Obliczenie charakterystyk złożonej figury płaskiej

Przykład rozwiązania figury płaskiej złożonej. Schemat jest dosyć złożony, aby dobrze zrozumieć jak działa podział na figury proste najlepiej zapoznawać się z tym przykładem poprzez samodzielne rozwiązywanie go. Przykład zawiera wszystkie potrzebne wzory, a obliczenia zostały przeprowadzone zgodnie z przedstawionym na stronie algorytmem.

Akapit pierwszy zawiera przedstawiony schemat figury płaskiej wraz z wymiarami oraz przyjętym schematem współrzędnych. Przedstawiony jest również podział na figury proste. Akapit drugi zawiera pozostałe figury płaskie wraz z ich charakterystykami. Następnie przedstawione jest obliczenie środka ciężkości całej figury. W akapicie trzecim przechodzimy do poważniejszych obliczeń. Zawartość tej części to obliczenie centralnych momentów bezwładności oraz położenie osi głównej centralnej. Wszystkie obliczenia poprzedzone są przedstawieniem potrzebnych wzorów. Akapity czwarty i ostatni zawiera obliczone główne centralne momenty bezwładności oraz sprawdzenie całości obliczeń.  Przed każdymi obliczeniami oczywiście również zostały przedstawione wymagane wzory. Na podstawie punktu 6 możemy stwierdzić, że całość obliczeń została przeprowadzona prawidłowo.  Dla chętnych, którzy chcą mieć jeszcze większą pewność proponuję, aby narysowali sobie sprawdzające koło Mohra.

  1. Podział na figury płaskie

Trójkąt

\begin{array}{l} {A_1} = 6*6*\frac{1}{2} = 18c{m^2}\\ \\ I{x_1} = \frac{{b*{h^3}}}{{36}} = \frac{{6*{6^3}}}{{36}} = 36c{m^4}\\ \\ I{y_1} = \frac{{h*{b^3}}}{{36}} = \frac{{6*{6^3}}}{{36}} = 36c{m^4}\\ \\ I{x_1}{y_1} = – \frac{{{h^2}*{b^2}}}{{72}} = – \frac{{{6^2}*{6^2}}}{{72}} = – 18c{m^4} \end{array}

Prostokąt

\begin{array}{l} {A_2} = 5*3 = 15c{m^2}\\ \\ I{x_2} = \frac{{h*{b^3}}}{{12}} = \frac{{5*{3^3}}}{{12}} = 11,25c{m^4}\\ \\ I{y_2} = \frac{{b*{h^3}}}{{12}} = \frac{{3*{5^3}}}{{12}} = 31,25c{m^4}\\ \\ I{x_2}{y_2} = 0c{m^4} \end{array}

Ćwiartka koła

\begin{array}{l} \alpha = 90^\circ \\ \\ {A_3} = \frac{{\pi *\alpha }}{{360}}*{R^2} = \frac{{\pi *90}}{{360}}*{5^2} = 19,63c{m^2}\\ \\ I{x_3} \approx 0,0549*{R^4} \approx 34,3125c{m^4}\\ \\ I{x_3}{y_3} \approx 0,0165*{R^4} \approx – 0,4125c{m^4} \end{array}

2. Wyznaczenie środka ciężkości figury złożonej

\begin{array}{l} Sx = \frac{{({A_1}*{x_1}) \pm ({A_i}*{x_i})}}{{{A_1} \pm {A_i}}} = \frac{{(18*7) + (15*2,5) + (19,63*2,122)}}{{18 + 15 + 19,63}} = 3,898cm\\ \\ Sy = \frac{{({A_1}*{y_1}) \pm ({A_i}*{y_i})}}{{{A_1} \pm {A_i}}} = \frac{{(18*4) + (15*4,5) + (19,63*8,12)}}{{18 + 15 + 19,63}} = 5,68cm \end{array}

