Obliczanie przemieszczeń w układach płaskich – dodatek

Po przeanalizowaniu poprzedniego poradnika Obliczanie przemieszczeń w układach płaskich powinniście już wiedzieć, o co chodzi w metodzie przemieszczeń. Oczywiście nie umieć ją na 100%, ale chociaż orientować się w niej mniej więcej.
Ten poradnik będzie dopełnieniem poprzedniego. Znajdą się w nim parametry figur geometrycznych, rozrysowane i obliczone przykłady mnożenia wykresów(funkcji) z poprzedniego poradnika i wymyślone, uwzględnię również funkcje krzywoliniowe i ostatnia rzecz, to przykładowy podział figury złożonej i sposób jej przemnażania.
Nadal pominę osiadanie podpór oraz temperaturę, te elementy zastosuje na przykładzie w kolejnym poradniku.

Parametry podstawowych figur geometrycznych.

Poniżej przedstawię parametry czterech podstawowych figur, jakie będą potrzebne podczas obliczania przemieszczeń. Jest ich dużo więcej, ale te są używane najczęściej. Na zajęciach prowadzący przedstawią wam pozostałe figury, jeśli będą potrzebne. Tutaj skupimy się na najważniejszych, oto one.

Parametry figur geometrycznych

Teraz zahaczymy o poprzedni poradnik. Pokażę, w jaki sposób wykonałem mnożenie wykresów(funkcji), pod uwagę wezmę jedynie wykresy momentów zginających, wyglądały one tak.

Wykresy mometów zginających

Mnożąc wykresy przez siebie, należy podzielić całą ramę na elementy, tak samo jak podczas obliczania sił wewnętrznych. Z tą różnicą, że znikają nam siły, które były przyłożone. W tym przypadku będzie to podział od początku pręta poziomego, do łączenia z prętem pionowym(AB) oraz od łączenia do końca pręta pionowego (BC). Wzór w tym przypadku jest następujący.

Wzór na przemieszczenie

Mnożymy wykresy pręta poziomego AB. Długość pręta 6 metrów. Wykresy są po tej samej stronie, więc wynik wyjdzie dodatni. Kształty funkcji to trójkąty. EJ = const. Wykresy są prostoliniowe, więc nie ma różnicy, czy weźmiemy pole trójkąta od siły wirtualnej 4kNm, czy od sił rzeczywistych 72kNm.

AB - pręt

4kNm* 1′  * 6m * 1/2(pole powierzchni) * 2/3 * 72kNm (środek ciężkości)
Obliczenie przemieszczenia - pręt AB

Teraz pręt BC(pionowy). Długość pręta 4 metry. Wykresy również są po tej samej stronie. EJ = const.

Pręt BC

4kNm * 1′ * 4m * 1/2(pole powierzchni) * 2/3 * 72kNm(środek ciężkości)
Obliczenie przemieszczenia - pręt BC

Przeanalizowaliśmy właśnie mnożenie wykresów z poprzedniego poradnika. Teraz zajmiemy się przykładami, gdzie wykresy są po różnych stronach oraz funkcje są krzywoliniowe. Należy pamiętać, że mając wykresy po tej samej stronie pręta, zawsze z mnożenia wyjdzie nam wartość dodatnia, dlatego nawet nie uwzględniałem minusów widocznych na wykresach. Kontynuujmy przykładowe przemnażanie wykresów.
Będę pomijał część ze wzorem oraz to, że należy podzielić przez EJ, GA, EA.
Przykład 1.
Wykresy znajdują się po przeciwnych stronach pręta.

Przykład 1 - przemieszczenia

Linia czerwona to pręt.

5kNm * 1′ * 3m(pole powierzchni) * 1/2 * (-10kNm)(środek ciężkości) =…
Zwróćmy uwagę na to, że rzutujemy środek ciężkości figury, której liczyliśmy pole powierzchni na drugą figurę.
W tym przypadku 1/2, ponieważ liczymy pole powierzchni prostokąta.

Teraz przemnożę wykresy odwrotnie, wezmę pole trójkąta i środek ciężkości w prostokącie. Działanie musi wyjść takie samo.

(-10kNm) * 3 * 1/2(pole powierzchni) * 5kNm * 1′(środek ciężkości) = …
Gdybyśmy „rzutowali” środek ciężkości na trójkąt, a nie prostokąt, wtedy w działaniu pojawiłoby się jeszcze 2/3 lub 1/3, ale tutaj tego nie ma, ponieważ prostokąt na całej swej długości ma taką samą wartość. W przykładzie numer 2 jest to pokazane.
Ułamek w tym działaniu pojawia się, ponieważ obliczamy pole powierzchni trójkąta.

Przykład 2.
Wykresy są po tej samej stronie pręta, ale wartości maksymalne są odwrócone.

Przykład 2 - przemieszczeniaWykres od siły wirtualnej jest na trójkącie o wartości 3kNm.
W tym przypadku, również jest obojętne, z której figury uwzględnimy pole powierzchni, a z której środek ciężkości.

6kNm * 5m * 1/2(pole powierzchni) * 1/3 * 3kNm * 1′(środek ciężkości) = …
Tutaj widzimy to, o czym pisałem w poprzednim przykładzie. Rzutując środek ciężkości trójkąta o wartości 6kNm, na drugi trójkąt trafimy w miejsce 1/3 wartości tego trójkąta. Gdyby wartość 6kNm była na górze pręta, wtedy mnożylibyśmy przez 2/3, przykład takiego mnożenia znajduje się na górze tego poradnika lub w poprzednim poradniku.

Przykład 3.
Wykresy po tej samej stronie, ale jeden z wykresów jest parabolą(krzywoliniowy). Musimy pamiętać o kolejności. Mnożymy pole powierzchni funkcji wyższej, przez środek ciężkości funkcji niższej.

Przykład 3 - przemieszczenia

Od razu na tym przykładzie, zahaczymy o kolejną i ostatnią rzecz w tym poradniku. Mówię tu o rozkładzie wykresów, aby było łatwo je pomnożyć. Z wykresu krzywoliniowego o wartości 5kNm powstanie nam parabola oraz trójkąt.

Rozkład wykresu 1Mnożenie będzie wyglądało następująco.
Mnożenie wykresów.

5kNm * 10m * 1/2 * 2/3 * 2kNm * 1′ + (-(ql^2)/8) * 10m * 2/3 * 1/2 * 2kNm * 1′ ) = …
Pierwszy człon jest mnożeniem trójkąta przez trójkąt, drugi człon to mnożenie paraboli przez trójkąt.

Przyjrzyjmy się dzieleniu różnego rodzaju funkcji krzywoliniowych na składowe. W pierwszym przykładzie będzie podzielenie funkcji krzywoliniowej na dwa trójkąty oraz parabolę. Proszę pamiętać, że czerwona linia to oś pręta. Wygląda to następująco.

Rozkład wykresu 2Od tego, po której stronie będzie znajdowała się parabola, zależy jaki znak będzie widniał między figurami. Bardzo dobrze to widać na powyższym obrazku.

Ostatnią rzeczą będzie wycinek ramy z prętem pod kątem, na którym znajduje się funkcja krzywoliniowa.
Funkcję tą rozłożymy na trójkąt oraz parabolę. Musimy tutaj uważać na odległości, jakie używamy podczas obliczania maksymalnej wartości paraboli, a następnie przemnażania wykresów. Do maksymalnej wartości paraboli bierzemy długość siły na jakiej działa, natomiast gdy wykonujemy mnożenie to używamy długości pręta pod kątem. Dobrze to widać na poniższym obrazku.

Rozkład wykresu 3Do obliczenia wartości maksymalnej paraboli używamy odległości L(siła jest pozioma), chyba, że siła rozłożona jest pod kątem(tak jak pręt), wtedy używamy długości x. Do przemnażania wykresów używamy odległości x(długość pręta).

Tym sposobem dotarliśmy do końca kolejnego poradnika. Wydaje mi się, że informacje w nim zawarte ułatwią Państwu naukę. Tradycyjnie zachęcam do ćwiczenia, ćwiczenia i jeszcze raz ćwiczenia. W razie pytań służę pomocą!