Kratownica 10

Kratownica składająca się z dwunastu prętów, podparta podporami przegubowymi nieprzesuwnymi oraz obciążona jedynie siłą skupioną. Większość prętów została obliczona metodą równoważenia węzłów, ale kilka prętów zostało obliczone również metodą Rittera. Są to pręty zaznaczone przekrojem alfa-alfa. Zachęcam do rozwiązywania tego przykładu samodzielnie, a następie sprawdzić poprawność obliczeń.

Strona pierwsza – widok schematu statycznego oraz obliczenie długości prętów, który nie znamy. Na tej stronie rozpoczynamy również obliczenie reakcji podporowych.

Strona druga – rozpoczęcie obliczania sił wewnętrznych(przekrojowych) w prętach za pomocą metody równoważenia węzłów. Na tej stronie widzimy również obliczenie wymaganych prętów metodą Rittera.[pms-restrict]

Strona trzecia – ostatnie obliczenia prętów w węzłach. Brak wykresu sił przekrojowych.

[/pms-restrict]

Kratownica 9

Kolejny przykład kratownicy z ciekawym schematem statycznym. Kratownica podparta jest na podporach przegubowych nieprzesuwnych. Składa się z dwunastu prętów i przyłożona jest siła pozioma obciążająca.

Strona pierwsza – schemat statyczny, obliczenie długości prętów.

Strona druga – obliczenie reakcji podporowych oraz rozpoczęcie obliczania sił osiowych metodą równoważenia węzłów.[pms-restrict]

Strona trzecia – obliczenie węzła E jeszcze metodą równoważenia węzłów oraz obliczenie przekroju alfa-alfa, który jest widoczny na schemacie kratownicy, metodą Rittera.

Strona czwarta – zakończenie obliczeń sił przekrojowych w pozostałych prętach.

[/pms-restrict]

Kratownica 8

Przykład obliczonej kratownicy o bardzo ciekawym kształcie schematu statycznego. Na pierwszy rzut oka mogłoby się wydawać, że schemat jest statycznie niewyznaczalny, ale podczas obliczania zauważą Państwo, że tak nie jest i można ją obliczyć za pomocą ogólnej metody analitycznej. Ogólnie kratownica przymocowana jest do podłoża za pomocą podpór przegubowo nieprzesuwnych oraz obciążona jest jedną siłą skupioną. Całość kratownicy składa się z czternastu prętów. Z czego pręt numer 14 dołączony jest do kratownicy, jako osobny pręt rozwalający nam ładny schemat kratownicy. Poniżej mogą Państwo przeanalizować jak obliczyć taki przykład.

Strona pierwsza – schemat statyczny kratownicy, obliczenie długości prętów oraz reakcji podporowych.

Strona druga – rozpoczęcie obliczania sił przekrojowych(osiowych) w poszczególnych prętach. Widzimy metodę równoważenia węzłów.

Strona trzecia – obliczenie węzła E metodą równoważenia węzłów oraz przekroju alfa-alfa metodą Rittera.[pms-restrict]

Strona czwarta – obliczenie ostatnich niepoliczonych prętów w węźle G. Brak wykresów sił przekrojowych.

[/pms-restrict]

Kratownica 6

Przykład obliczonej kratownicy numer 6. Zawiera on podstawowe obliczenia sił przekrojowych. Bardzo dobry przykład do samodzielnego rozwiązania i sprawdzenia poprawności obliczeń.

Strona pierwsza projektu przedstawia schemat statyczny rozwiązywanego przykładu wraz ze wszystkimi potrzebnymi danymi oraz rysunkami. Na tej stronie znajdują się również obliczone reakcje podporowe oraz rozpoczęcie obliczania sił przekrojowych. Jest tutaj rozwiązany przekrój alfa-alfa metodą Rittera.

Strona druga projektu to kontynuowanie obliczania metodą Rittera pozostałych dwóch przekrojów.[pms-restrict]

Strona trzecia zawiera dalsze obliczanie sił przekrojowych ale już metodą równoważenia węzłów.

Strona czwarta i zarazem ostatnia zawiera obliczone siły przekrojowe w formie wykresu sił przekrojowych.

[/pms-restrict]

Kratownica 5

Obliczony i wytłumaczony przykład prostej kratownicy. Projekt zawiera obliczone reakcje podporowe, siły przekrojowe. Wszystkie obliczenia są prowadzone krok po kroku, wraz ze wszystkimi potrzebnymi objaśnieniami oraz rysunkami.

Przyjęte dane do obliczeń:
L = 1m
P = 1 kN

Schemat kratownicy.


Dokładny wymiar prętów ukośnych to 2.236m!

 

Obliczenie reakcji podporowych

∑ME=0
RA*3 – 1kN*2 – 2kN*2 = 0
3RA = 6 /:3
RA = 2kN

∑X = 0
HE – 2kN = 0
HE = 2kN

∑Y = 0
RA – 1 kN – VE = 0
2kN – 1kN – VE = 0
VE = 1kN

Schemat z obliczonymi reakcjami podporowymi.

Obliczenie sił przekrojowych w kratownicy metodą równoważenia węzłów.[pms-restrict]

Węzeł A

∑Y = 0
2kN =+ P1 = 0
P1 = -2kN

∑X = 0
P4 = 0kN

Węzeł B

∑Y = 0
2kN – P3*2/2,236  = 0
P3 = 2 / : 2/2,236
P3 = 2.236kN

∑X=0
P2 + 2.236* 1/2,236  =0
P2 = -2.236* 1/2,236
P2 = -1kN

Węzeł C

∑X = 0
1kN + P6 = 0
P6 = -1kN

 

∑Y = 0
-P5 – 1 = 0
P5 = -1kN

 

Węzeł F

∑Y = 0
P5.1 + 2.236*2/2,236  = 0
P5.1 = – 2.236* 2/2,236
P5.1 = -2kN

 

∑X = 0
P9 – 2.236* 1/2,236 = 0
P9 = 2.236* 1/2,236
P9 = 1kN

 

Węzeł E

∑X = 0
2kN – 1kN – P8*2/2,236  = 0
P8*  = 1 /: 2/2,236
P8 = 1,118kN

 

∑Y = 0
-1 + 1,118*1/2,236  + P10 = 0
P10 – 0,5kN = 0
P10 = 0,5kN

 

Węzeł D

∑Y = 0
-0,5 – P7*1/2,236  = 0
P7* 1/2,236 = -0,5 /: 1/2,236
P7 = -1,118kN

Tym sposobem mamy policzone wszystkie siły przekrojone w kratownicy.
Wykres sił przekrojowych będzie wyglądał następująco.

 

Teraz sprawdzimy kilka prętów metodą Rittera.
Stworzymy dwa przekroje A-A oraz B-B.
|Schemat kratownicy z przekrojami.

Przekrój A-A

∑MpR1 = 0
P4 * 2 = 0
P4 = 0 – zgadza się!

∑MpR2 = 0
P2 * 2 + 2 * 1 = 0
2*P2 = -2 /: 2
P2 = -1kN – zgadza się!

∑X = 0
-1kN + P3*1/2,236  = 0
1/2,236*P3 = 1 /: 1/2,236
P3 = 2,236kN – zgadza się!

 

Przekrój B-B

∑MpR1 = 0
2 * 1 – P9 * 2 = 0
2P9 = 2 /: 2
P9 = 1kN – zgadza się!

∑MpR2 = 0
P2 * 2 + 2 * 1 = 0
P2 = -1 kN – zgadza się!

∑Y = 0
P5.1  + 2kN = 0
P5.1 = -2kN – zgadza się!

 

Więcej przekroi nie możemy sprawdzić metodą Rittera, ponieważ nie będą spełnione warunki wymagane przy tej metodzie.

  1. Nie będzie 3 prętów
  2. Pręty będą się przecinać w jednym punkcie.[/pms-restrict]

 

Kratownica 4

Przykładowe obliczenie kratownicy numer 4. Projekt zawiera obliczenie reakcji podporowych, sił przekrojowych używając dwóch metod, czyli Rittera oraz równoważenia węzłów.

Schemat obliczanej kratownicy.

Zaczynamy obliczanie reakcji podporowych w punktach A(VA i HA) i E(RE)

∑X = 0
HA – 6,8kN = 0
HA = 6,8kN

∑MA=0
-RE*4 + 4,4*1 + 4,8*2 + 6,8*0,8 = 0
4RE = 19,44kN /:4
RE = 4,86kN

∑Y=0
VA – 4,4 – 4,8 + 4,86 = 0
VA = 4,34kN

Schemat kratownicy z widocznymi obliczonymi reakcjami.

Pręty zerowe to pręty P8 oraz P6, zobaczmy.

Dla obliczeń wartości prętów pod kątem musimy użyć zależności trygonometryczne.
Pręt pod kątem ma długość 1.28 metra.

sin =   0,8/1,28
cos =  1,0/1,28

Zaczynamy obliczenia sił przekrojowych w kratownicy.[pms-restrict]

Węzeł A

∑Y = 0
4,34 – P11* =0
P11*  = 4,34/ : 0,8/1,28

P11 = 6,94kN

∑X = 0
6,8 + P1 + 6,94*1,0/1,28  = 0
P1 =-6,8 – 5,425
P1 = – 12,225

Węzeł B

∑X = 0
12,225 + P2 = 0
P2 = -12,225 kN

∑Y=0
-P10 – 4,4 = 0
P10 = -4,4kN

 

Węzeł H

∑Y=0
-4,4+P9*0,8/1,28 +6,94*0,8/1,28 =0
P9*0,8/1,28 =4,4-4,34

P9=0,6/: 0,8/1,28
P9=0,096kN

 

∑X=0
P12–6,94*1/1,28 +0,096*1/1,28 =0

P12–5,421+0,075=0
P12=5,35kN

 

 

 

 

Węzeł G

∑X=0
-5,35+P13=0
P13=5,35kN

 

∑Y=0
P8=0

 

 

 

Węzeł E

∑Y = 0
4,86 – P5 *0,8/1,28  = 0
P5 *0,8/1,28  = 4,86 /: 0,8/1,28
P5 = 7,78kN

 

∑X = 0
-P4 – 7,78 *1,0/1,28  =0
P4 = -6,075kN

 

 

 

 

Węzeł D

 

∑Y=0
P6 = 0

 

∑X=0
-P3-6,075=0
P3=-6,075kN

 

 

 

Węzeł F

∑Y = 0
P7 *0,8/1,28  + 7,78  *0,8/1,28 = 0
P7 *0,8/1,28  = -4,863/:0,8/1,28

P7 = – 7,78kN

 

 

Teraz czas na obliczenie trzech prętów metodą Rittera.
Tworzymy przekrój A-A, widok.

∑MpR1 = 0
-P12 * 0,8 – 4,4 * 1 + 4,34 * 2 = 0
-0,8P12 – 4,4 + 8,68 = 0
0,8P12 = 4,28 /:0,8
P12 = 5,35kN

∑MpR2 = 0
P2*0,8 + 6,8 * 0,8 + 4,34*1 = 0
0,8P2 = – 5,44 – 4,34
0,8P2 = -9,78/: 0,8
P2 = -12,225kN

∑Y = 0
P9 *  0,8/1,28  + 4,34 – 4,4 = 0
P9 *  = 0,06/: 0,8/1,28
P9 = 0,096kN

Tym sposobem mamy policzone wszystkie wartości w prętach kratownicy.[/pms-restrict]

 

Kratownica 2

Drugi przykład kompletnie obliczonej kratownicy. Do jej obliczenia zostały użyte dwie metody analityczne. Kratownica złożona jest z wielu węzłów oraz prętów, co czyni ją dobrym przykładem do samodzielnego rozwiązywania. Reakcje podporowe również zostały obliczone.

Schemat kratownicy.

Rozkładamy siłę pod kątem na składowe.

Obliczenia reakcji podporowych.

∑MG = 0
-40kN*2 – 20kN*4 + 7,07kN*4 – 7,07*2 – RA*4 = 0
4RA -145,86 = 0
RA = 36,46kN

∑Y = 0
36,46 – 20 – 7,07 – VG = 0
-VG + 9,39 = 0
VG = 9,39kN

∑X = 0
-HG + 30 + 40 + 7,07 = 0
HG = 77,07 kN

Fragment kratownicy z widocznymi obliczonymi reakcjami.[pms-restrict]

Kratownica z zaznaczonymi miejscami cięć 1-4

Przystępujemy do obliczania sił osiowych.

Przekrój 1-1.

∑MPR2 = 0
P6 * 2 = 0
P6 = 0kN

∑MPR1 = 0
P8 * 2 + 36,46 * 2 = 0
P8 = -36,46kN

Y = 0
P20 + 36,46 – 36,46  = 0
P20 = 0kN

 

 

Węzeł A

X = 0
P7 = 0kN

 

Przekrój 2-2

∑MPR4 = 0
– P5 * 2 – 40 * 2 = 0
P5 = – 40kN

∑MPR3 = 0
P9 * 2 + 36,46 * 2 = 0
P9 = – 36,46kN

X = 0
-P16 *sin(45⁰) + 40 = 0
sin(45)*P16 = 40kN
P16 = 56,57kN

 

Węzeł C

X = 0
P15 + 40 = 0
P15 = – 40kN

 

Przekrój 3-3

∑MPR6 = 0
-P2 *2 + 9,39 * 2 = 0
P2 = 9,39kN

∑MPR5 = 0
P4 * 2 + 77,07 * 2 = 0
P4 = – 77,07 kN

Y = 0
-P19 * sin(45⁰) – 9,39 = 0
sin(45⁰)P19 = – 9,39 / : sin45⁰
P19 = -13,27kN

 

Węzeł J:

∑X = 0
P19 = – 13,27N – z przekroju 3-3

∑Y = 0
-P3 – (-13,27)*sin(45⁰)  = 0
-P3 + 9,38kN = 0
P3 = 9,38kN

 

Przekrój 4-4

∑MPR7 = 0

P1*2 + 7,07 * 2 = 0

P1 = – 7,07kN

 

∑MPR8=0
-P11 * 2 – 20 * 2 + 7,07 * 2 = 0

P11 = -12,93kN

 

X = 0

P18 * cos(45⁰) + 7,07 = 0

cos(45⁰)*P18 = – 7,07 / : cos(45⁰)

P18 = -10kN

To były wszystkie cięcia, które mogliśmy wykonać do obliczania metodą Rittera.
Resztę prętów obliczamy metodą równoważenia węzłów.

Węzeł L:

P1 = -7,07kN

 

∑X = 0
-P0 + 7,07 = 0
P0 = 7,07kN

 

 

Węzeł H:

∑X = 0
P12 = 0

∑Y = 0
-P10 + (-12,93) = 0
P10 = -12,93kN

 

Węzeł E

∑Y = 0
-12,93 + 36,46 – 56,57*sin(45⁰) + P17*sin(45⁰) = 0
sin(45⁰)*P17 – 12,92 + 36,46 – 40 = 0
sin(45⁰)*P17 = 16,46 /: sin(45⁰)
P17 = 23,28kN

∑X = 0
30 + P14 + 56,57*cos(45⁰) + 23,28*cos(45⁰)
P14 + 30 + 40 +16,46 = 0
P14 = -86,46kN

 

Węzeł I

∑X = 0
P2 – (-10)*cos(45⁰) – 23,28*cos(45⁰) = 0
P2 + 7,07 – 16,46 = 0
P2 = 9,38kN

∑Y = 0
-P13 + (-7,07) + (-10)*sin45 – 23,28*sin(45⁰) = 0
-P13 – 7,07 – 7,07 – 16,46 = 0
P13 = -30,6kN

Schemat kratownicy z zaznaczonymi wartościami osiowym poszczególnymi prętów.

[/pms-restrict]

Kratownica 1

Obliczenie sił przekrojowych w kratownicy. W przykładzie zostały użyte dwie metody obliczania, czyli metoda Rittera oraz metoda równoważenia węzłów. Dodatkowo obliczona są również reakcje podporowe.

Schemat kratownicy.

Stopień statycznej wyznaczalności:

p + r = 2 * w, gdzie

p – liczba prętów = 17
r- liczba reakcji = 3
w – liczba więzów = 10

17 + 3 = 2 * 10
20 = 20 – kratownica jest statycznie wyznaczalna.

  1. Obliczenie reakcji sił podporowych:

∑MA = 0
10*2 + 20*4 + 10*6 – RG*8 = 0
-8RG + 20 + 80 + 60 = 0
-8RG = – 160kN /:8
RG = 20kN

∑Y = 0
VA – 10 – 20 – 10 + 20 = 0
VA – 20 = 0
VA = 20 kN

Schemat kratownicy z widocznymi widocznymi reakcjami.

Wyznaczenie sił w prętach kratownicy metodą Ritttera oraz metodą równoważenia węzłów, gdyż nie ma możliwości obliczyć całej kratownicy jedną metodą.[pms-restrict]

Przekrój V-V

∑MpR1 = 0
-P4*3 + 20*2 = 0
-3P4 + 40 = 0
3P4 = 40/:3
P4 = 13,33kN

∑MpR2 = 0
P2 = 0kN

∑Y = 0
P3 *  + 20 = 0

P3 = – 24,033kN

 

 

Przekrój Y-Y

∑MpR2 = 0
20*2 – P8*3 = 0
-3P8 + 40 = 0
3P8 = 40/:3
P8 = 13,33kN

∑MpR1 = 0
20*4 – 10*2 + P6**3 + P6**2 = 0
P6 + 80 – 20 = 0
P6 = -60/:

P6 = -16,77

 

∑X = 0
13,33 – 16,77+ P7* = 0
P7 + 13,33 – 15 = 0
P7 = 1,67 / :
P7 = 3,01kN

Przekrój X-X

∑MpR1 = 0
*P10*3 – *P10*2 +10*2 – 20*4 = 0
*P10 + 20 – 80 = 0
*P10 = 60/ :
P10 = -16,77kN

∑MpR2 = 0
P12*3 – 20*2 = 0
3P12 – 40 = 0
3P12 = 40/ :3
P12 = 13,33kN

∑X = 0
-13,33 + 16,77* – P11* = 0
*P11 – 13,33 + 15 = 0
*P11 = 1,67/ :
P11 = 3,01kN

 

 

Przekrój Z-Z

∑MpR1 = 0
P14 = 0kN

∑MpR2 = 0
P16*3 – 20*2 = 0
3P16 – 40 = 0
3P16 = 40/ : 3
P16 = 13,33kN

∑X = 0
-13,33 – P15 *  = 0
P15 = 13,33/ :
P15 = – 24,037kN

Więcej prętów nie jesteśmy w stanie obliczyć metodą Rittera, ponieważ nie spełnimy warunków wymaganych w tej metodzie. Pręty o numerach P1, P5, P9 i P17 obliczymy metodą równoważenia węzłów. Zacznijmy.

 

 

Węzeł A

∑Y = 0
P1 + 20 – 24,037 *  = 0
P1 + 20 – 20 = 0
P1 = 0kN

Węzeł J

∑Y = 0
P5 – 10 = 0
P5 = 10kN

 

 

Węzeł D

∑Y = 0
-P9 + 16,77 + 16,77* = 0
-P9 + 7,5 + 7,5 = 0
P9 = 15kN

Węzeł F

∑Y = 0
P17 = 0

 

Schemat obliczonych sił w prętach kratownicy oraz reakcji podporowych.

[/pms-restrict]