Rama 10

Prosta rama przegubowa. Sześć tarcz, w których należy obliczyć siły wewnętrzne. Przed tym należy oczywiście również obliczyć reakcje podporowe w podporach oraz przegubach. Zapraszam do samodzielnego rozwiązania projektu, a następnie sprawdzenie Państwa wyników z poniższym projektem.

Strona pierwsza – widok schematu statycznego. Obliczenie reakcji podporowych.

Strona druga – obliczenie pozostałych, wymaganych reakcji i sprawdzenie ich poprawności.[pms-restrict]

Strona trzecia – rozpoczęcie obliczania sił wewnętrznych w ramie.

Strona czwarta – obliczenie przekrojów 3-3, 4-4 oraz 5-5.

Strona piąta – obliczenie ostatniego przekroju 6-6 i sprawdzenie poprawności obliczeń sił wewnętrznych w wybranym węźle.

Strona szósta – wykresy sił wewnętrznych. Siły normalne, tnące oraz momenty zginające.

[/pms-restrict]

Rama 9

Projekt ramy statycznie wyznaczalnej, w której zostały obliczone reakcje podporowe oraz siły wewnętrzne w poszczególnych prętach. Podpierają ją dwie podpory przegubowe i rozdziela ją na dwie części przegub w punkcie B. Obciążona jest trzema różnymi rodzajami sił zewnętrznych. Wszystko widać na schemacie. Zapraszam do zapoznania się z poniższym przykładem.

Strona pierwsza – schemat statyczny obliczanej ramy oraz obliczenie reakcji podporowych.

Strona druga – obliczenie ostatniej reakcji Ha. Rozpoczęcie obliczania sił wewnętrznych.[pms-restrict]

Strona trzecia – obliczanie sił wewnętrznych.

Strona czwarta – obliczenie sił wewnętrznych w ostatnich dwóch przekrojach o oznaczeniu 5-5 i 6-6. Brak narysowanych wykresów sił wewnętrznych.

[/pms-restrict]

Rama 8

Rama przegubowa z prętem ukośny, obciążonym siłą rozłożoną. Podparta podporami przegubowymi nieprzesuwnymi oraz przyłożone są do ramy różne rodzaje obciążenia. Bardzo ciekawym momentem jest obliczanie sił wewnętrznych właśnie w pręcie ukośnym. Szczególnie polecam samodzielnie obliczyć ten moment, a następnie sprawdzić z przykładem. Często zdarza się taki pręt na kolokwiach.

Strona pierwsza – widok schematu statycznego i uproszczenie siły pod kątem, tzn. rozłożenie jej na składowe pionową i poziomą. Na stronie pierwszej rozpoczęte jest również obliczanie reakcji podporowych.

Strona druga – obliczenie ostatnich reakcji podporowych i rozpoczęcie obliczania sił wewnętrznych[pms-restrict]

Strona trzecia – obliczanie sił wewnętrznych w kolejnych przekrojach.

Strona czwarta – kontynuowanie sił wewnętrznych.

Strona piąta – obliczenie ostatniego przekroju 5-5. Narysowanie sił wewnętrznych.

Strona szósta – narysowane wykresy sił wewnętrznych w obliczanej ramie.

[/pms-restrict]

Rama 7

Przykład obliczenia sił wewnętrznych w schemacie ramowym. Projekt składa się z kilku tarcz, w którym trzeba obliczyć siły wewnętrzne. Pręty obciążone są trzema rodzajami sił, a są to moment zginający, siła skupiona oraz rozłożona prostokątna.

Strona pierwsza – przedstawia schemat statyczny obliczanego projektu oraz rozpoczęcie obliczania reakcji podporowych.

Strona druga – zakończenie obliczania reakcji podporowych oraz ich sprawdzenie.[pms-restrict]

Strona trzecia – rozpoczęcie obliczania sił wewnętrznych.  Przedstawienie schematu z podziałem na tarcze, na jakie musimy podzielić belkę w celu obliczenia SW.

Strona czwarta – kontynuowanie obliczania sił wewnętrznych.

Strona piąta – obliczenie ostatniej tarczy. Narysowanie wykresów sił wewnętrznych, siły normalne oraz tnące.

Strona szósta – wykres sił momentów zginających oraz sprawdzenie poprawności obliczenia sił wewnętrznych w węźle „W”.

[/pms-restrict]

Rama 6

Rama statycznie wyznaczalna, złożona z kilku prętów pozwalających na wykonanie wielu obliczeń. Projekt zawiera podstawowe obliczenia prowadzące do narysowania wykresów sił wewnętrzny. Cały schemat podparty jest na podporach przegubowych oraz zawiera jeden przegub łączący pręty w węźle B. Siły zewnętrzne obciążające schemat zostały umieszczone losowo oraz zostały wykorzystane trzy podstawowe rodzaje obciążeń, moment zginający, siła rozłożona prostokątna oraz siła skupiona. Projekt świetnie nadaje się jako przykład do samodzielnego rozwiązania, a następnie sprawdzenia poprawności obliczeń.

Schemat statyczny.

  1. Obliczenie reakcji podporowych.

∑Mb=0
Ha*10 – 5*5 +8 = 0
10Ha = 25 – 8
10Ha = 17 /:10
Ha = 1,7 kN

∑X = 0
-1,7 + 5 – Hb = 0
Hb = 3,3 kN

 

∑X = 0
-Rc + 3,3 + 5,0 = 0
Rc = 8,3kN

∑Mb = 0
40*5 + 5*2,5 + 8,3*5 – Rd*20 = 0
-20Rd + 200 + 12,5 + 41,5 = 0
20Rd = 254 /:20
Rd = 12,7kN

∑Y = 0
Vb – 40 + 12,7 = 0
Vb = 27,3 kN

∑Y = 0
Va – 27,3 = 0
Va = 27,3kN

Schemat ramy z widocznymi obliczonymi reakcjami oraz podziałem na tarcze.[pms-restrict]

  1. Sprawdzenie poprawności reakcji podporowych

∑X:
-1,7 + 5 + 5 -8,3 = 0
0 = 0

∑Y:
27,3 – 40 + 12,7 = 0
0 = 0

∑M:
27,3*10 + 1,7*10 – 5*5 + 8 – 40*5 + 5*2,5 + 8,3*5 – 12,7*10 = 0
273 + 17 – 25 + 8 – 200 + 12,5 + 41,5 – 127 = 0
0 = 0

 

 

  1. Obliczenie sił wewnętrznych

Tarcza 1    0 < x < 5

∑X = 0
T(x) – 1,7 = 0
T(x) = 1,7 kN

∑Y = 0
N(x) + 27,3 = 0
N(x) = 27,3 kN

∑M = 0
-M(x) + 1,7*x = 0
M(x) = 1,7*x
x = 0
M(0) = 0 kNm
x = 5
M(5) = 1,7*5 = 8,5kNm

 

 

Tarcza 2  0 < x < 5

∑X = 0
-T(x) – 3,3 = 0
T(x) = -3,3kN

∑Y=0

-N(x) – 27,3 = 0
N(x) = -27,3kN

∑M = 0
M(x) – 3,3*x + 8 = 0
M(x) = 3,3*x – 8
x = 0
M(0) = -8kNm
x = 5
M(5) = 3,3 *5 – 8
M(5) = 8,5 kNm

 

 

Tarcza 3   0 < x < 10

∑X = 0
N(x) = – 3,3kN

∑Y = 0
-T(x) + 27,3 – 4*x = 0
T(x) = 27,3 – 4x
x = 0
T(0) = 27,3 kN
x = 10
M(10) = -12,7kN

∑M = 0
-M(x) + 27,3*x – 4*x*0,5*x = 0
M(x) = 27,3*x – 2*x2
x = 0
M(x) = 0kNm
x = 10
M(10) = 73kNm

 

 

Tarcza 4  0 < x < 2,5

∑X = 0
-T(x) + 5 = 0
T(x) = 5kN

∑Y = 0
N(x) = 0kN

∑M = 0
M(x) + 5*x = 0
M(x) = -5*x
x = 0
M(0) = 0kNm
x = 2,5
M(2,5) = -12,5kNm

 

 

Tarcza 5  0 < x 5

∑X = 0
T(x) – 8,3 = 0
T(x) = 8,3kN

∑Y = 0
N(x) + 12,7kN = 0
N(x) = – 12,7kN

∑M = 0
M(x) + 8,3*x – 127 = 0
M(x) = -8,3*x + 127
x = 0
M(0) = 127 kNm
x = 5
M(5) = 85,5kNm

 

 

Tarcza 6    0 < x < 10

∑X = 0
N(x) = 0kN

∑Y = 0
T(x) + 12,7 = 0
T(x) = – 12,7kN

∑M = 0
M(x)-12,7*x = 0
M(x) = 12,7*x
x=0
M(0) = 0kNm
x=10
M(10) = 127kNm

 

  1. Sprawdzenie sił wewnętrznych w węźle W

∑X = 0
-3,3 – 5 + 8,3 = 0
0 = 0

∑Y = 0
12,7 – 12,7 = 0
0 = 0

∑M = 0
73 + 12,5 – 85,5 = 0
0 = 0

  1. Wykresy sił wewnętrznych5.1. Siły normalne

    5.2. Siły tnące

    5.3 Momenty zginające

[/pms-restrict]

Rama 5

Ciekawa rama z wieloma elementami do policzenia. Reakcje podporowe są już obliczone, natomiast wszystkie siły wewnętrzne w poszczególnych prętach zostały obliczone, a ich przebieg został przedstawiony krok po kroku. Jest to również bardzo dobry przykład do samodzielnego rozwiązania i sprawdzenia poprawności obliczeń z tym przykładem.

Poniżej przedstawiono schemat statyczny obliczanego przykładu ramy numer 5, widoczne są na nim wszystkie siły zewnętrzne(obciążenia), wymiary oraz obliczone reakcje podporowe.

Na stronie pierwszej znajduje się ponownie schemat statyczny oraz rozpoczęcie obliczeń sił wewnętrznych. Przedstawione i obliczone są tutaj przekroje 1-1 i 2-2.

Tutaj obliczenia są kontynuowane. Rozrysowane oraz obliczone zostały przekroje oznaczone cyframi 3-3, 4-4 i 5-5.[pms-restrict]

Strona trzecia zawiera przekroje 6-6 oraz 7-7. Z czego przekrój 6-6 jest bardziej wymagającym elementem do policzenia, ponieważ odcięta część zawiera w sobie kilka poprzednich przekrojów, co tworzy nam bardzo rozbudowaną funkcję, która pozwoli nam obliczyć wartości sił w punktach charakterystycznych.

Strona czwarta zawiera bardzo ciekawy przypadek obliczenia przekroju z prętem pod kątem.

Strona piąta zawiera ostatnie obliczone przekroje. Obliczone są tutaj przekroje o numerach 10-10 oraz 11-11. Na kolejnej stronie rozrysowane są już wykresy sił wewnętrznych.

Na ostatniej stronie znajdują się obliczone wykresy sił wewnętrznych. Na jednej stronie zostały zawarte trzy siły wewnętrzne, t.j. normalna, tnąca i moment zginający.

[/pms-restrict]

Rama 4 – reakcje podporowe

Czwarty przykład obliczenia ramy. W tym projekcie obliczone zostały jedynie reakcje podporowe, ale projekt ze względu na swój ciekawy kształt statyczny dostarcza ciekawego materiału do ćwiczeń.
Ramę należy traktować jedynie jako przykładowe obliczenia, jak można obliczyć reakcje w podobnym, ale statycznie wyznaczalnym schemacie, ponieważ rama ta powinna być obliczona jako schemat statycznie niewyznaczalny. Proszę zajrzeć do odpowiedniego działu.

Schemat obliczanej ramy z widocznymi, rozłożonymi siłami pod kątem oraz siłami wypadkowymi.

Sprawdzenie statycznej wyznaczalności

T – liczba tarcz = 4
n – liczba węzłów = 11

N = 3*T
11 = 3 * 4
11 = 12
Rama jest statycznie niewyznaczalna oraz geometrycznie zmienna!
Ramę należy traktować jedynie jako przykładowe obliczenia, jak można obliczyć reakcje w podobnym ale statycznie wyznaczalnym schemacie, ponieważ rama ta powinna być obliczona jako schemat statycznie niewyznaczalny. Proszę zajrzeć do odpowiedniego działu.

Zaczynamy obliczenia reakcji podporowych.[pms-restrict]

∑Y = 0
VK  – FY = 0
VK = 31,058N

∑Mk = 0
Rc*2 – Fx*1 = 0
2RC – 115,911 = 0
2RC = 115,911/ : 2
RC = 57,956 N

∑X = 0
Hk + Rc – Fx = 0
Hk + 57,956 – 115,911 = 0
Hk = 57,956 N

 

∑MK = 0
RB = 0

∑X = 0
HE – HK = 0
HE – 57,956N
HE = 57,956N

∑Y = 0
VE – VK = 0
VE – 31,058 = 0
VE = 31,058N

 

 

∑X = 0
HH – HE – P = 0
HH – 57,956 – 50 = 0
HH = 107,956 N

∑Y = 0
VH – Q – Q1 + VE = 0
VH – 80 – 40 – 31,058 = 0
VH = 151,058N

∑MH = 0 – dla całej ramy
-MH + Q*0,5 + Q1 *  + P*   – M1 – M + Fy*4 – Fx*1 + RC*2 = 0
-MH + 80*0,5 + 40 *  + 50*   – 20 – 150 + 31,058*4 – 115,911*1 + 57,956*2 = 0
-MH + 40 + 53,333 + 33,333 – 20 – 150 + 124,232 – 115,911 + 115,911 = 0
-MH + 80,898 = 0
MH = 80,898N

 

 

 

Sprawdzenie poprawności obliczeń.

∑X = 0
HH – P + RC – Fx = 0
107,956 – 50 + 57,956 – 115,911 = 0
0,001≈0 = 0 – zgadza się!
Brak dokładnego wyniku, wynika z zaokrągleń podczas wcześniejszych obliczeń.

∑Y = 0
VH – Q – Q1 – Fy = 0
151,058 – 80 – 40 – 31,058 = 0
0 = 0 – zgadza się!

∑MH = 0
-MH + Q*0,5 + Q1 *  + P*   – M1 – M + Fy*4 – Fx*1 + RC*2 = 0
-80,898 + 80*0,5 + 40 *  + 50*   – 20 – 150 + 31,058*4 – 115,911*1 + 57,956*2 = 0
-80,898 + 40 + 53,333 + 33,333 – 20 – 150 + 124,232 – 115,911 + 115,911 = 0
0 = 0 –zgadza się!

 

Schemat ramy z widocznymi obliczonymi reakcjami.

[/pms-restrict]

Rama 3 – tylko reakcje podporowe

Ciekawy przykład obliczenia reakcji podporowych w złożonej ramie. Przykład zawiera wiele podziałów, obliczeń i skomplikowany schemat statyczny.
Ramę należy traktować jedynie jako przykładowe obliczenia, jak można obliczyć reakcje w podobnym ale statycznie wyznaczalnym schemacie, ponieważ rama ta powinna być obliczona jako schemat statycznie niewyznaczalny. Proszę zajrzeć do odpowiedniego działu.

Schemat obliczanej ramy wraz z widocznymi siłami wypadkowymi oraz siłami rozłożonymi.

Zaczynamy obliczanie reakcji podporowych.

∑X = 0
HE – 145,009 – 36 = 0
HE = 181,009N

∑ME=0
RC*0,6 + Fy*1,2 – Fx* 1,2 – Q*0,4 = 0
0,6RC + 67,619*1,2 – 145,009*1,2 – 36*0,4 = 0
0,6RC = 107,268 /: 0,6
RC = 178,781N

∑Y = 0
VE – RC – Fy = 0
VE – 178,78 – 67,619 = 0
VE = 246,4 N

 

∑X = 0
HK – 181,009 N = 0
HK = 181,009N

 

∑Y = 0
VK – 120 – 246,4 = 0
Vk = 366,4N

 

Teraz aby obliczyć kolejne reakcje musimy wykonać rzuty momentów do punktu B uwzględniając całą ramę oraz rzut momentów do punktu K tylko dla wyciętego kawałka, następnie ułożymy układ równań, z którego wyliczymy reakcje VA oraz HA.[pms-restrict]

 

Najpierw rzut momentów do punktu B uwzględniając całą belkę, oto równanie:
∑MB=0
VA*3,2 – HA*4,8 – P*3,2 + M1 + M – Q*0,6 + RC*1 – Q1*2 + Fy*1,6 – Fx*2,8 = 0
VA*3,2 – HA*4,8 – 70*3,2 + 40 + 150 – 120*0,6 + 178,781*1 – 36*2 + 67,619*1,6 – 145,009*2,8 = 0
3,2VA – 4,8HA – 224 + 40 + 150 – 72 + 178,781 – 72 + 108,19 – 406,025 = 0

Teraz rzut momentów dla wyciętego następującego fragmentu.

∑MK = 0
VA*1,6 – HA*3,2 + 40 = 0
1,6VA = 3,2HA – 40/ :1,6
VA = 2HA – 25

Teraz kolejno rozwiązujemy układ równań.
3,2(2HA – 25) – 4,8HA – 224 + 40 + 150 – 72 + 178,781 – 72 + 108,19 – 406,025 = 0
6,4HA – 80 – 4,8HA – 224 + 40 + 150 – 72 + 178,781 – 72 + 108,19 – 406,025 = 0
1,6HA – 377,054 = 0
1,6HA = 377,054 /:1,6
HA = 235,659N

VA = 235,659*2 – 25
VA = 446,318N

 

Teraz mając już te reakcje nie stoi nam nic na przeszkodzie aby obliczyć resztę reakcji, a dokładnie VB i HB.

 

∑X = 0
HK – 235,659 = 0
HK = 235,659N

∑Y = 0
-VK + 446,318 = 0
VK = 446,318N

 

 

∑X = 0
HB – 416,668 = 0
HB = 416,668N

 

∑Y = 0
-VB + 79,918 – 70 = 0
VB = 9,918N

Mamy policzone już wszystkie reakcje, teraz wykonując rzut na oś Y oraz X sprawdźmy obliczenia.

∑X = 0
-HA + HB – Q1 – Fx = 0
-235,659 + 416,668 – 36 – 145,009 = 0
0 = 0 – zgadza się!

∑Y = 0
VA – P – Q – VB – RC –Fy = 0
446,318 – 70 – 120 – 9,918 – 178,781 – 67,619 = 0
0 = 0 – zgadza się!

 

 

Widoczne schemat ramy z obliczonymi reakcjami.

[/pms-restrict]

Rama 2

Drugi przykład obliczenia sił wewnętrznych w ramach. Przykład zawiera 5 przekrojów, rama jest utwierdzona i obciążano trzema rodzajami sił.

Strona pierwsza projektu zawiera oczywiście schemat statyczny wraz ze wszystkimi niezbędnymi danymi do obliczeń. Obliczone są tutaj reakcje podporowe oraz jest rozpoczęte obliczenie sił wewnętrznych. Obliczany jest przekrój pierwszy.

Na stronie drugiej znajdują się pozostałe trzy obliczone przekroje, co daje nam całość obliczeń. Brakuje jedyne wykresów sił wewnętrznych, które znajdują się na stronie trzeciej.[pms-restrict]

Strona trzecia zawiera wykresy sił wewnętrznych. Przedstawiają one wykres sił normalnych, tnących i momentów zginających.

[/pms-restrict]

Wakacje 2016

Kolejny rok akademicki za nami! Mam nadzieję, że egzaminy i kolokwia poszły po Waszej myśli i ze spokojem zaczniecie kolejny rok studiów.
Wszystkich, którym podwinęła się noga i muszą odwiedzać uczelnie jeszcze we wrześniu, serdecznie zapraszam na www.statyka.info po wiedzę i pomoc. Strona jest aktywna przez calutki rok!

Przez wakacje jedynie dział „Pomocy online” będzie niedostępny i ruszy ponownie 1 października, natomiast pozostałe działy, tzn. projekty, korepetycje, sprawdzanie projektów jest nieprzerwanie do Państwa dyspozycji.

Teraz czas na nowości:
Jak już wspominałem wcześniej, na stronie pojawią się poradniki z budownictwa praktycznego, tzn. projektowanie elementów i konstrukcji stalowych i betonowych. Poradniki są aktualnie pisanie i dopracowywane, planuje je opublikować wraz z rozpoczęciem nowego roku akademickiego.
Co za tym idzie powiększy się tematyka wykonywania projektów oraz korepetycji w celu ułatwienia Państwu życia studenckiego!

Na koniec życzę wszystkim gorących, długich i leniwych wakacji!

Semestr letni 2016

Mam nadzieję, że sesja zakończyła się dla wszystkich pomyślnie i możemy spokojnie zacząć się przygotowywać do kolejnych projektów, kolokwiów i egzaminów aby wakacje 2016 były wolne od poprawek.

Od 1 marca ponownie jestem do Państwa dyspozycji przez cały czas. Zachęcam do częstego zaglądania do poradników i korzystania z pomocy online w odpowiednim dziale na stronie. Chciałbym również podziękować za wszelkie uwagi i E-maile dotyczące działalności strony i pomysły jak ją ulepszyć.
Najważniejszą zmianą jaką zamierzam sprowadzić jest wprowadzenie poradników dotyczących budownictwa praktycznego, tzn. konstrukcji stalowych, betonowych.
Poradniki podzielą się na dwie części budownictwo teoretyczne, czyli to które macie państwo aktualnie do dyspozycji i tak jak napisałem wyżej praktyczne czyli wiedza, przykłady, wzory i masa innych rzeczy dotyczących podstaw, elementów i konstrukcji stalowych i betonowych.

Na koniec zachęcam do korzystania z pomocy jaką Państwu oferuję przy rozwiązywaniu projektów, omawianiu i rozwiązywaniu problemów przy projektach i nie tylko… Serdecznie zapraszam!