Figury płaskie

Ostatnią rzeczą jaką zajmiemy się w poradniku Mechanika Ogólna to będą figury płaskie.

Zacznijmy od tego, że figury płaskie nie mają nic wspólnego z obliczaniem belek, ram czy kratownic. Takie obliczenia wykonuje się, aby znaleźć np. centralny moment bezwładności dwuteowników, ceowników lub żeby znaleźć ich rdzeń przekroju. W tym poradniku ograniczymy się do podstawowych rzeczy, czyli:

  1. Wyznaczenie środka ciężkości
  2. Centralne momenty bezwładności
  3. Położenie głównych centralnych osi bezwładności
  4. Główne centralne momenty bezwładności – i na tym zakończymy.
    Kontynuację będziecie mogli Państwo znaleźć w poradniku Wytrzymałość Materiałów.

Wszystkie obliczenia wykonuje się zgodnie ze wzorami, których jednak trochę będzie. Najpierw zajmijmy się teorią, a następnie pokaże co i jak na przykładnie.

Rodzaje figur płaskich oraz ich parametry charakterystyczne.

Tok postępowania podczas obliczania figur płaskich oraz wzory.

  1. Podział na figury proste
    Na samym początku obliczeń musimy zadany nam “kształt” podzielić na figury proste, bo nie zawsze dostaniemy sam kwadrat czy prostokąt. Dla łatwiejszego zrozumienia pokaże od razu na przykładzie, który później będę obliczał. Oto on.

    Mamy prostokąt z wycięciem wewnątrz o kształcie kwadratu i wymiarach 1×1, a na prostokącie leży trójkąt. Przechodząc do podziału otrzymamy:

    • jeden prostokąt
    • jeden kwadrat
    • jeden trójkąt

    Na tym etapie obliczamy ich pole powierzchni, moment bezwładności oraz moment dewiacji.

  2. Wyznaczenie środka ciężkości2.1 Przyjmujemy wyjściowy układ współrzędnych w wybranym przez nas punkcie.
    Następnie musimy znaleźć współrzędne środka ciężkości Sx i Sy, aby to zrobić możemy wykorzystać następujące wzory.
    S_{X}=\frac{(A_{1}*X_{1})+/-(A_{1}*X_{2})+/-(A_{i}*X_{i})}{A_{1}+/-A_{2}+/-A_{i}}S_{X}=\frac{(A_{1}*X_{1})+/-(A_{1}*X_{2})+/-(A_{i}*X_{i})}{A_{1}+/-A_{2}+/-A_{i}}Już tłumaczę, musimy znaleźć współrzędną X oraz Y środka ciężkości. Wykonujemy to poprzez dzielenie (pola powierzchni danej figury pomnożonego przez odpowiednią współrzędną) z (polem powierzchni tej figury). Znaki między danymi różnych figur zależą od tego, czy figury powiększą całkowitą wielkość pola powierzchni czy ją pomniejszą. W zadanym przeze mnie przypadku będzie to wyglądało następująco.

    prostokąt – kwadrat + trójkąt.

    Widzimy, że kwadrat jest wewnątrz prostokąta, rozumiemy to jako wycięcie kawałka prostokąta.

    2.2 Współrzędne poszczególnych figur w odniesieniu do środka ciężkości.

    Po obliczeniu środka ciężkości całej figury, musimy wyznaczyć nowe współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur w stosunku do środka ciężkości całej figury, będą nam one potrzebne do następnych obliczeń.
    Aby wyznaczyć nowe współrzędne figury nr 1, należy.
    S_{1} = (a_{1}; b_{1})\rightarrow a_{1} = X_{1} - X_{S} \: \: and \: \: b_{1} = Y_{1} - Y_{S}

    Figura nr 2.
    S_{2} = (a_{2}; b_{2})\rightarrow a_{2} = X_{2} - X_{S} \: \: and \: \: b_{2} = Y_{2} - Y_{S}

  3. Centralne momenty bezwładności (wzory Steinera)
    Kolejnym krokiem jest obliczenie momentów bezwładności całej figury, będą nam potrzebne następujące wzory.
    I_{X0}=\Sigma (I_{Xi}+A_{i}*b_{i}^{2})I_{Y0}=\Sigma (I_{Yi}+A_{i}*a_{i}^{2})D_{X0Y0}=\Sigma (D_{XiYi}+A_{i}*a_{i}*b_{i})Wyjaśnię co oznaczają poszczególne oznaczenia.
    I_{Xi}\; \: and \: \: I_{Yi} – momenty bezwładności poszczególnych figur prostych,
    D_{XiYi} – momenty dewiacji poszczególnych figur prostych,
    A_{i}–- pole powierzchni poszczególnych figur płaskich,
    a_{i}\: \: and\: \: b_{i} – współrzędne x i y poszczególnych figur prostych, w odniesieniu do obliczonego środka ciężkości całej figury
  4. Położenie osi głównych centralnych
    Kolejnym krokiem jest wyznaczenie osi głównych centralnych, a dokładniej wyliczamy kąt o jaki należy obrócić nasz układ współrzędnych zaczepiony w środku ciężkości figury. Akurat ten punkt pojawił się tutaj, ponieważ jest to podstawowy wzór z figur płaskich, lecz poważniejsze zastosowanie pojawi się dopiero w poradniku Wytrzymałość Materiałów. Wzór wygląda następująco :
    tg2\alpha _{main}=-\frac{2*D_{X0Y0}}{I_{X0}-I_{Y0}}Widzimy, że do obliczenia kąta obrotu używamy danych z poprzedniego punktu.

