Kratownice

Jesteśmy prawie na finiszu naszego pierwszego kursu Mechanika Ogólna. Tutaj zajmiemy się obliczaniem reakcji podporowych, ale również wyznaczeniem sił osiowych w prętach, nie wystarczy niestety policzyć jedynie reakcji podporowych, Wasi profesorowie będą wymagać również abyście obliczyli wartości sił w prętach. Z pojęciem sił osiowych możecie spotkać się pierwszy raz, dokładnie zapoznacie się z nim w kolejnym poradniku Wytrzymałość Materiałów.

W dużym skrócie polega to na wyznaczeniu sił wewnętrznych M – momenty, T – tnące i N – normalne jakie działają w danej konstrukcji. Nas aktualnie będą interesować te ostatnie, ponieważ z założenia wynika, że w kratownicy momenty i siły tnące wynoszą zero. Przed przystąpieniem do obliczeń, musi być dawka teorii.
Podczas obliczania wartości w prętach możemy wykorzystać dwie podstawowe metody obliczeniową oraz graficzną. Zajmijmy się metodami obliczeniowymi, tutaj następuje dalszy podział, w kratownicach do obliczenia sił przekrojowych będziemy używali następujących metod:

  1. Metoda Rittera (przecięć)
  2. Metoda równoważenia węzłów
  3. Metoda równoważenia części kratownicy

Bardzo często podczas obliczania prętów kratownicy będziemy używali tych metod na zmianę. Musimy nauczyć się również rozpoznawać pręty zerowe, poniższe rysunki pokażą w jakich przypadkach występują pręty zerowe. Jest to bardzo przydatne, ponieważ mamy mniej liczenia.
Przypadki prętów zerowych:

Mamy trzy przypadki, które na prawdę warto zapamiętać!

  1. dwa pręty, węzeł nieobciążony – oba pręty zerowe:
    Pręty_zerowe_przypadek_1
  2. dwa pręty, węzeł obciążony siłą równoległą do jednego z prętów – drugi pręt zerowy
    Pręty_zerowe_przypadek_2
  3. węzeł nieobciążony, trzy pręty, w tym 2 leżące na jednej prostej – trzeci pręt zerowy
    Pręty_zerowe_przypadek_3

Trzy łatwiutkie obrazeczki, a tak ułatwiają życie!

No dobrze zacznijmy naukę przez praktykę.

Mamy taką oto kratownicę
Kratownica

Zobaczmy jak wyglądają reakcje podporowe:
Kratownica - reakcjee

1. Obliczenie reakcji podporowych.

Reakcje poziomą Hb obliczymy z rzutu sił na oś X
∑X = O
-Hb + 10 kN = O
Hb = 10 kN

Kolej na reakcje pionowe, równanie momentów do punktu A.
∑Ma = O
10 kN * 4 m + 20 kN * 4 m – Vb * 8m = O
-8Vb = – 120 kN / 8
Vb = 15 kN

Teraz reakcja Ra:
∑Y = O
Ra – 20 kN + 15 kN = O
Ra = 5 kN

 

2. Obliczenie sił przekrojowych

2.1. Metoda Rittera(przecięć).

Wykorzystując tę metodę do obliczeń sił osiowych w prętach kratownicy „myślowo” przecinamy trzy pręty lub więcej, tak aby było możliwe utworzenie punktów Rittera.

Co to jest punkt Rittera? Jest to punkt, w którym przecinają się wszystkie przecięte pręty poza jednym. Mając punkt Rittera możemy, używając sumy momentów obliczyć pręt, którego działanie nie przecina punktu Rittera.
Na rysunku poniżej, przedstawie 4 przekroje jakie stworzyłem do obliczenia poszczególnych prętów, oto one:
Kratownica - przekroje

Stworzyłem 4 przekroje, a dokładnie: A-A, B-B, C-C oraz D-D. Podczas tworzenia przekroju rozdzielamy naszą kratownicę na dwie części, dlatego podczas obliczeń należy zaznaczyć, którą część kratownicy wybieramy lewą czy prawą. Ten wybór zależy oczywiście tylko od nas, ponieważ wyniki zawsze wyjdą takie same, niezależnie od wybranej przez nas strony przekroju. Wybierajmy jednak stronę przekroju tam gdzie jest mniej liczenia, czyli jest mniej sił, reakcji podporowych itp…

Po przecięciu kratownicy, w przeciętych prętach, powstają nam siły rozciągające i właśnie te siły musimy obliczyć.

Przekrój A-A(lewa strona kratownicy)
Przekrój A-AWidzimy, że po przecięciu prętów nr 2, 3 i 4 powstały nam siły rozciągające te pręty. Aby obliczyć siłę w pręcie nr 2 stworzymy równanie sumy momentów do punktu Rittera nr 1, ponieważ ten punkt przecinają pręty numer 4 i 3, dlatego nie bierzemy ich pod uwagę w obliczeniach. Dużą literą P z liczbą w indeksie, będę oznaczał pręty, np. P2 – pręt nr 2.

