Rysowanie wykresów sił wewnętrznych z pamięci

Teraz poznacie parę zasad rządzących rysowaniem wykresów sił wewnętrznych w elementach konstrukcyjnych. Jest to bardzo ważny etap waszej nauki, ponieważ to podstawa do przebrnięcia przez takie przedmioty jak mechanika budowli. Chciałbym zauważyć, że nie jestem autorem poniższego materiału. Pozwoliłem go sobie wykorzystać, ponieważ sam lepiej nie potrafiłbym wam tego wytłumaczyć. Autorem tekstu jest wykładowca Uniwersytetu Zielonogórskiego. Chciałbym jeszcze raz przypomnieć, że to rzecz na którą na prawdę trzeba poświęcić dużo czasu.

WYKRESY SIŁ WEWNĘTRZNYCH – RYSOWANIE Z „PAMIĘCI”

I. ZWIĄZKI MIĘDZY WYKRESAMI SIŁ WEWNĘTRZNYCH, RODZAJEM OBCIĄŻENIA ZEWNĘTRZNEGO I SCHEMATEM STATYCZNYM KONSTRUKCJI.

1. Jeżeli w rozpatrywanym przedziale pręta q(x)=0 to siła poprzeczna jest funkcją stałą a moment gnący liniową.

2. Jeżeli w rozpatrywanym przedziale pręta q(x)≠0 to siła poprzeczna jest funkcją o 1 stopień wyższą niż q(x), a moment gnący o 2 stopnie wyższą np. q(x)=const, więc T(x)=ax+b, M(x)=ax2+bx+c. Wypukłość paraboli momentu gnącego jest zawsze skierowana zgodnie ze zwrotem obciążenia q(x).

3. Jeżeli siła poprzeczna jest dodatnia, to wykres momentu gnącego opada (rośnie w sensie algebraicznym) przy posuwaniu się od lewej strony wykresu do prawej.

4. Jeżeli siła poprzeczna jest ujemna, to wykres momentu gnącego wznosi się (maleje w sensie algebraicznym) przy posuwaniu się od lewej strony wykresu do prawej.

5. Jeżeli przy przejściu przez 0 funkcja sił poprzecznych zmienia znak, to funkcja momentu gnącego osiąga w tym punkcie ekstremum. Maksimum przy zmianie znaku z „+” na „-”; minimum przy zmianie znaku z „-” na „+”.

6. W przekroju pręta, w którym przyłożona jest siła skupiona prostopadła (równoległa, moment gnący) do osi pręta, na wykresie sił poprzecznych (osiowych, momentu gnącego) powstaje skok o wartość tej siły (momentu).

7. Jeżeli obciążenie pręta stanowi wiele sił skupionych prostopadłych do jego osi, to ekstremalny moment gnący wystąpi w przekroju, w którym siła poprzeczna zmienia znak. W punktach przyłożenia pozostałych sił skupionych wykres momentu załamuje się.

8. Na skrajnej podporze przegubowej, przegubie wewnętrznym i swobodnym końcu pręta funkcja momentu gnącego zeruje się (wyjątek – patrz punkt I.6).

9. Istnienie nieobciążonego przegubu wewnętrznego nie ma wpływu na rozkład sił poprzecznych i osiowych.

10. Wartości reakcji podporowych nie zależą od kształtu konstrukcji, a jedynie od wzajemnego usytuowania podpór i obciążenia zewnętrznego.

Kształt belek

HA=HA’ ; VA=VA’ ; RB=RB

Większość z podanych powyżej związków wynika z faktu, iż siła poprzeczna jest pierwszą pochodną momentu gnącego.

II. ZASADA SUPERPOZYCJI (DODAWANIA SKUTKÓW).

 Jeżeli układ obciążony jest kilkoma rodzajami obciążenia zewnętrznego (np. kilka sił skupionych + moment gnący + obciążenie równomierne), to można sporządzić wykresy sił wewnętrznych od każdego obciążenia z osobna, a następnie dodać je do siebie.

Zasada superpozycji

III. TOK POSTĘPOWANIA PRZY RYSOWANIU „Z PAMIĘCI” WYKRESÓW SIŁ WEWNĘTRZNYCH.

1. Analiza kinematyczna i statyczna. Jeśli układ jest geometrycznie niezmienny i statycznie wyznaczalny można przejść do punktu 2.
2. Określenie typu konstrukcji:
a. belki i ramy wspornikowe – punkt IV;
b. belki i ramy podparte przegubowo – punkt V;
c. ramy trójprzegubowe symetryczne – punkt VI;
d. ramy trójprzegubowe niesymetryczne – punkt VII;
e. belki i ramy złożone – punkt VIII:
• podział na elementy niezależne i zależne;
• określenie typu każdego elementu;
• wykorzystanie punktów IV, V, VI, VII w zależności od typu elementu.

IV. BELKI I RAMY WSPORNIKOWE.

 W tego typu konstrukcjach można od razu rysować wykresy sił wewnętrznych, pomijając etap obliczania reakcji. Analizę należy rozpocząć od swobodnego końca układu. W przypadku ramy złożonej z kilku prętów każdy pręt można potraktować jak prosty wspornik utwierdzony w miejscu połączenia z kolejnym prętem (punkt II.1.). Przy rysowaniu wykresów pomocne będą następujące zasady :
• intuicyjne naszkicowanie linii ugięcia wspornika wskaże po której stronie narysować wykres momentu gnącego (wykres ten należy rysować zawsze po stronie włókien rozciąganych);
• w połączeniach prętów pod kątem wykres momentu musi być ciągły (wartość na końcu jednego pręta musi być równa wartości na początku drugiego);
• obciążenie równoległe do osi pręta wywołuje w tym pręcie stały moment gnący;
• w punktach leżących na przecięciu kierunku działania siły i osi pręta moment gnący zeruje się;

Belka wspornikowa - z pamięci

Przykład

Z warunku ciągłości funkcji momentu wynika, że w punkcie B pręta BC wartość momentu również wynosi 16kNm. Obciążenie równomierne jest równoległe do pręta BC, z czego wynika stała wartość momentu na całej długości pręta (ramię siły wypadkowej obciążenia jest takie same dla każdego punktu pręta BC). Jeżeli M=const to T=0. Ze zwrotu wypadkowej obciążenia równomiernego wynika, iż pręt BC jest ściskany, więc N=-8kNm.

Z uwagi na ciągłość funkcji momentu jego wartość w punkcie C pręta CD również wynosi 16kNm. W punkcie znajdującym się 2m poniżej C wartość momentu wynosi 0, gdyż przez ten punkt przechodzi linia działania siły wypadkowej obciążenia równomiernego. Wartość momentu w punkcie D można wyznaczyć z proporcji (M/4=16/2, więc M=32kNm). Ponieważ posuwając się od lewej do prawej strony pręta CD wykres momentów wznosi się ku górze, więc siła poprzeczna będzie dodatnia i równa wypadkowej obciążenia równomiernego. W pręcie CD nie występują obciążenia działające wzdłuż jego osi, więc N=0

Belka wspornikowa - z pamięci 2

V. BELKI I RAMY PODPARTE PRZEGUBOWO.

 W tych konstrukcjach jedną z reakcji (najczęściej poziomą) można znaleźć od razu wykorzystując warunek równowagi w postaci sumy rzutów wszystkich sił na jedną z osi układu współrzędnych (działanie to można wykonać w pamięci – reakcja musi być równa co do wartości przyłożonemu obciążeniu na danym kierunku i mieć przeciwny zwrot). Reakcja ta łącznie z odpowiadającym jej obciążeniem zewnętrznym daje moment (para sił), który musi zostać zrównoważony przez moment od pozostałych reakcji na drugim kierunku. Na tej podstawie ustalamy zwroty tych reakcji i ich wartości – wartość momentu podzielona przez odległość między reakcjami. Znając wszystkie reakcje można narysować wykresy sił wewnętrznych traktując pręty składowe jak wsporniki (patrz punkt V).

reakcje - belka podparta przegubowo

Rama obciążona jest siłą poziomą w punkcie B, jedynym miejscem, w którym może powstać reakcja na to obciążenie, jest punkt D. Siła zewnętrzna i reakcja pozioma mają te same kierunki i wartości, lecz przeciwne zwroty i są przesunięte względem siebie o ramię 3m. Są więc parą sił wywołującą moment o wartości 4kN×3m=12kNm obracający konstrukcję przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Ponieważ układ ma być w równowadze, więc moment ten musi być zrównoważony przez kolejny moment o wartości 12kNm działający zgodnie z ruchem wskazówek zegara i wywołany parą sił pionowych. Na tej podstawie można ustalić zwroty reakcji pionowych i ich wartości (moment 12kNm podzielony przez ramię 4m daje wartość siły 3kN).

Po wyznaczeniu reakcji można przejść do rysowania wykresów sił wewnętrznych. Pręty AB i CD można potraktować jako wsporniki utwierdzone odpowiednio w punktach B i C, obciążone siłami skupionymi na końcach. W pręcie CD moment rozciąga włókna po lewej stronie i przybiera wartości od 0 w D do 12kNm w C, siła poprzeczna jest ujemna (bo od lewej do prawej wykres momentów wznosi się do góry) i ma wartość reakcji poziomej (prostopadłej do tego pręta). Z kolei reakcja pionowa wywołuje ściskanie, stąd N=-3kN. Pręt AB będzie tylko rozciągany siłą 3kN.

Wykres momentów w pręcie poziomym można narysować znając wartości momentu w punktach C (12kNm) i D (0kNm) i wiedząc, że na długości tego pręta nie ma obciążeń zewnętrznych. Wobec tego wystarczy połączyć obie wartości linią prostą. Od lewej do prawej wykres momentów opada, więc siła poprzeczna będzie dodatnia i przyjmie wartość siły prostopadłej do tego pręta czyli reakcji 3kN. Obie siły poziome (zewnętrzna i reakcja) wywołują w pręcie BC ściskanie – 4kN.

Belka podparta przegubowo - wykresy

Sprawdzeniem poprawności otrzymanych wykresów może być badanie równowagi (suma momentów i sumy rzutów sił na obie osie) wyciętych z konstrukcji węzłów np. C i B.

 

VI. RAMY TRÓJPRZEGUBOWE SYMETRYCZNE.

 Reakcje pionowe w przegubach zewnętrznych w takich ramach należy obliczyć wykorzystując warunek równowagi w postaci sumy rzutów sił na oś pionową oraz symetrię układu (obie reakcje muszą być równe co do wartości i mieć te same zwroty). W przeciwieństwie do ram podpartych przegubowo, w tych konstrukcjach, nawet przy braku obciążenia poziomego, powstaną reakcje poziome. Można je znaleźć rozpatrując równowagę jednej z części ramy i obliczając (w pamięci) sumę momentów względem środkowego przegubu. Reakcje poziome w drugiej ramie będą miały te same wartości lecz przeciwne zwroty (symetria). Po wyznaczeniu reakcji siły wewnętrzne można obliczyć traktując pręty składowe jak wsporniki (patrz punkt V).

Ramy trójprzegubowe symetryczne

Z symetrii układu wynika, że reakcje pionowe w punktach A i D będą skierowane do góry i będą miały wartość 4kN. Następnie siłę zewnętrzną 8kN należy arbitralnie przyporządkować do jednej z ram składowych (dowolnej) i rozpatrzyć jej równowagę. Najwygodniej będzie obliczyć w pamięci sumę momentów względem punktu E. Reakcja pionowa 4kN daje względem punktu E moment 4kN×2m=8kNm obracający układ zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Moment ten musi zostać zrównoważony przez moment pochodzący od reakcji poziomych w punktach D i E. Ich wartości wynoszą 8kNm/4m=2kN. Należy jeszcze sprawdzić sumę rzutów wszystkich sił na oś pionową. W celu zapewnienia równowagi w punkcie E musi pojawić się pionowa reakcja o wartości 4kN.

Wykorzystując reakcje obliczone dla jedne z ram składowych oraz symetrię układu i traktując poszczególne pręty jak wsporniki można szybko narysować wykresy sił wewnętrznych.

Ramy trójprzegubowe symetryczne - wykres

VII. Ramy trójprzegubowe niesymetryczne
W tego rodzaju układach na ogół wyznaczenie „w pamięci” reakcji jest dość trudne. Można je policzyć analitycznie wykorzystując warunki równowagi statyki. Po wyznaczeniu reakcji siły wewnętrzne można obliczyć w pamięci traktując pręty składowe jak wsporniki (patrz punkt V).

 

VIII. BELKI I RAMY ZŁOŻONE

Konstrukcje złożone składają się z 2 rodzajów elementów :
• elementy niezależne – są geometrycznie niezmienne i mogą istnieć samodzielnie;
• elementy zależne – są geometrycznie zmienne i nie mogą samodzielnie przenosić obciążenia.

 Obliczenia należy rozpocząć od elementów zależnych. Po zakwalifikowaniu elementu do określonego typu układów można wyznaczyć w nich reakcje i siły wewnętrzne (punkty V, VI, VII, VIII). Reakcjami z nich są następnie obciążane elementy niezależne. Tu tok postępowania się powtarza. Przy rysowaniu wykresów pomocne będą następujące zasady:
• w przegubach wewnętrznych wartość momentu gnącego wynosi 0;
• na wewnętrznych podporach przegubowych wykres momentów załamuje się, a jego wartość w tym punkcie można znaleźć wykorzystując proporcje;
• przeguby wewnętrzne nie mają wpływu na rozkład sił poprzecznych i normalnych;
• na wewnętrznych podporach przegubowych na wykresie sił poprzecznych powstaną skoki o wartościach równych reakcjom na tych podporach.

Życzę powodzenia i zalecam dużo, dużo zrobionych zadań, aby na prawdę dobrze robić te wykresy z pamięci.

Źródło: http://staff.uz.zgora.pl/tsocha/dydaktyczne/wykresy_w_pamieci.pdf