Rama 5

Ciekawa rama z wieloma elementami do policzenia. Reakcje podporowe są już obliczone, natomiast wszystkie siły wewnętrzne w poszczególnych prętach zostały obliczone, a ich przebieg został przedstawiony krok po kroku. Jest to również bardzo dobry przykład do samodzielnego rozwiązania i sprawdzenia poprawności obliczeń z tym przykładem.

Poniżej przedstawiono schemat statyczny obliczanego przykładu ramy numer 5, widoczne są na nim wszystkie siły zewnętrzne(obciążenia), wymiary oraz obliczone reakcje podporowe.

Na stronie pierwszej znajduje się ponownie schemat statyczny oraz rozpoczęcie obliczeń sił wewnętrznych. Przedstawione i obliczone są tutaj przekroje 1-1 i 2-2.

Tutaj obliczenia są kontynuowane. Rozrysowane oraz obliczone zostały przekroje oznaczone cyframi 3-3, 4-4 i 5-5.[pms-restrict]

Strona trzecia zawiera przekroje 6-6 oraz 7-7. Z czego przekrój 6-6 jest bardziej wymagającym elementem do policzenia, ponieważ odcięta część zawiera w sobie kilka poprzednich przekrojów, co tworzy nam bardzo rozbudowaną funkcję, która pozwoli nam obliczyć wartości sił w punktach charakterystycznych.

Strona czwarta zawiera bardzo ciekawy przypadek obliczenia przekroju z prętem pod kątem.

Strona piąta zawiera ostatnie obliczone przekroje. Obliczone są tutaj przekroje o numerach 10-10 oraz 11-11. Na kolejnej stronie rozrysowane są już wykresy sił wewnętrznych.

Na ostatniej stronie znajdują się obliczone wykresy sił wewnętrznych. Na jednej stronie zostały zawarte trzy siły wewnętrzne, t.j. normalna, tnąca i moment zginający.

[/pms-restrict]

Rama 4 – reakcje podporowe

Czwarty przykład obliczenia ramy. W tym projekcie obliczone zostały jedynie reakcje podporowe, ale projekt ze względu na swój ciekawy kształt statyczny dostarcza ciekawego materiału do ćwiczeń.
Ramę należy traktować jedynie jako przykładowe obliczenia, jak można obliczyć reakcje w podobnym, ale statycznie wyznaczalnym schemacie, ponieważ rama ta powinna być obliczona jako schemat statycznie niewyznaczalny. Proszę zajrzeć do odpowiedniego działu.

Schemat obliczanej ramy z widocznymi, rozłożonymi siłami pod kątem oraz siłami wypadkowymi.

Sprawdzenie statycznej wyznaczalności

T – liczba tarcz = 4
n – liczba węzłów = 11

N = 3*T
11 = 3 * 4
11 = 12
Rama jest statycznie niewyznaczalna oraz geometrycznie zmienna!
Ramę należy traktować jedynie jako przykładowe obliczenia, jak można obliczyć reakcje w podobnym ale statycznie wyznaczalnym schemacie, ponieważ rama ta powinna być obliczona jako schemat statycznie niewyznaczalny. Proszę zajrzeć do odpowiedniego działu.

Zaczynamy obliczenia reakcji podporowych.[pms-restrict]

∑Y = 0
VK  – FY = 0
VK = 31,058N

∑Mk = 0
Rc*2 – Fx*1 = 0
2RC – 115,911 = 0
2RC = 115,911/ : 2
RC = 57,956 N

∑X = 0
Hk + Rc – Fx = 0
Hk + 57,956 – 115,911 = 0
Hk = 57,956 N

 

∑MK = 0
RB = 0

∑X = 0
HE – HK = 0
HE – 57,956N
HE = 57,956N

∑Y = 0
VE – VK = 0
VE – 31,058 = 0
VE = 31,058N

 

 

∑X = 0
HH – HE – P = 0
HH – 57,956 – 50 = 0
HH = 107,956 N

∑Y = 0
VH – Q – Q1 + VE = 0
VH – 80 – 40 – 31,058 = 0
VH = 151,058N

∑MH = 0 – dla całej ramy
-MH + Q*0,5 + Q1 *  + P*   – M1 – M + Fy*4 – Fx*1 + RC*2 = 0
-MH + 80*0,5 + 40 *  + 50*   – 20 – 150 + 31,058*4 – 115,911*1 + 57,956*2 = 0
-MH + 40 + 53,333 + 33,333 – 20 – 150 + 124,232 – 115,911 + 115,911 = 0
-MH + 80,898 = 0
MH = 80,898N

 

 

 

Sprawdzenie poprawności obliczeń.

∑X = 0
HH – P + RC – Fx = 0
107,956 – 50 + 57,956 – 115,911 = 0
0,001≈0 = 0 – zgadza się!
Brak dokładnego wyniku, wynika z zaokrągleń podczas wcześniejszych obliczeń.

∑Y = 0
VH – Q – Q1 – Fy = 0
151,058 – 80 – 40 – 31,058 = 0
0 = 0 – zgadza się!

∑MH = 0
-MH + Q*0,5 + Q1 *  + P*   – M1 – M + Fy*4 – Fx*1 + RC*2 = 0
-80,898 + 80*0,5 + 40 *  + 50*   – 20 – 150 + 31,058*4 – 115,911*1 + 57,956*2 = 0
-80,898 + 40 + 53,333 + 33,333 – 20 – 150 + 124,232 – 115,911 + 115,911 = 0
0 = 0 –zgadza się!

 

Schemat ramy z widocznymi obliczonymi reakcjami.

[/pms-restrict]

Belka wieloprzęsłowa 3

Przykładowe obliczenie reakcji podporowych w belce złożonej z przęseł. Przykład zawiera obliczenie belki krok po kroku, wraz z niezbędnymi rysunkami oraz wyjaśnieniami.

Obliczenie reakcji podporowych w belce wieloprzęsłowej.

Schemat belki.

Zaczynamy obliczenia reakcji podporowych.

∑Mc = 0[pms-restrict]
-RD*6 + Q1*4 = 0
-Rd*6 + 15*4 = 0
6RD = 60/:6
RD = 10kN

∑Y = 0
Rc+ RD – 15 = 0
RC + 10 – 15 = 0
Rc – 5 = 0
Rc = 5kN

∑MF = 0
-10*9 – 9*7,5 + RE*6 – 18*3 = 0
-90 – 67,5 + 6RE – 54 = 0
6RE = 211,5/ :6
RE = 35,25kN

∑Y = 0
-10-9-18+35,25 + RF = 0
RF – 1,75 = 0
RF = 1,75 kN

∑MA = 0
5*9 – 10 – Rb*6 + 15*3 = 0
45 – 10 – 6RB + 45 = 0
-6Rb + 80 = 0
6RB = 80/ :6
RB = 13,333kN

∑Y = 0
VA – 15 + 13,333 – 5 = 0
VA – 6,667 = 0
VA = 6,667kN[/pms-restrict]

Rama 3 – tylko reakcje podporowe

Ciekawy przykład obliczenia reakcji podporowych w złożonej ramie. Przykład zawiera wiele podziałów, obliczeń i skomplikowany schemat statyczny.
Ramę należy traktować jedynie jako przykładowe obliczenia, jak można obliczyć reakcje w podobnym ale statycznie wyznaczalnym schemacie, ponieważ rama ta powinna być obliczona jako schemat statycznie niewyznaczalny. Proszę zajrzeć do odpowiedniego działu.

Schemat obliczanej ramy wraz z widocznymi siłami wypadkowymi oraz siłami rozłożonymi.

Zaczynamy obliczanie reakcji podporowych.

∑X = 0
HE – 145,009 – 36 = 0
HE = 181,009N

∑ME=0
RC*0,6 + Fy*1,2 – Fx* 1,2 – Q*0,4 = 0
0,6RC + 67,619*1,2 – 145,009*1,2 – 36*0,4 = 0
0,6RC = 107,268 /: 0,6
RC = 178,781N

∑Y = 0
VE – RC – Fy = 0
VE – 178,78 – 67,619 = 0
VE = 246,4 N

 

∑X = 0
HK – 181,009 N = 0
HK = 181,009N

 

∑Y = 0
VK – 120 – 246,4 = 0
Vk = 366,4N

 

Teraz aby obliczyć kolejne reakcje musimy wykonać rzuty momentów do punktu B uwzględniając całą ramę oraz rzut momentów do punktu K tylko dla wyciętego kawałka, następnie ułożymy układ równań, z którego wyliczymy reakcje VA oraz HA.[pms-restrict]

 

Najpierw rzut momentów do punktu B uwzględniając całą belkę, oto równanie:
∑MB=0
VA*3,2 – HA*4,8 – P*3,2 + M1 + M – Q*0,6 + RC*1 – Q1*2 + Fy*1,6 – Fx*2,8 = 0
VA*3,2 – HA*4,8 – 70*3,2 + 40 + 150 – 120*0,6 + 178,781*1 – 36*2 + 67,619*1,6 – 145,009*2,8 = 0
3,2VA – 4,8HA – 224 + 40 + 150 – 72 + 178,781 – 72 + 108,19 – 406,025 = 0

Teraz rzut momentów dla wyciętego następującego fragmentu.

∑MK = 0
VA*1,6 – HA*3,2 + 40 = 0
1,6VA = 3,2HA – 40/ :1,6
VA = 2HA – 25

Teraz kolejno rozwiązujemy układ równań.
3,2(2HA – 25) – 4,8HA – 224 + 40 + 150 – 72 + 178,781 – 72 + 108,19 – 406,025 = 0
6,4HA – 80 – 4,8HA – 224 + 40 + 150 – 72 + 178,781 – 72 + 108,19 – 406,025 = 0
1,6HA – 377,054 = 0
1,6HA = 377,054 /:1,6
HA = 235,659N

VA = 235,659*2 – 25
VA = 446,318N

 

Teraz mając już te reakcje nie stoi nam nic na przeszkodzie aby obliczyć resztę reakcji, a dokładnie VB i HB.

 

∑X = 0
HK – 235,659 = 0
HK = 235,659N

∑Y = 0
-VK + 446,318 = 0
VK = 446,318N

 

 

∑X = 0
HB – 416,668 = 0
HB = 416,668N

 

∑Y = 0
-VB + 79,918 – 70 = 0
VB = 9,918N

Mamy policzone już wszystkie reakcje, teraz wykonując rzut na oś Y oraz X sprawdźmy obliczenia.

∑X = 0
-HA + HB – Q1 – Fx = 0
-235,659 + 416,668 – 36 – 145,009 = 0
0 = 0 – zgadza się!

∑Y = 0
VA – P – Q – VB – RC –Fy = 0
446,318 – 70 – 120 – 9,918 – 178,781 – 67,619 = 0
0 = 0 – zgadza się!

 

 

Widoczne schemat ramy z obliczonymi reakcjami.

[/pms-restrict]

Łuk 2

Rozwiązany projekt zawierający obliczenia sił wewnętrznych w konstrukcji o schemacie łukowym. Przykład zawiera obszerny zakres obliczeń, które zostały podparte szkicami oraz wyprowadzonymi funkcjami do obliczenia sił wewnętrznych w poszczególnych miejscach.

Poniżej widoczny jest schemat statyczny obliczanego łuku. Widoczne są wszystkie potrzebne dane, po przejściu do właściwego obliczania projektu, przedstawione jest również rozłożenie siły pod kątem na składowe.

Rozpoczęcie obliczania projektu. Strona pierwsza.

Strona druga.

Strona trzecia.[pms-restrict]

Strona czwarta.

[/pms-restrict]

Rama 2

Drugi przykład obliczenia sił wewnętrznych w ramach. Przykład zawiera 5 przekrojów, rama jest utwierdzona i obciążano trzema rodzajami sił.

Strona pierwsza projektu zawiera oczywiście schemat statyczny wraz ze wszystkimi niezbędnymi danymi do obliczeń. Obliczone są tutaj reakcje podporowe oraz jest rozpoczęte obliczenie sił wewnętrznych. Obliczany jest przekrój pierwszy.

Na stronie drugiej znajdują się pozostałe trzy obliczone przekroje, co daje nam całość obliczeń. Brakuje jedyne wykresów sił wewnętrznych, które znajdują się na stronie trzeciej.[pms-restrict]

Strona trzecia zawiera wykresy sił wewnętrznych. Przedstawiają one wykres sił normalnych, tnących i momentów zginających.

[/pms-restrict]

Schemat belki wieloprzęsłowej

Belka wieloprzęsłowa 1

Przykład obliczenia reakcji podporowych w belce złożonej wieloprzęsłowej wraz ze sprawdzeniem analitycznym poprawności obliczonych reakcji.

Belka wieloprzęsłowa.
Obliczenie jedynie reakcji podporowych. Brak obliczonych sił wewnętrznych.

Belka złożona jest z 3 tarcz, dlatego nie ma możliwości obliczenia jej w całości, gdyż będzie za dużo niewiadomych.
Każdą tarczę obliczamy osobno zaczynając od zewnętrznych, a po obliczeniu sił w przegubach mamy możliwość obliczenia reakcji w podporze C oraz D.
Dla ułatwienia siły rozłożone zamieniliśmy na siły skupione, a siły pod katem rozłożyliśmy na siłę Py = 5kN i Px = 8,66kN.

Schemat belki z widocznymi obciążeniami.

 Schemat belki wieloprzęsłowej

Rozpoczynamy obliczenie reakcji podporowych.

∑MB = 0
-10*8 + Ra*5 – 20 = 0
5RA – 80 – 20 = 0
5RA = 100 /:5
RA = 20kN

∑Y = 0
-10 + RA – VB = 0
-10 + 20 – VB = 0
VB = 10kN

 

∑ME = 0
-RF*6 + Q*3 = 0
-6RF + 24*3 = 0
-6RF = -72/ :-6
RF = 12kN

∑Y = 0
-5 + VE – 24 + 12 = 0
VE – 17 = 0
VE = 17 kN

∑X = 0
HE – 8,66 = 0
HE = 8,66 kN

∑MD = 0
10*4 – VC*3 – 16*1,33 + 8*1 + 17*2 = 0
-3VC + 40 – 21,28 + 8 + 34 = 0
-3VC + 60,72 = 0
VC = 20,24 kN

∑Y = 0
10 – 20,24 – 16 – 8 – 17 + RD = 0
RD – 51,24 = 0
RD = 51,24kN

∑X = 0
HC – 8,66 = 0
HC = 8,66kN

Sprawdzenie poprawności obliczonych reakcji.

Aby sprawdzić poprawność obliczeń wykonamy sprawdzenie rzutując siły na oś X, Y oraz wykonamy sumę momentów sił do pkt A.[pms-restrict]

∑X  = 0
HC – Px = 0
8,66 – 8,66 = 0
0 = 0 – warunek spełniony!

∑Y = 0
-5 – 10 + 20 – 20,24 – 16 + 51,24 – 8 – 24 + 12 = 0
0 =0 – warunek jest spełniony!

∑MA = 0
-10*3 – 20 +20,24*6 + 16*7,67 – 51,24*9 + 8*10 + 5*11 + 24*14 – 12*17 = 0
-30 – 20 + 121,44 + 122,72 – 461,16 + 80 + 55 + 336 – 204 = 0
0 = 0 – warunek jest spełniony!

Wszystkie trzy warunki są spełnione, z czego warunek nr 3 jest najważniejszy i również jest spełniony.
Mamy pewność poprawności dokonanych obliczeń.

Schemat belki z widocznymi obliczonymi reakcjami.

[/pms-restrict]

Łuk 1

Przykład rozwiązanego projektu o schemacie łukowym. Projekt zawiera wszystkie obliczenia podparte wymaganymi schematami oraz wyprowadzonymi funkcjami sił wewnętrznych. Dodatkowo bardzo dobrze pokazane jest użycie wzorów transformacyjnych, które upraszczają prace z funkcjami trygonometrycznymi.

Strona pierwsza przedstawia schemat statyczny obliczanego łuku, obciążony jest on siłami zewnętrznymi. Wszystkie potrzebne wartości oraz wymiary są przedstawione na schemacie.

Poniżej zawarty jest kompletny projekt, ponownie przedstawiony jest jego schemat, przygotowanie do obliczeń oraz same obliczenia wraz z wymaganymi szkicami.

Strona pierwsza.

Strona druga.[pms-restrict]

Strona trzecia.

Strona czwarta.

[/pms-restrict]