Pamiętajmy, że pręty pionowe mają wymiar 4 m, poziome 2m, a pręt pod kątem 4,47 m. Zacznijmy obliczanie

∑Mpr1 = O
P2*4 + 10kN*4 + 5kN*2 = O
P2 = -12,5 kN – mamy siłę osiową pręta nr 2.

∑Mpr2 = O
P4*4 = O
P4 = O kN – znamy siłę osiową pręta nr 4.

∑Py = O
5kN – P3*sin = O
5kN – P3*0,89(wyliczamy z Pitagorasa) = O
P3 = 5,6kN – wartość siły osiowej w pręcie nr 3.

Przekrój B-B(lewa strona kratownicy)

W tym przekroju oblicze jedynie siłę osiową pręta numer 5, ponieważ chcę pokazać dwie możliwości obliczenia tych sił. Po pierwsze możemy użyć metody Rittera, będzie wyglądało to tak:
Przekrój B-BDruga metoda to metoda równoważenia węzłów, polega ona po prostu na wycięciu interesującego nas węzła z kratownicy, będzie to wyglądało następująco:
Wycięcie węzła
I następnie robimy rzut sił na oś Y, aby obliczyć pręt nr 5. Użyje metody Rittera.
∑Py = O
P5 + 5kN = O
P5 = -5kN – wartość siły osiowej pręta nr 5

Przekrój C-C(lewa strona kratownicy)

Przekrój C-CPamiętajmy, że pręty pionowe mają wymiar 4 m, poziome 2m, a pręty pod kątem 4,47 m.
∑Mpr4 = O
P6*4 + 10kN*4 + 5kN*4 = O
P6 = -15kN

∑Mpr3 = O
-P8*4 + 5kN*2 = O
P8 = 2,5kN

∑Py = O
5kN – P7*sin = O
5kN – P7*0.8944 = O
P7 = 5,6kN

Przekrój D-D(lewa strona kratownicy)

Przekrój D-DPamiętajmy, że pręty pionowe mają wymiar 4 m, poziome 2m, a pręty pod kątem 4,47 m.

∑Mpr6 = O
-P10*4 – 15kN*4 = O
P10 = -15kN

∑Mpr5 = O
P12*4 – 15kN*2 + 10kN*4 = O
P12 = -2,5kN

∑Py = O
-P11*sin + 15 kN = O
P11 = 16,8 kN

2.2 Metoda równoważenia węzłów i metoda równoważenia części kratownicy.

Zostały nam do policzenia siły w prętach numer: 1, 9, 14 i 15. W tych metodach będziemy obliczali siły w prętach jedynie przez rzut sił na daną oś Y lub X.

Równoważenie węzła z prętami nr 1 i 4
Równoważenie części kratownicy - pręt 1

Interesuje nas tylko pręt numer 1, ponieważ 4 mamy już policzony.
∑Py = O
5kN + P1 = O
P1 = -5kN

Równoważenie węzła z prętami nr 6, 9 i 10

Równoważenie węzłów - pręt nr 9∑Py = O
-20kN – P9 = O
P9 = -20kN

Równoważenie części kratownicy z prętami numer 14 i 15

Równoważenie części kratownicyPamiętajmy, że pręty pionowe mają wymiar 4 m, poziome 2m, a pręty pod kątem 4,47 m.

Najpierw policzmy pręt pod kątem, aby pozbyć się dwóch niewiadomych.
∑PY = O
15kN + P14*sin = O
P14 = -16,8kN

Teraz mając tylko jedną niewiadomą, czyli ostatni pręt P15 możemy zrobić rzut sił na oś X.
∑Px = O
-P15 – P14*cos – 10kN = O
-P15 – (-16,8kN)*0,4472 – 10kN = O
P15 = -2,5kN

Tymi sposobami policzyliśmy wszystkie siły osiowe w prętach zadanej kratownicy. Warto zawsze jeszcze sprawdzić czy dobrze to zrobiliśmy. Aby wykonać sprawdzenie możemy wycinać po kolei węzły, robić rzut sił na daną oś i sprawdzać, czy wyjdzie nam zero, ta metoda jest opisana we wcześniejszych lekcjach. Jest to dobre na kolokwium, ale jeśli chodzi o wykonywanie projektów w domu polecam takie programy jak RM-Win lub Soldis. Poniżej nasza kratownica wykonana w programie RM-Win, sprawdźmy czy wyniki dobrze wyszły.

Kratownica sprawdzenieWszystko dobrze.