Kratownica o kształcie odwróconej piramidy

Przykład obliczonej kratownicy o bardzo ciekawym kształcie schematu statycznego. Na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, że schemat jest statycznie niewyznaczalny, ale podczas obliczania zauważą Państwo, że tak nie jest i można ją obliczyć za pomocą ogólnej metody analitycznej. Ogólnie kratownica przymocowana jest do podłoża za pomocą podpór przegubowo nieprzesuwnych oraz obciążona jest jedną siłą skupioną. Całość kratownicy składa się z czternastu prętów. Z czego pręt numer 14 dołączony jest do kratownicy, jako osobny pręt rozwalający nam ładny schemat kratownicy. Poniżej mogą Państwo przeanalizować jak obliczyć taki przykład.

Zaczniemy od przedstawienia schematu statycznego kratownicy, obliczymy długości prętów oraz reakcje podporowe. Kolejne etapy obliczania tej kratownicy to rozpoczęcie obliczania sił przekrojowych(osiowych) w poszczególnych prętach. Użyjemy metodę równoważenia węzłów. Obliczenie sił przekrojowych w węźle E metodą równoważenia węzłów oraz przekroju alfa-alfa metodą Rittera. Zacznijmy, schemat statyczny kratownicy widnieje poniżej.

Obliczenie długości prętów pod kątem „c”  oraz pionowych „b”.

 

 

\begin{array}{l}
\cos 45^\circ  = \frac{1}{c}\\
0,707 = \frac{1}{c}/*c\\
0,707c = 1/:0,707\\
c = 1,414m\\
\\
\\
{a^2} + {b^2} = {c^2}\\
{1^2} + {b^2} = {1,414^2}\\
{b^2} = 1/\sqrt {} \\
b = 1m
\end{array}

Widzimy, że długość prętów pionowych to b = 1,00m, natomiast prętów pod kątem c = 1,414m.
Obliczenie reakcji podporowych.

\begin{array}{l}
\sum {M = 0} \\
{H_B} = 0kN
\end{array}

Następnie uwzględniamy dla pozostałych reakcji podporowych cały schemat kratownicy.

\sum {X = 0} 
\\
\\
{H_A} - 12 = 0\\
{H_A} = 12kN\\

\\
\\
\sum {{M_A} = 0} \\
 - {V_B}*4 + 12*1 = 0\\
4{V_B} = 12/:4\\
{V_B} = 3kN\\
\sum {y = 0} \\
 - {V_A} + 3 = 0\\
{V_A} = 3kN

Następnie przechodzimy do obliczania sił przekrojowych w poszczególnych prętach kratownicy. Większość prętów zostanie obliczona metodą równoważenia węzłów. Zostanie stworzony tylko jeden przekrój, dzięki któremu obliczymy parę prętów metodą Rittera.

Wracamy do metody równoważenia węzłów. Węzeł A

 

\begin{array}{l}
\sum {y = 0} \\
\\
 - {P_2}*\frac{1}{{1,414}} - 3 = 0\\
0,7072{P_2} =  - 3/:0,7072\\
{P_2} =  - 4,25kN\\
\\
\\
\\
\sum {X = 0} \\
\\
{P_1} + 12 + ( - 4,25)*\frac{1}{{1,414}} = 0\\
{P_1} =  - 8,99kN
\end{array}

Węzeł C

\begin{array}{l}
\sum {y = 0} \\
{P_3} = 0kN\\
\\
\\
\sum {x = 0} \\
{P_4} =  - 8,99kN
\end{array}

Węzeł B

 

\begin{array}{l}
\sum {y = 0} \\
{P_{14}} = 3kN
\end{array}

Węzeł I

 

\begin{array}{l}
\sum {y = 0} \\
\\
3 - {P_{13}}*\frac{1}{{1,414}} = 0\\
0,707{P_{13}} = 3/:0,707\\
{P_{13}} = 4,25kN\\
\\
\\
\sum {x = 0} \\
\\
 - {P_{12}} - 4,25*\frac{1}{{1,414}} = 0\\
{P_{12}} =  - 3kN
\end{array}

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
{P_8} =  - 3kN\\
\\
\sum {y = 0} \\
{P_{11}} = 0kN
\end{array}

Teraz krótka przerwa w obliczaniu sił przekrojowych metodą równoważenia węzłów i pręty numer P10, P7 oraz P5 będą obliczone metodą Rittera. Przekrój α-α wygląda następująco.

 

\begin{array}{l}
\sum {{M_{p{R_1}}} = 0} \\
\\
 - {P_{10}}*\frac{1}{{1,414}}*2 - 3*2 = 0\\
 - 1,414{P_{10}} = 6/:( - 1,414)\\
{P_{10}} =  - 4,24kN\\
\\
\\
\sum {x = 0} \\
\\
{P_5}*\frac{1}{{1,414}} + 12 - 4,24*\frac{1}{{1,414}} - 8,99 = 0\\
{P_5} = 0kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
\\
{P_7} - 3 - 4,24*\frac{1}{{1,414}} = 0\\
{P_7} = 6kN
\end{array}

Jesteśmy prawie na finiszu obliczania tego projektu kratownicy. Więcej prętów metodą Rittera nie będzie obliczonych, wracamy ponownie do metody równoważenia węzłów.

Węzeł H

\sum {x = 0} \\
 
- {P_6}*\frac{1}{{1,414}} - 4,24*\frac{1}{{1,414}} = 0/:\frac{1}{{1,414}}\\
{P_6} =  - 4,24kN

Węzeł G

\sum {y = 0} \\

 - {P_9}*\frac{1}{{1,414}} + 4,24*\frac{1}{{1,414}} + 4,24*\frac{1}{{1,414}} = 0/:\frac{1}{{1,414}}\\
{P_9} =  - 8,48kN

To byłoby w tym projekcie na tyle obliczania sił przekrojowych w prętach kratownicy. Bardzo serdecznie zachęcam do ponownego rozwiązania tego zadania samodzielnie jako trening. W przypadku gdy to zadanie zrobi się już za łatwe, zapraszam do kolejnych.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *