Belka wieloprzegubowa z siłą pod kątem

Rozwiązany przykład belki wieloprzegubowej, który mogą Państwo napotkać na początku nauki na kierunkach technicznych. Świetny przykład do przeanalizowania lub samodzielnego rozwiązania, a następnie sprawdzenie poprawności własnych obliczeń. Projekt zawiera mnóstwo przyłożonych sił zewnętrznych, wiele przekrojów do obliczenia i pokazane rozłożenie sił pod kątem na składowe.

Opis zawartości projektu.

Projekt zawiera w pierwszym punkcie schemat statyczny i rozłożenie siły pod kątem na składowe. Punkt drugi zawiera obliczone reakcje podporowe i sprawdzenie ich poprawności. Punkt trzeci to rozpoczęcie obliczenia sił wewnętrznych. Przedstawiony jest schemat belki z podziałem na tarcze. W ostatnim punkcie narysowane zostały wykresy obliczonych sił wewnętrznych. Siły normalne, tnące i momenty zginające.

 1. Rozłożenie siły P1 na dwie składowe pozioma oraz pionową

\begin{array}{l}
{P_{1y}} = {P_1}*\sin (45) = 1,4142kN\\
{P_{1x}} = {P_1}*\cos (45) = 1,4142kN
\end{array}

 2. Obliczenie reakcji podporowych

W celu obliczenia reakcji podporowych należy rozdzielić belkę w przegubie, a w tym miejscu powstaną dodatkowe siły przegubowe HB i VB.

\begin{array}{l}
\sum {{M_B} = 0} \\
 - {V_A}*4,5 + 10 = 0\\
4,5{V_A} = 10/:4,5\\
{V_A} = 2,222kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - 2,222 - 1,4142 + {V_B} = 0\\
{V_B} = 3,6364kN\\
\\
\\
\sum {x = 0} \\
{H_A} + 1,4142 - {H_B} = 0
\end{array}

W tym przypadku równanie równowagi sił poziomych zawiera dwie niewiadome. Z tego względu musimy zacząć obliczenia z drugiej strony belki i może to, da nam wartość jednej z tych dwoc sił.

\begin{array}{l}
\sum {{M_F} = 0} \\
 + {V_E}*4 - 20*2 = 0\\
4{V_E} = 40/:4\\
{V_E} = 10kN\\
\\
\sum {y = 0} \\
10 - 20 + {R_{Fy}} = 0\\
{R_{Fy}} = 10kN\\
\\
\sum {x = 0} \\
{H_E} - 5,774 = 0\\
{H_E} = 5,774 kN
\end{array}

Teraz w celu uzyskania reszty wartości reakcji podporowej w punkcie F należy przy pomocy zależności trygonometryczncych wyznaczyc wartosć reakcji RF, tej pod kątem, a nastepnie jej skladowej poziomej  RFX.

\begin{array}{l}
{R_{Fy}} = {R_F}*\sin (60)\\
{R_{Fx}} = {R_F}*\cos (60)\\
\\
10 = {R_F}*\sin (60)/\sin (60)\\
{R_F} = 11,547kN\\
\\
{R_{Fx}} = 11,547*\cos 60\\
{R_{Fx}} = 5,774kN
\end{array}

Przechodzimy do dalszego obliczania reakcji podporowych, ale nie możemy zapomnieć, że w poprzednich obliczeniach pozostała nam jedna reakcja HB, teraz przy użyciu składowej reakcji podporowej możemy obliczyć jej wartość.

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
{H_B} - 5,774 = 0\\
{H_B} = 5,774kN
\\
\\
\sum {Mc = 0} \\
 - 3,6364*1,5 + 40*4 - {R_D}*6 + 10*8 = 0\\
 - 6{R_D} - 5,4546 + 160 + 80 = 0\\
 - 6{R_D} =  - 234,5454/:( - 6)\\
{R_D} = 39,091kN
\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - 3,6364 + {R_C} - 40 + 39,091 - 10 = 0\\
{R_C} = 14,546kN

\end{array}

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
{H_A} + 1,4142 - 5,774 = 0\\
{H_A} = 4,359kN\\
\end{array}

Na tym etapie znamy wartość wszystkich reakcji podorowych, ale nie mamy pewności czy są one prawidłowo obliczone, z pomocą przychodzą nam równania równowagi, ktore posłużą nam do sprawdzenia poprawności obliczeń. 

 2.1. Sprawdzenie obliczonych reakcji podporowych

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
4,359 + 1,4142 - 5,774 = 0\\
 0 = 0\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - 2,222 - 1,4142 + 14,546 + 39,091 - 60 + 10 = 0 \\
0=0\\
\\
\sum {{M_A} = 0} \\
10 + 1,4142*4,5 - 14,546*6 - 39,091*12 + 60*12 - 10*18 = 0\\
0=0
\end{array}

Wszystkie równania są w równowadze, co udowadnia poprawność przeprowadzonych obliczeń. Możemy przejść do kolejnego punktu jakim jest obliczenie sił wewnętrznych.

 3. Obliczenie sił wewnętrznych

Schemat belki z widocznym podziałem na przekroje 1-5

Tarcza 1-1, zawierająca się w przedziale 0,00m < x < 4,50m

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
N(x) + 4,359 = 0\\
N(x) =  - 4,359kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - T(x) - 2,222 = 0\\
T(x) =  - 2,222kN\\
\\
\\
\sum {M = 0} \\
 - M(x) + 10 - 2,222x = 0\\
M(x) = 10 - 2,222x\\
\\
x = 0\\
M(0) = 10kNm\\
\\
x = 4,5\\
M(4,5) = 10 - 2,222*4,5\\
M(4,5) = 0kNm
\end{array}

Tarcza 2-2, zawierająca się w przedziale 0,00m < x < 1,50m

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
N(x) + 5,774 = 0\\
N(x) =  - 5,774kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - T(x) - 3,6364 = 0\\
T(x) =  - 3,6364kN\\
\\
\\
\sum {M = 0} \\
 - M(x) - 3,6364*x = 0\\
M(x) =  - 3,6364*x\\
\\
x = 0\\
M(0) = 0,00kN\\
\\
x = 1,5\\
M(1,5) =  - 5,455kNm
\end{array}

Tarcza 3-3, zawierająca się w przedziale 1,50m < x < 7,50m

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
N(x) + 5,774 = 0\\
N(x) =  - 5,774kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - T(x) - 3,6364 + 14,546 - 5(x - 1,5) = 0\\
T(x) =  - 3,6364 + 14,546 - 5(x - 1,5)\\
\\
\\
\sum {M = 0} \\
 - M(x) - 3,6364x + 14,546(x - 1,5) - 5(x - 1,5)*\frac{1}{2}*(x - 1,5) = 0\\
M(x) =  - 3,6364x + 14,546(x - 1,5) - 5(x - 1,5)*\frac{1}{2}*(x - 1,5)\\
\\
x = 1,5\\
M(1,5) =  - 3,6364*1,5 + 14,546*0 - 5*0 =  - 5,455kNm\\
M(1,5) =  - 5,455kNm\\
\\
x = 7,5\\
M(7,5) =  - 3,6364*7,5 + 14,546*6 - 5*\frac{1}{2}*6\\
M(7,5) =  - 27,273 + 87,276 - 90\\
M(7,5) =  - 30kNm
\end{array}
\begin{array}{l} x = 1,5\\ T(1,5) = – 3,6364 + 14,546 – 5*0 \\ T(1,5) = 10,909kN\\ \\ \\ x = 7,5\\ T(7,5) = – 3,6364 + 14,546 – 5*6 \\ T(7,5) = – 19,091kN \end{array}

Tarcza 4-4, zawierająca się w przedziale 0,00m < x < 2,00m

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
N(x) - 5,774 = 0\\
N(x) =  - 5,774kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
T(x) - 5x - 10 = 0\\
T(x) = 5x + 10\\
\\
x = 0\\
T(0) = 10,00kN\\
\\
x = 2\\
T(2) = 20,00kN\\
\\
\\
\sum {M = 0} \\
M(x) + 5x*\frac{1}{2}x + 10x = 0\\
M(x) =  - 5*x*\frac{1}{2}*x*10x\\
\\
x = 0\\
M(0) = 0,00kNm\\
\\
x = 2\\
M(2) =  - 30,00kNm
\end{array}

Tarcza 5-5, zawierająca się w przedziale 0,00m < x < 4,00m

\begin{array}{l}
\sum {x = 0} \\
N(x) + 5,774 = 0\\
N(x) =  - 5,774kN\\
\\
\\
\sum {y = 0} \\
 - T(x) + 10 - 5x = 0\\
T(x) = 10 - 5x\\
\\
x = 0\\
T(0) = 10,00kN\\
\\
x = 4\\
T(4) =  - 10,00kN
\\
\\
\sum {M = 0} \\
 - M(x) + 10x - 5x*\frac{1}{2}x = 0\\
M(x) = 10x - 5x*\frac{1}{2}x\\
\\
x = 0\\
M(0) = 0,00kNm\\
\\
x = 4\\
M(4) = 10*4 - 5*4*\frac{1}{2}*4\\
M(4) = 0,00kNm
\end{array}

Po przebrnęciu przez gąszcz obliczeń pozostaje nam jedynie zebrać wszystkie wartości i na ich podstawie graficznie przedstawić rozkład sił wewnętrznych, powstałych od sił zewnętrznych widocznych na schemacie statycznym.

 4. Wykres sił wewnętrznych

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *