Figury płaskie

Ostatnią rzeczą jaką zajmiemy się w kursie Mechanika Ogólna to będą figury płaskie. Zajmiemy się w tym poradniku obliczaniem właściwości geometrycznych t.j. środka ciężkości, bądź momentu bezwładności.

Figury płaskie

Zacznijmy od tego, że figury płaskie nie mają nic wspólnego z obliczaniem belek, ram czy kratownic. Takie obliczenia wykonuje się, aby znaleźć np. centralny moment bezwładności dwuteowników, ceowników lub żeby znaleźć ich rdzeń przekroju. W tym poradniku ograniczymy się do podstawowych rzeczy, czyli:

  1. Wyznaczenie środka ciężkości
  2. Centralne momenty bezwładności
  3. Położenie głównych centralnych osi bezwładności
  4. Główne centralne momenty bezwładności – i na tym zakończymy.
    Kontynuację będziecie mogli Państwo znaleźć w poradniku Wytrzymałość Materiałów.

Wszystkie obliczenia wykonuje się zgodnie ze wzorami, których jednak trochę będzie. Najpierw zajmijmy się teorią, a następnie pokaże co i jak na przykładnie.

Rodzaje figur płaskich oraz ich parametry charakterystyczne.

Tok postępowania podczas obliczania figur płaskich oraz wzory.

Podział na figury proste

Na samym początku obliczeń musimy zadany nam “kształt” podzielić na figury proste, bo nie zawsze dostaniemy sam kwadrat czy prostokąt. Dla łatwiejszego zrozumienia pokaże od razu na przykładzie, który później będę obliczał. Oto on.
Figury płaskie
Mamy prostokąt z wycięciem wewnątrz o kształcie kwadratu i wymiarach 1×1, a na prostokącie leży trójkąt. Przechodząc do podziału otrzymamy:

  • jeden prostokąt
  • jeden kwadrat
  • jeden trójkąt

Na tym etapie obliczamy ich pole powierzchni, moment bezwładności oraz moment dewiacji.

Centralne momenty bezwładności (wzory Steinera)


Kolejnym krokiem jest obliczenie momentów bezwładności całej figury, będą nam potrzebne następujące wzory.
I_{X0}=\Sigma (I_{Xi}+A_{i}*b_{i}^{2})I_{Y0}=\Sigma (I_{Yi}+A_{i}*a_{i}^{2})D_{X0Y0}=\Sigma (D_{XiYi}+A_{i}*a_{i}*b_{i})Wyjaśnię co oznaczają poszczególne oznaczenia.
I_{Xi}\; \: and \: \: I_{Yi}  – momenty bezwładności poszczególnych figur prostych,
D_{XiYi} – momenty dewiacji poszczególnych figur prostych,
A_{i}–- pole powierzchni poszczególnych figur płaskich,
a_{i}\: \: and\: \: b_{i} – współrzędne x i y poszczególnych figur prostych, w odniesieniu do obliczonego środka ciężkości całej figury

Położenie osi głównych centralnych


Kolejnym krokiem jest wyznaczenie osi głównych centralnych, a dokładniej wyliczamy kąt o jaki należy obrócić nasz układ współrzędnych zaczepiony w środku ciężkości figury. Akurat ten punkt pojawił się tutaj, ponieważ jest to podstawowy wzór z figur płaskich, lecz poważniejsze zastosowanie pojawi się dopiero w poradniku Wytrzymałość Materiałów. Wzór wygląda następująco :
tg2\alpha _{main}=-\frac{2*D_{X0Y0}}{I_{X0}-I_{Y0}}
Widzimy, że do obliczenia kąta obrotu używamy danych z poprzedniego punktu.

Główne centralne momenty bezwładności


Ostatnim punktem będzie obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności. Tutaj również posłużymy się danymi z punktu nr 3. Należy skorzystać z następujących wzorów:
J_{I}=\frac{I_{X0}+I_{Y0}}{2}+\sqrt{(\frac{I_{X0}-I_{Y0}}{2})^{2}+(D_{X0Y0})^{2}}
J_{II}=\frac{I_{X0}+I_{Y0}}{2}-\sqrt{(\frac{I_{X0}-I_{Y0}}{2})^{2}+(D_{X0Y0})^{2}}

Przykład.
Tutaj kończy się część teoretyczna, znamy już wszystkie wzory. Przejdźmy do obliczenia naszego przykładu, przypomnijmy jak nasza figura wygląda oraz przyjmijmy układ współrzędnych (x,y) i zobaczmy gdzie znajdują się środki poszczególnych figur prostych(zielone kropki).

Podział na figury proste.

Prostokąt (S1), dane:
A_{1} = 27 ,00cm^{2}
I_{X1} = 20,25cm^{4};
I_{Y1} = 182,25 cm^{4};
D_{x1y1} = 0,00cm^{4};

Kwadrat (S2), dane:
A_{2} = 1 ,00cm^{2}
I_{X2} = 0,08cm^{4};
I_{Y2} = 0,08cm^{4};
D_{x2y2} = 0,00cm^{4};

Trójkąt (S3), dane:
A_{3} = 13 ,50cm^{2}
I_{X3} = 6,75cm^{4};
I_{Y3} = 60,75cm^{4};
D_{x3y3} = -10,125cm^{4};

  1. Środek ciężkości figury
     

    Na koniec oczywiście należy zrobić rysunek z zaznaczonym środkiem ciężkości oraz obróconym układem współrzędnych o obliczony kąt.

    Aby sprawdzić nasze obliczenia możemy wykorzystać następujące wzory:

    J_{xo} * J_{yo} - D_{xoyo}^{2} = J_{I} * J_{II}
    J_{xo} + J_{yo} = J_{I} + J_{II}

    Możemy również wykorzystać koło Mohra.

    Mam nadzieję, że przydadzą się zebrane i opisane przeze mnie materiały, wzory oraz przykłady. Jeśli masz z czymś problem, zawsze możesz wrócić do interesującego Cie materiału.

2 komentarze

  1. 28 maja 2021

    […] rzecz związana z poradnikiem Mechanika ogólna, chodzi tutaj oczywiście o poradnik figury płaskie. Bardzo często, gdy prowadzący zajęcia rozdają projekty, to do wyznaczenia jest rdzeń zadanego […]

  2. 28 maja 2021

    […] – moment skręcający   – długość – moment bezwładności przy […]

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *