Statyka.info

Figury płaskie

przez · Opublikowane · Zaktualizowane

Ostatnią rzeczą jaką zajmiemy się w poradniku Mechanika Ogólna to będą figury płaskie.

Zacznijmy od tego, że figury płaskie nie mają nic wspólnego z obliczaniem belek, ram czy kratownic. Takie obliczenia wykonuje się, aby znaleźć np. centralny moment bezwładności dwuteowników, ceowników lub żeby znaleźć ich rdzeń przekroju. W tym poradniku ograniczymy się do podstawowych rzeczy, czyli:

  1. Wyznaczenie środka ciężkości
  2. Centralne momenty bezwładności
  3. Położenie głównych centralnych osi bezwładności
  4. Główne centralne momenty bezwładności – i na tym zakończymy.
    Kontynuację będziecie mogli Państwo znaleźć w poradniku Wytrzymałość Materiałów.

Wszystkie obliczenia wykonuje się zgodnie ze wzorami, których jednak trochę będzie. Najpierw zajmijmy się teorią, a następnie pokaże co i jak na przykładnie.

Rodzaje figur płaskich oraz ich parametry charakterystyczne.

Tok postępowania podczas obliczania figur płaskich oraz wzory.

  1. Podział na figury proste
    Na samym początku obliczeń musimy zadany nam “kształt” podzielić na figury proste, bo nie zawsze dostaniemy sam kwadrat czy prostokąt. Dla łatwiejszego zrozumienia pokaże od razu na przykładzie, który później będę obliczał. Oto on.

    Mamy prostokąt z wycięciem wewnątrz o kształcie kwadratu i wymiarach 1×1, a na prostokącie leży trójkąt. Przechodząc do podziału otrzymamy:

    • jeden prostokąt
    • jeden kwadrat
    • jeden trójkąt

    Na tym etapie obliczamy ich pole powierzchni, moment bezwładności oraz moment dewiacji.

    Droga użytkowniczko,
    drogi użytkowniku,
    dziękuję, że korzystasz z materiałów zawartych na stronie.
    Niestety 90% z Was korzysta z AdBlock'a, co przestało generować dochody z reklam.
    Poświęcony czas i rosnące koszty wygenerowały w roku 2019 ujemny bilans zysków.
    Wykupienie subskrypcji za cenę dużej kawy pozwoli mi na dalszy rozwój strony i przekształcanie go w portal BUDOWLANY. Na którym znajdziecie przydatne informacje nie tylko w trakcie studiów ale również w życiu zawodowym.

    15% tego poradnika jest ukryte. Wykup subskrypcję.

    Widzimy, że do obliczenia kąta obrotu używamy danych z poprzedniego punktu.

Główne centralne momenty bezwładności
Ostatnim punktem będzie obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności. Tutaj również posłużymy się danymi z punktu nr 3. Należy skorzystać z następujących wzorów:
J_{I}=\frac{I_{X0}+I_{Y0}}{2}+\sqrt{(\frac{I_{X0}-I_{Y0}}{2})^{2}+(D_{X0Y0})^{2}}
J_{II}=\frac{I_{X0}+I_{Y0}}{2}-\sqrt{(\frac{I_{X0}-I_{Y0}}{2})^{2}+(D_{X0Y0})^{2}}Przykład.
Tutaj kończy się część teoretyczna, znamy już wszystkie wzory. Przejdźmy do obliczenia naszego przykładu, przypomnijmy jak nasza figura wygląda oraz przyjmijmy układ współrzędnych (x,y) i zobaczmy gdzie znajdują się środki poszczególnych figur prostych(zielone kropki).

  1. Podział na figury proste.1.1 Prostokąt (S1), dane:
    A_{1} = 27 ,00cm^{2}
    I_{X1} = 20,25cm^{4};
    I_{Y1} = 182,25 cm^{4};
    D_{x1y1} = 0,00cm^{4};1.2 Kwadrat (S2), dane:
    A_{2} = 1 ,00cm^{2}
    I_{X2} = 0,08cm^{4};
    I_{Y2} = 0,08cm^{4};
    D_{x2y2} = 0,00cm^{4};1.3 Trójkąt (S3), dane:
    A_{3} = 13 ,50cm^{2}
    I_{X3} = 6,75cm^{4};
    I_{Y3} = 60,75cm^{4};
    D_{x3y3} = -10,125cm^{4};
  2. Środek ciężkości figuryS_{X}=\frac{(27,00*4,50)-(1,00*4,50)+(13,50*3,00)}{27,00-1,00+13,50}=3,99cm
    S_{Y}=\frac{(27,00*1,50)-(1,00*1,50)+(13,50*4,00)}{27,00-1,00+13,50}=2,35m
  3. Centralne momenty bezwładności\mathbf{I_{X0}}= (20,25+27,00*(-0,85)^{2})-(0,08+1,00*(-0,85)^{2})+(6,75+13,50*1,65^{2})=\mathbf{82,46cm^{4}}
    \mathbf{{I_{Y0}}}= (182,25+27,00*0,51^{2})-(0,08+1,00*0,51^{2})+(60,75+13,50*(-0,99)^{2})=\mathbf{{262,91cm^{4}}}
    \mathbf{D_{X0Y0}}= (0,00+27,00*(-0,85)*0,51)-(0,00+1,00*(-0,85)*0,51)+((-10,125)+13,50*1,65*(-0,99))=\mathbf{-43,45cm^{4}}
  4. Położenie osi głównych centralnych
    tg2\alpha _{main}=-\frac{2*(-43,45)}{82,46-262,91}=-\frac{-86,90}{-180,45}=-0,48\:\: \: /:tg
    2\alpha _{main}=-25,64^{0}\:\: \: /:2
    \alpha _{main}=-12,80^{0}
  5. Główne centralne momenty bezwładności

J_{I}=\frac{82,46+262,91}{2}+\sqrt{(\frac{82,46-262,91}{2})^{2}+(-43,45)^{2}}
\mathbf{J_{I}}=172,69cm^{4}+100,14cm^{4}=\mathbf{272,83cm^{4}}

J_{II}=\frac{82,46+262,91}{2}-\sqrt{(\frac{82,46-262,91}{2})^{2}+(-43,45)^{2}}
\mathbf{J_{II}}=172,69cm^{4}-100,14cm^{4}=\mathbf{72,55cm^{4}}

Na koniec oczywiście należy zrobić rysunek z zaznaczonym środkiem ciężkości oraz obróconym układem współrzędnych o obliczony kąt.

Aby sprawdzić nasze obliczenia możemy wykorzystać następujące wzory:

J_{xo} * J_{yo} - D_{xoyo}^{2} = J_{I} * J_{II}
J_{xo} + J_{yo} = J_{I} + J_{II}

Możemy również wykorzystać koło Mohra.

To już koniec poradnika Mechanika Ogólna, mam nadzieję, że przydadzą się zebrane i opisane przeze mnie materiały, wzory oraz przykłady. Jeśli masz z czymś problem, zawsze możesz wrócić do interesującego Cie materiału.

Tagi:

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *