Metoda sił – algorytm

Poznawanie metod obliczania układów statycznie niewyznaczalnych zaczniemy od metody sił.
Metoda sił sprowadza się do rozwiązania układów statycznie wyznaczalnych. Układ statycznie niewyznaczalny przekształcamy poprzez odjęcie nadmiernej liczby więzów, a następnie w miejsce odrzuconych więzów wprowadzamy taką samą liczbę niewiadomych sił. Tak zbudowany układ nazywamy układem podstawowym, jest to prosty sposób na rozwiązywanie układów ramowych, kratowych czy łukowych.

W tym poradniku przedstawię algorytm rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił z jednoczesnym opisywaniem każdego punktu.

  1. Na samym początku, należy określić stopień statyczniej niewyznaczalności układu.Stopień Statycznej Niewyznaczalności układu (SSN) – jest to liczba nadmiernych więzów(zewnętrznych i wewnętrznych), które należy odrzucić, aby układ stał się statycznie wyznaczalny.
    SSN możemy obliczyć ze wzoru.
    SSN = W – 3*N(musimy też brać pod uwagę więzy wewnętrzne w komorach zamkniętych), gdzie:
    W – liczba więzów
    N – liczba tarcz
    Przykładowe schematy statycznie niewyznaczalne:
    Układy SN - przykłady
  2. Znając już liczbę więzów, które należy odrzucić, możemy zabrać się za budowanie układu podstawowego.
    Układ podstawowy jest układem statycznie wyznaczalnym, który musi spełniać również trzy warunki:

    • identyczność geometryczna (zgodność wymiarów)
    • identyczność kinematyczna (zgodność przemieszczeń – równania kanoniczne)
    • identyczność statyczna (zgodność obciążeń)

    Budując układ podstawowy, można odrzucać dowolne więzy zewnętrzne i wewnętrzne, ale należy zapewnić geometryczną niezmienność. Można budować układy podstawowe będące niezależnie od siebie pracującymi konstrukcjami(układami). Przykładowa budowa układu podstawowego.
    Układ podstawowy przykładW miejscu zabranych więzów pojawiają się niewiadome siły Xi.

  3. Stan P – stan obciążeń rzeczywistych.
    Na tym etapie potrzebna jest umiejętność rysowania wykresów sił wewnętrznych.
    Układ podstawowy obciążamy całością obciążeń rzeczywistych i sporządzamy wykresy Mp, Tp i Np.
  4. Stany Xi – stan obciążeń siłami jednostkowymi.
    Tutaj również musimy dobrze umieć rysować wykresy sił wewnętrznych.
    Odrzucamy całość obciążenia zewnętrznego i obciążamy układ podstawowy siłami jednostkowymi (nie mylić z wirtualnymi) w miejscu i na kierunku odrzuconych więzów i sporządzamy wykresy Mi, Ti i Ni.
  5. Ułożenie układu równań kanonicznych metody sił i obliczenie elementów w nim występujących.
    Metoda sił opiera się na założeniu, że oba układy, czyli rzeczywisty statycznie niewyznaczalny i podstawowy statycznie wyznaczalny pracują dokładnie tak samo, choć różnią się liczbą więzów. W szczególności wszystkie przemieszczenia w obu układach są takie same.
    Równania kanoniczne metody sił są równe przemieszczeniom w miejscach odrzuconych więzów, ponieważ w rzeczywistości są tam więzy, więc przemieszczenia te są równe 0. W równaniach tych występują niewiadome siły Xi, które z tych równań obliczamy. Dla przykładu, układ równań kanonicznych układu, w którym zostały odrzucone dwa więzy, będzie wyglądał następująco.
    Układ równan kanonicznychGdyby SSN wynosił 1, więc gdybyśmy musieli odrzucić tylko jedną więź. Nie ma potrzeby układać układu równań. W takim przypadku będziemy mieli jedynie jedną niewiadomą. Wygląda to następująco.
    Układ równań kanonicznych 2
  6. Rozwiązanie układu równań kanonicznych metody sił.
    Obliczenie niewiadomych przemieszczeń Xi.
  7. Narysowanie wykresów sił wewnętrznych w układzie rzeczywistym.
    Do narysowania wykresów sił wewnętrznych układu rzeczywistego korzystamy z zasady superpozycji. Poniżej przykład wzoru, dla schematu z SSN = 2.
    Wzór na narysowanie sił wew.
  8. Sprawdzenie poprawności obliczeń.
    • Sprawdzenie statyczne – wycięcie węzła i analiza jego równowagi statycznej
    • Sprawdzenie kinematyczne – obliczenie przemieszczenia, o z góry znanej wartości, na ogół przemieszczenia zerowego na jednej z podpór
    • Sprawdzenie komputerowe

Dotarliśmy do końca algorytmu metody sił. Na koniec jeszcze raz wszystko omówię.

Na początku obliczamy SSN – stopień statyczniej niewyznaczalności.
Budujemy układ podstawowy(statycznie wyznaczalny) poprzez usunięcie nadmiernej liczby więzi.
Rysujemy wykresy sił wewnętrznych od stanów P, X1, X2, Xi.
Układamy układ równań kanonicznych. Obliczamy poszczególne delty, które widnieją w układzie równań kanonicznych. Obliczamy je poprzez mnożenie wykresów sił wewnętrznych, np.:
delta1p – mnożenie wykresów stanu X1 i Xp
delta11 – mnożenie wykresów stanu X1 i X1
delta 12- mnożenie wykresów stanu X1 i X2 itd..
Rozwiązanie układu równań, abyśmy znali niewiadome przemieszczenia, czyli np. X1, X2, X3, itd…
Narysowanie wykresów sił wewnętrznych w układzie rzeczywistym.
Sprawdzenie poprawności obliczeń.

To na tyle teorii, zapraszam do kolejnego poradnika, aby zapoznać się z przykładowym zadaniem z metody sił.