Metoda przemieszczeń – algorytm + przykład

Mam nadzieję, że przeczytałeś/aś poradnik metoda przemieszczeń – wstęp. Poradników z tą metodą nie będę rozdzielał na algorytm oraz przykład, co pozwoli mi łatwiej przedstawić mechanizm działania MP oraz teorię dotyczącą metody przemieszczeń.

Zadanie.
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych schematu statycznie niewyznaczalnego metodą przemieszczeń, mając dane i schemat widniejący poniżej.

  1. Układ rzeczywisty
    Układ rzeczeywisty
    Dane:
    EJ1 = 1870kNm2;
    EJ2 = 2900kNm2;
    q = 10kN/m;
    M = 16kNm;
    P = 10kN;
  2. Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności układu (SKN)
    SKN = ∑φ + ∑ψ
    ∑φ – łączna liczba nieznanych obrotów węzłów sztywnych(liczba węzłów sztywnych). W tym przykładzie ∑φ = 1, a jest to węzeł „3”.
    Węzeł sztywny łączny minimum dwa pręty statycznie niewyznaczalne.
    ∑ψ – łączna liczba nieznanych, niezależnych przesuwów węzłów sztywnych, równych stopniu kinematycznej zmienności układu przegubowego.
    Łańcuch kinematyczny(układ przegubowy)
    Łańcuch kinematyczny∑ψ = 3*t – w = 3*3 – ( 21 + 22 + 23 + 24 ) = 9 – 8 = 1
    SKN = 1 + 1 = 2
    Układ jest dwukrotnie kinematycznie niewyznaczalny, nieznany jest obrót węzła 3 – φ3 = Z1 oraz nieznany jest przesuw węzła 3 – ψ3 = Z2
  3. Układ podstawowy i równanie kanoniczne.
    Układ podstawowy musi być kinematycznie wyznaczalny, tzn. muszą być znane obroty i przesunięcia wszystkich węzłów sztywnych. Tworzymy go, dodając na kierunkach nieznanych obrotów więzi fikcyjne.
    1 – blokowanie obrotu,
    2 – blokowanie przesuwu.
    Układ podstawowyZałożenie:
    Δl = 0 -> Δl23 = 0 – czyli pomijamy zmiany na długości. Pisałem o tym we wstępie do metody przemieszczeń.
    Równanie kanoniczne.
    k11 * Z1 + k12 * Z2 + k1p = 0
    k21 * Z1 + k22 * Z2 + k2p = 0
    kij – reakcja od uogólnionego przemieszczenia więzi;
    kip – reakcja od oddziaływania zewnętrznego(siła, temperatura, osiadanie);
  4. Obliczenie reakcji „kij” w więziach fikcyjnych.
    a) Stan odkształceń Z1 = φ3 = 1 – momenty przywęzłowe(na końcach wyciętych prętów) ze wzorów transformacyjnych.
    Stan Z1Równania stanu Z1b) Stan odkształceń Z2 = ψ3 = 1 – obliczenia kątów obrotu cięciw z równań łańcucha kinematycznego i zależności trygonometrycznych.
    Stan Z2
    Równanie łańcucha kinematycznego w postaci ogólnej.
    po X: -∑ Lijx * ψij = Vk – Vo
    po Y: -∑ Lijy * ψij = Uk – Uo
    gdzie:
    Vk i Uk – przemieszczenie poziome i pionowe końcowego węzła łańcucha, wielkości te muszą być znane
    Vo i Uo – przemieszczenia pionowe i poziome początkowego węzła łańcucha, wielkości te muszą być znane
    Łańcuch 1 – 2 – 3 – 4
    po X: -L12x * ψ12 – L23x – ψ23 – L34x * ψ34 = Vk – Vo
    po Y: L12y * ψ12 + L23y23 + L34y * ψ34 = Uk – Uo
    po X: -0*0,5 – 5*ψ23 – 3*ψ34 = 0 – 0
    po Y: 4*(-0,25) + 0*ψ23 – 4*ψ23 = 0 – 0
    ψ12 = -0,25;   ψ23 = 3/20;     ψ34 = 0,25
    c) Momenty przywęzłowe na końcach wyciętych prętów ze wzoru transformacyjnego
    MzObliczenia do Mz
    d) Reakcja k11
    K11 – z warunków równowagi wyciętego węzła „3” obciążonego momentami przywęzłowymi z wykresu M.
    Obrót jak φ3.
    Reakcja K11∑M = 0
    k11 – M34 – M32 = 0
    k11 = 1496 + 1740
    k11 = 3236
    e) Reakcja  K12 = K21
    K12 = K21 – z warunku równowagi wyciętego węzła „3” obciążonego momentami przywęzłowymi.
    Reakcja K12
    ∑M = 0
    k12 – M34 + M32 = 0
    k12 = 561 – 261
    k12 = 300
    f) Reakcja K22
    K22 – zakładamy, że reakcja k22 musi wyjść dodatnia.
    reakcja k22Równanie pracy wirtualnej:
    k22 * U – M12 * ψ12 – M2323 – M3443 = 0
    k22 * 1 = 351 *(1/4) + 261*(3/20)+561*(1/4 )+ 561*(1/4)
    k22 = 407,3
  5. Obliczenie reakcji „kip” w więziach fikcyjnych.
    a) Stan P – momenty przywęzłowe(na końcach wyciętych prętów).
    Stan P
    M12 = M34 = M43 = 0 (pręty nie obciążone)
    M21 = M12 (przegub)
    M32 = (P*L223)/8 = (10*52)/8 = 31,25kNm
    b) Reakcja K1p
    K1p – z warunku równowagi wyciętego węzła „3” obciążonego momentami przywęzłowymi z wykresu Mp oraz momentem zewnętrznym przyłożonym w tym węźle
    Reakcja k1p∑M = 0
    k1p = 15,25kNm
    c) Reakcja K2p
    Obliczamy jak K22, uwzględniając pracę sił skupionych zewnętrznych przyłożonych w węzłach.
    Łańcuch kinematyczny
    Łańcuch kinematyczny stan Pδa = ψ23 * L23/2 = 3/20 * 2,5 = 15/40
    δp = ψ34 * L34y =1/4 * 4 = 1
    Pamiętajmy, że praca obciążenia ciągłego jest równa pracy siły wypadkowej Q!
    Równanie pracy wirtualnej:
    k2p * u + Q * δp + M32 * ψ23 – P * δp = 0
    k2p * 1 = -50 * 15/40 – 31,25 * 3/20 + 10 * 1
    k2p = – 13,44
  6. Rozwiązanie układu równań kanonicznych.
    Obliczenie rzeczywistych przemieszczeń węzła „3”.
    32,36*Z1 + 300*Z2 + 15,25 = 0
    300*Z1 + 407,3*Z2 – 13,44 = 0
    Z1 = – 0,008341[rad] φ3 – obrót
    Z2 = 0,03913[m] ψ3 – przesuw
  7. Wykres momentów zginających w układzie rzeczywistym ze wzorów superpozycyjnych.
    M = M1*Z1 + M2*Z2 + Mp
    Wykres M
    Obliczenia do wykresu M
  8. Wykres sił poprzecznych(tnących) z warunków równowagi wyciętych prętów, obciążonych na końcach momentami z wykresu „M” i obciążeniem przęsłowym.
    Wycinamy poszczególne pręty i obliczamy siły tnące.
  9. Wykres sił normalnych(osiowych) z warunków równowagi wyciętych węzłów obciążonymi siłami z wykresu „T” oraz siłami skupionymi zewnętrznymi przyłożonymi w tych węzłach.
    Mając siły tnące wycinamy węzły i obliczamy siły normalne.

To byłoby na tyle. Mam nadzieję, że powyższy przykład pomoże zrozumieć Państwu na czym polega metoda przemieszczeń. Tak jak napisałem wcześniej, metoda przemieszczeń jest na oko dwa razy trudniejsza, niż metoda sił, którą opisałem we wcześniejszych poradnikach, dlatego również potrzeba dwa razy więcej przerobionych przykładów, aby dobrze nauczyć się tej metody.
Jeśli mieliby Państwo jakieś pytania zapraszam do Pomocy Online, postaram się pomóc.