Główne centralne momenty bezwładności
Ostatnim punktem będzie obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności. Tutaj również posłużymy się danymi z punktu nr 3. Należy skorzystać z następujących wzorów:
J_{I}=\frac{I_{X0}+I_{Y0}}{2}+\sqrt{(\frac{I_{X0}-I_{Y0}}{2})^{2}+(D_{X0Y0})^{2}}
J_{II}=\frac{I_{X0}+I_{Y0}}{2}-\sqrt{(\frac{I_{X0}-I_{Y0}}{2})^{2}+(D_{X0Y0})^{2}}Przykład.
Tutaj kończy się część teoretyczna, znamy już wszystkie wzory. Przejdźmy do obliczenia naszego przykładu, przypomnijmy jak nasza figura wygląda oraz przyjmijmy układ współrzędnych (x,y) i zobaczmy gdzie znajdują się środki poszczególnych figur prostych(zielone kropki).

  1. Podział na figury proste.1.1 Prostokąt (S1), dane:
    A_{1} = 27 ,00cm^{2}
    I_{X1} = 20,25cm^{4};
    I_{Y1} = 182,25 cm^{4};
    D_{x1y1} = 0,00cm^{4};1.2 Kwadrat (S2), dane:
    A_{2} = 1 ,00cm^{2}
    I_{X2} = 0,08cm^{4};
    I_{Y2} = 0,08cm^{4};
    D_{x2y2} = 0,00cm^{4};1.3 Trójkąt (S3), dane:
    A_{3} = 13 ,50cm^{2}
    I_{X3} = 6,75cm^{4};
    I_{Y3} = 60,75cm^{4};
    D_{x3y3} = -10,125cm^{4};
  2. Środek ciężkości figuryS_{X}=\frac{(27,00*4,50)-(1,00*4,50)+(13,50*3,00)}{27,00-1,00+13,50}=3,99cm
    S_{Y}=\frac{(27,00*1,50)-(1,00*1,50)+(13,50*4,00)}{27,00-1,00+13,50}=2,35m
  3. Centralne momenty bezwładności\mathbf{I_{X0}}= (20,25+27,00*(-0,85)^{2})-(0,08+1,00*(-0,85)^{2})+(6,75+13,50*1,65^{2})=\mathbf{82,46cm^{4}}
    \mathbf{{I_{Y0}}}= (182,25+27,00*0,51^{2})-(0,08+1,00*0,51^{2})+(60,75+13,50*(-0,99)^{2})=\mathbf{{262,91cm^{4}}}
    \mathbf{D_{X0Y0}}= (0,00+27,00*(-0,85)*0,51)-(0,00+1,00*(-0,85)*0,51)+((-10,125)+13,50*1,65*(-0,99))=\mathbf{-43,45cm^{4}}
  4. Położenie osi głównych centralnych
    tg2\alpha _{main}=-\frac{2*(-43,45)}{82,46-262,91}=-\frac{-86,90}{-180,45}=-0,48\:\: \: /:tg
    2\alpha _{main}=-25,64^{0}\:\: \: /:2
    \alpha _{main}=-12,80^{0}
  5. Główne centralne momenty bezwładności

J_{I}=\frac{82,46+262,91}{2}+\sqrt{(\frac{82,46-262,91}{2})^{2}+(-43,45)^{2}}
\mathbf{J_{I}}=172,69cm^{4}+100,14cm^{4}=\mathbf{272,83cm^{4}}

J_{II}=\frac{82,46+262,91}{2}-\sqrt{(\frac{82,46-262,91}{2})^{2}+(-43,45)^{2}}
\mathbf{J_{II}}=172,69cm^{4}-100,14cm^{4}=\mathbf{72,55cm^{4}}

Na koniec oczywiście należy zrobić rysunek z zaznaczonym środkiem ciężkości oraz obróconym układem współrzędnych o obliczony kąt.

Aby sprawdzić nasze obliczenia możemy wykorzystać następujące wzory:

J_{xo} * J_{yo} - D_{xoyo}^{2} = J_{I} * J_{II}
J_{xo} + J_{yo} = J_{I} + J_{II}

Możemy również wykorzystać koło Mohra.

To już koniec poradnika Mechanika Ogólna, mam nadzieję, że przydadzą się zebrane i opisane przeze mnie materiały, wzory oraz przykłady. Jeśli masz z czymś problem, zawsze możesz wrócić do interesującego Cie materiału.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *