Obliczanie przemieszczeń w układach płaskich

W tym poradniku zajmiemy się już o stopień trudniejszą rzeczą, niż w poprzednich poradnikach, jest to obliczanie przemieszczeń w prętowych układach płaskich z wykorzystaniem zasad pracy wirtualnej. Po przejrzeniu wszystkich poradników i przeanalizowaniu przykładów, jakie zamieszczę w poradnikach, nie sądzę abyście Państwo mieli z tym problemy.

Wchodzimy w nowy temat, musi być trochę teorii oraz spróbuję po ludzku wytłumaczyć, o co chodzi w metodzie przemieszczeń.

Jak sama nazwa mówi, nauczycie się tutaj obliczać przemieszczenia w wybranych punktach konstrukcji. Będziemy sprawdzali przemieszczenia pionowe(V), poziome(U) oraz obrót(Φ). Będziemy używali do tego prace sił wirtualnych.
Siła wirtualna jest to jednostkowa siła przyłożona w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia w danej konstrukcji. Siły wirtualne będę oznaczał następująco – 1′.

Działanie sił zewnętrznych(przyłożonych do konstr.) wirtualnych 1′ na rzeczywistych przemieszczeniach(δi) równa jest działaniu sił wewnętrznych wirtualnych M’, T’ i N’ na rzeczywistych odkształceniach.

Reguła Mohra-Wereszczagina

Przed przedstawieniem naukowej definicji, opiszę o co chodzi w metodzie Mohra-Wereszczagina.
Przemnaża się powstałe w wyniku działania sił rzeczywistych i siły wirtualnej wykresy(funkcje) mające kształt figur geometrycznych: prostokąta, trójkąta, paraboli, itp.

DEFINICJA: Całka oznaczona z iloczynu dwóch funkcji ciągłych, z których jedna jest funkcją liniową, równa jest iloczynowi pola powierzchni wykresu funkcji krzywoliniowej, przez rzędną wykresu funkcji liniowej, odpowiadającej środkowi ciężkości wykresu krzywoliniowego.

Po narysowaniu wykresów sił wewnętrznych powstałych od sił rzeczywistych i siły wirtualnej, otrzymamy wykresy różnych kształtów geometrycznych.
Prostoliniowe: prostokąty, trójkąty.
Krzywoliniowe: parabole.

Tak jak napisane jest w definicji, musimy zachować kolejność mnożenia. Gdy chcemy przemnożyć funkcję prostoliniową(prostokąt) i krzywoliniową(parabolę), wtedy bardzo ważna jest kolejność.
W takim wypadku mnożymy pole powierzchni paraboli, przez środek ciężkości prostokąta. Taka sama sytuacja występuje podczas mnożenia trójkąta przez parabolę.

Mnożąc dwie figury prostoliniowe, np. prostokąt i trójkąt przez siebie obojętne jest, czy weźmiemy pole powierzchni prostokąta i przemnożymy przez środek ciężkości trójkąta, czy pole powierzchni trójkąta i przemnożymy przez środek ciężkości prostokąta. Wynik wyjdzie taki sam.

Wzór do obliczenia przemieszczenia wygląda następująco.

Wzór Mohra - Wereszczaginagdzie:
1′ – siła wirtualna
Ua – przemieszczenie poziome w punkcie A

Człon pierwszy, jest to przemieszczenie wywołane momentem zginającym
M’ – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłą wirtualną
M – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłami rzeczywistymi
EJ – wytrzymałość na zginanie

Człon drugi, jest to przemieszczenie wywołane siłami tnącymi
k – współczynnik ścinania
T’ – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłą wirtualną
T – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłami rzeczywistymi
GA – wytrzymałość na ścinanie

Człon trzeci, jest to przemieszczenie wywołane siłami normalnymi
N’ – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłą wirtualną
N – wykres(funkcja) sił wewnętrznych wywołany siłami rzeczywistymi
EA – sztywność

Przedstawię metodę oraz algorytm obliczania przemieszczeń w praktyce.
Chcę jeszcze zaznaczyć, że w tym poradniku będę brał pod uwagę jedynie siły wewnętrzne M, T i N. Dodatkowe rzeczy, takie jak przemieszczenie podpór oraz temperaturę uwzględnię w kolejnym poradniku.
Czas na przykładzie przedstawić regułę Mohra-Wereszczagina.

Będę rozwiązywał przykład w punktach i z komentarzem, aby było wszystko jasne.

Treść zadania:
Obliczyć przemieszczenie poziome węzła A(Ua).

1. Schemat ramy z obciążeniami rzeczywistymi.

Schemat ramy 11.1 Wykresy sił wewnętrznych od obciążenia rzeczywistego.

Siły wewnętrzne od rzecz. obc.

2. Schemat układu(ramy) z obciążeniem wirtualnym.
W miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia przykładamy siłę wirtualną Px’ =  1′.

Schemat ramy obc. wirt.
2.2 Wykresy sił wewnętrznych od obciążenia wirtualnego.

Siły wewnętrzne od obc. wirt.3. Obliczenie przemieszczenia Ua(poziomego w punkcie A) z wykorzystaniem reguły Mohra-Wereszczagina.
Potrzebne dane:
EJ = 1814 kNm2
GA = 2,04 * 105 kN
EA = 7,14 * 105 kN
k = 4,43

Akurat w tym przykładzie, będziemy mieli jedynie funkcje prostoliniowe.
Parametry poszczególnych figur geometrycznych załączę w osobnym poradniku, w którym będą znajdowały się przykładowe przemnażania figur.
Tutaj pokaże to na suchych liczbach, nie będę dołączał dodatkowych obrazków, aby nie zaśmiecać tego poradnika.

Na początku rozpiszę wzór w całkach, oznaczając ich przedziały. Następnie podstawię liczby i obliczę ile wynosi przemieszczenie.

Obliczenie przemieszczeniaWartość przemieszczenia wyszła dodatnia, czyli kierunek przemieszczenia jest zgodny z kierunkiem przyjętej siły.
Rozważmy jeszcze wpływ poszczególnych sił wewnętrznych.
Przemieszczenie od momentu zginającego to aż 0,529m;
od siły tnącej 0,0026m;
od siły normalnej 0,0001961m.
Wniosek?
Wpływ sił poprzecznych i normalnych na przemieszczenie jest znikomy, dlatego w praktyce projektowej wpływ tych sił jest pomijany.

Aby nie rozciągać tego poradnika na tym zakończę.
Zapraszam do kolejnego poradnika Obliczanie przemieszczeń w układach płaskich – dodatek.