2.1. Wyznaczenie odległości środków ciężkości figur prostych od środka ciężkości całej figury

\begin{array}{l} {S_1} = ({a_1};{b_1})\\ {a_1} = {x_1} – {x_5} = 7 – 3,898 = 3,102\\ {b_1} = 4 – 5,68 = – 1,68\\ {S_1} = ({a_1} = 3,102cm;{b_1} = – 1,68cm)\\ \\ {S_2} = ({a_2};{b_2})\\ {a_2} = 2,5 – 3,898 = – 1,398\\ {b_2} = 4,5 – 5,68 = – 1,18\\ {S_2} = ({a_2} = – 1,398cm;{b_2} = – 1,18cm)\\ \\ {S_3} = ({a_3};{b_3})\\ {a_3} = 2,122 – 3,898 = – 1,776\\ {b_3} = 8,122 – 5,68 = 2,442\\ {S_3} = ({a_3} = – 1,776cm;{b_3} = 2,442cm) \end{array}

3. Obliczenie centralnych momentów bezwładności

\begin{array}{l} I{x_0} = \sum {(I{x_i} + {A_i}*b_i^2)} \\ I{x_0} = (36 + 18*{{( – 1,68)}^2}) + (11,25 + 15*{( – 1,18)^2}) + (34,3125 + 19,63*{(2,442)^2})\\ I{x_0} = 86,8032 + 32,136 + 151,373 = 270,31c{m^4}\\ \\ I{y_0} = \sum {(I{y_i} + {A_i}*a_i^2)}\\ I{y_0} =(36 + 18*{{(3,102)}^2}) + (31,25 + 15*{( – 1,398)^2}) + (34,3125 + 19,63*{( – 1,776)^2})\\ I{y_0} = 209,203 + 60,566 + 96,229 = 365,997c{m^4}\\ \\ D{x_0}{y_0} = \sum {(D{x_i}{y_1} + {A_i}*{a_i}*{b_i})} \\ D{x_0}{y_0} = – 18 + 18*3,102*( – 1,68) + (0 + 15*( – 1,398)*( – 1,18) + ( – 0,4125) + 19,63*( – 1,776) *(2,442)\\ D{x_0}{y_0} = – 111,805 + 24,745 – 85,548 = – 172,608c{m^4} \end{array}

4. Położenie osi głównych centralnych.

\begin{array}{l} tg2{\alpha _{gl}} = – \frac{{2*D{x_0}{y_0}}}{{I{x_0} – I{y_0}}}\\ \\ tg2{\alpha _{gl}} = – \frac{{2*( – 172,608)}}{{270,31 – 365,997}}\\ \\ tg2{\alpha _{gl}} = – \frac{{ – 345,216}}{{ – 95,687}}\\ \\ tg2{\alpha _{gl}} = – 3,608/tg\\ \\ 2{\alpha _{gl}} = – 74,509^\circ /:2\\ \\ {\alpha _{gl}} = – 37,254^\circ \end{array}

5. Obliczenie głównych centralnych momentów bezwładności

\begin{array}{l} {I_I} = \frac{{I{x_0} + I{y_0}}}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{{I{x_0} – I{y_0}}}{2}} \right)}^2} + {{(D{x_0}{y_0})}^2}} \\ \\ {I_I} = \frac{{270,31 + 365,997}}{2} + \sqrt {{{\left( {\frac{{270,31 – 365,997}}{2}} \right)}^2} + {{( – 172,608)}^2}} \\ {I_I} = 318,154 + 179,116\\ {I_I} = 497,27c{m^4}\\ \\ {I_{II}} = \frac{{I{x_0} + I{y_0}}}{2} – \sqrt {{{\left( {\frac{{I{x_0} – I{y_0}}}{2}} \right)}^2} + {{(D{x_0}{y_0})}^2}} \\ {I_{II}} = 318,154 – 179,116\\ {I_{II}} = 139,038c{m^4} \end{array}

 6. Sprawdzenie obliczeń

\begin{array}{l} I{x_0}*I{y_0} – D{x_0}y_0^2 = {I_I}*{I_{II}}\\ 270,31*365,997 – {( – 172,608)^2} = 497,27*139,038\\ 69139c{m^4} = 69139c{m^4}\\ \\ I{x_0} + I{y_0} = {I_I} + {I_{II}}\\ 270,31 + 365,997 = 497,27 + 139,038\\ 636,3c{m^4} = 636,3c{m^4} \end{array}

Warunki zostały spełnione.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *