykres linii wpływu reakcji RB.

Linia wpływu reakcji podporowych - wykres reakcji Rb

Reakcja podporowa Ra

Analogicznie jak dla powyższych dwóch akapitów musimy ułożyć funkcje momentów zginających, w taki sposób aby stworzyć możliwość obliczenia reakcji Ra. Również uwzględniamy całą długość belki, nie rozdzielając jej w przegubie na dwie części. Dla ułatwienia obliczeń punktem, do którego będziemy układać funkcję równania momentu zginającego będzie punkt B, wtedy nie będziemy brali pod uwagę działania reakcji z podpory w punkcie B.

Linia wpływu reakcji podporowych - reakcja Ra

Ułożenie funkcji linii wpływu reakcji Ra.

1º – sytuacja pierwsza. Siła P=1,00 znajduje się po prawej stronie podpory w pkt. B.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 8,00m. Siła P1P=1,00.
∑MB=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie B)

R_a*4,00-R_c*4,00+P*x=0,00
4R_a=4R_c-P*x\;\;\;/:4,00
R_a=R_c-P*\frac{0}{4}

Końcowa postać funkcji dla pierwszej sytuacji jest już nam znana. Obliczmy teraz wszystkie potrzebne wartości.

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(0)=0,00-1,00*\frac{0}{4}=0,00
x =2,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(2)=0,00-1,00*\frac{2}{4}=-0,50
x =4,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(4)=1,00-1,00*\frac{4}{4}=0,00
x =8,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(8)=3,00-1,00*\frac{8}{4}=1,00

2º – sytuacja druga. Siła P=1,00 znajduje się po lewej stronie podpory w pkt. B.
Przekrój zawiera się w 0,00m < x < 7,00m. Siła P2L=1,00.
∑MB=0,00 (kręcimy do podpory w punkcie B)

R_a*4-R_c*4-P*x=0,00
4R_a=4R_c+P*x\;\;\;/:(4,00)
R_a=R_c+P*\frac{x}{4}

Funkcja ułożona, teraz jedynie podkładamy pod Rc i x odpowiednie wartości.

x =0,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(0)=0,00-1,00*\frac{0}{4}=0,00
x =4,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(4)=0,00-1,00*\frac{4}{4}=1,00
x =7,00\;\;\rightarrow\;\; R_a(7)=0,00-1,00*\frac{7}{4}=1,75
Linia wpływu reakcji Ra

Linia wpływu reakcji podporowych - wykres reakcji Ra

Tym oto sposobem możemy bez większych stresów przejść do kolejnego etapu, jakim jest obliczenie linii wpływu sił wewnętrznych w belce. Proponuję otworzyć kolejny poradnik w nowej karcie, gdyż wartości linii wpływu reakcji podporowych będą niezbędne do kolejnych obliczeń.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *